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【摘 要】逆向思维又被称为求异思维，借助逆向思维，教师可在总结既有的高中数学问题的前提下，从相反的角度引导学生思考，从而获得解题的新思路。在高中数学解题教学中，部分数学问题难度较大且较为抽象，教师可让学生在逆向思维的引导下确定解题方向，从而更好地完成解题指导任务。
【关键词】逆向思维;高中数学;解题
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）22-0042-02
逆向思维是高中数学解题活动中常用的一种思维意识，借由对解题思路的颠覆，学生能够选择假设结果、合理推论、完全否定等多种方式进行解题，依靠“从答案到问题”的全新模式确定解题的基本方向。在逆向思維的推动下，数学解题活动无需被已知条件所限制，学生能够根据解题的指导要求确定新的解题方法，从而提高解题效率。部分难题是数学教学指导活动中的“拦路虎”，让学生学会应用逆向思维，才能在源头上解决数学难题。
1 在概念理解环节应用逆向思维，夯实基础
从定义上来看，概念理解类问题似乎与难题并不搭边，但对高中数学教学来说，部分概念理解类问题将多个概念融合起来，要求学生对概念、定理与数学关系进行判断，学生往往容易混淆。引导学生利用逆向思维从相反的角度思考数学问题，能够有效提升学生的概念辨识能力，加快学生吸收数学知识的速度。部分教师在数学解题活动中要求学生死记硬背，并不重视逆向思维的应用[1]。但对复杂的概念理解问题来说，合理应用逆向思维来讲解，能够帮助学生更为迅速地找到解题突破口，提高解题速度。
以“集合”的教学为例，学生会遇到这样一道题：现有一个全集U={2，3，a2+2a?3}，其中集合A={|a+1|，2}，CUA={5}，那么a取值为多少？对此，教师可引导学生结合集合的有关概念应用逆向思维来思考该问题。当CUA的值已知，可通过反推得出集合A，随后根据全集U确定a的取值，保障a2+2a?3等于5。在解答这一问题的过程中，必须强调集合中取值的大小关系，借助集合的概念完成解题任务。在部分情况下，该题以选择题的形式出现，这种命题模式下，逆向思维的应用更为有效，可将答案代入到各集合当中，确保其符合集合的取值范围即可。让学生配合相关概念理解数学知识，以概念为核心应用逆向思维，能够更为迅速地解决概念理解类问题。
2 在数学解题环节应用逆向思维，开发思维
在高中数学教学中，解题活动以计算、归纳和总结为核心，强调学生数学思维在整个解题活动中的表现。在引导学生应用逆向思维解题的过程中，教师必须归纳题目的类型、考查方向与解题要求，尝试利用逆向思维帮助学生“走直线”，让学生在逆向思维的引导下主动理解数学解题要求，感受逆向思维便捷、高效的特点，从而形成主动应用逆向思维解题的良好习惯。部分学生对逆向思维的理解停留在“反向解题”的层次，认为逆向思维只是一种从新角度、利用新方法解答数学问题的手段[2]。但实际上，逆向思维能够将看似没有关系的事物串联起来，构建教学指导新思路，能够更好地开发学生的数学思维。以人教版高中数学教材中的空间几何问题为例，在这一部分的教学中，几何问题已经脱离了体积、面积的限制，开始强调空间内点和直线的位置关系。
以下列问题为例：四面体ABCD被平面a所截，对棱AB、CD与a平行且等距，如果a截得截面四边形的面积为S，对棱AB、CD距离为h，求四面体的体积。在尝试解题的过程中，学生的思维容易被四面体的形状所限制，局限于空间几何的结构，导致解题出现错误。教师可引导学生利用逆向思维对四面体进行加工：根据数学定理“等底等高的两个四面体的体积相等”，可暂时忽略四面体的形状，在添加几个等体积的四面体之后，将其组成一个平行六面体进行计算。根据ABCD四条棱和相关平面的平行关系，六个平面相交之后得到平行六面体，减去组成六面体的四面体的体积，即可得出答案。在利用逆向思维解答数学难题的过程中，学生必须大胆尝试，才能找到解题新思路。
3 在数学拔高环节应用逆向思维，调整方向
部分数学问题的难度较大，能够被归入拔高题的行列。该类问题在显性的解题要求之下，一般包含着隐性的解题条件，导致解题流程与解题方法向着复杂的方向发展。教师可借助逆向思维帮助学生突破拔高题，在帮助学生掌握解题技巧的同时，更好地提升学生的解题信心，进一步提高其解题能力。让学生应用逆向思维独立解答数学问题，理解逆向思维的应用优势，才能使其真正接受逆向思维[3]。以下列问题的解答为例：已知x、y∈R+，求证。在求解计算的过程中，学生会尝试结合方程、几何的有关知识化简这一数学问题，但实际上，这一问题重在考查学生应用三角函数知识的能力。对原式进行变形处理之后，和都能够转化为三角函数形式，且夹角的关系已知。对于该类数学问题，依靠数字思维进行计算只会浪费更多的时间，教师可引导学生将其转化为几何问题，通过绘图将题中的未知量转化为线段的长度，将数字求解问题转化为线段求解问题，提高解题效率。数学问题不应该只有一种解答思路，学生只有学会反思、归纳，才能更好地应用逆向思维打破限制，提升解题能力。
4 在测试检验环节应用逆向思维，激发灵感
测试是检验学生数学学习能力的重要手段，也是对学生数学思维进行开发的有力工具。在测试中，以证明为核心的数学问题并不少见，这类问题在强调培养学生数学分析能力的同时，也能帮助学生查缺补漏。教师让学生对逆向思维进行合理应用，在分析数学问题的过程中掌握解答数学难题的一般技巧，能够加快学生吸收数学知识的速度[4]。以高中数学解题活动中的证明题为例，部分问题的解题要求并不复杂，但解题的流程十分复杂，由于这类问题往往没有给出具体的解题思路，学生很难作出准确的解答。 以下列问题为例：一个整数的平方可以被4整除，
求证这个数为偶数。如果只是重复列举数字，则根本无法解答这一数学问题。教师可引导学生利用逆向思维导入反证法，证明结论成立，将否定命题视为已知条件进行解题：如果x不是偶数，则x的值可以用整数a来表示，x=2a+1，通过算式得出数学表达式x2=
（2a+1）2=4a2+4a+1，得出x2为奇数，假设不成立，故x为偶数。应用逆向思维能够从相反的角度解答数学问题，教师在引导学生利用逆向思维解题的过程中，也要对这一特点进行应用，从而使学生掌握解答数学问题的一般思路。
5 在课后总结环节应用逆向思维，主动反思
在长期的数学学习中，学生已经积累了一定的数学解题经验，對逆向思维也有了一定的理解。教师要引导学生在学习中多应用逆向思维，并交流逆向思维的应用方法，在他人的方法中汲取灵感，发展自己的思维能力。此外，教师还要让学生在课后做好总结，主动反思，这样学生的逆向思维能力才能得到提升。
教师可引导学生开展总结活动，鼓励学生分享应用逆向思维解题的经验。以高中数学教学中的组合问题为例，教师可设计如下问题：大街上有8盏灯，编号分别为1，2，3……8，如果要关闭三个路灯，但不关闭相邻的两个路灯或三个路灯，也不关闭两端的路灯，有多少种关灯方式？在解题的过程中，一些学生的数学抽象能力较差，他们会选择做图、汇总等方式解答这一数学问题，这种解题方式耗时较长、效率低、更容易出错。部分学生则应用逆向思维解题：将问题转变为“在8个亮着的路灯的空隙中插入三个关闭的路灯，有多少种组合方式”。这部分学生借由逆向思维提高了解题效率，其他学生也能在这种解题方法中获得灵感，掌握数学解题的一般思路。
总之，合理应用逆向思维能够帮助学生找到新的数学解题思路，从而提升学生的数学解题效率。教师应该对逆向思维进行合理应用，将逆向思维引入到解题、分析、互动等各环节，加快学生的解题速度，并合理应用已知信息对数学问题进行归纳总结。
【参考文献】
[1]田肃安.浅谈如何在高中数学教学中培养学生的数学思维能力[J].考试周刊，2021（9）.
[2]谢翠琴.借助逆向思维 巧解数学难题[J].高考，2020（36）.
[3]隆占平.高中数学教学中学生思维能力的培养分析[J].学周刊，2020（31）.
[4]桂凯.高中数学教学中学生数学思维能力的培养探析[J].智力，2020（29）.
【作者简介】
唐杰（1983～），男，汉族，甘肃庆阳人，本科，一级教师。研究方向：数学教学。
【关键词】逆向思维;高中数学;解题
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）22-0042-02
逆向思维是高中数学解题活动中常用的一种思维意识，借由对解题思路的颠覆，学生能够选择假设结果、合理推论、完全否定等多种方式进行解题，依靠“从答案到问题”的全新模式确定解题的基本方向。在逆向思維的推动下，数学解题活动无需被已知条件所限制，学生能够根据解题的指导要求确定新的解题方法，从而提高解题效率。部分难题是数学教学指导活动中的“拦路虎”，让学生学会应用逆向思维，才能在源头上解决数学难题。
1 在概念理解环节应用逆向思维，夯实基础
从定义上来看，概念理解类问题似乎与难题并不搭边，但对高中数学教学来说，部分概念理解类问题将多个概念融合起来，要求学生对概念、定理与数学关系进行判断，学生往往容易混淆。引导学生利用逆向思维从相反的角度思考数学问题，能够有效提升学生的概念辨识能力，加快学生吸收数学知识的速度。部分教师在数学解题活动中要求学生死记硬背，并不重视逆向思维的应用[1]。但对复杂的概念理解问题来说，合理应用逆向思维来讲解，能够帮助学生更为迅速地找到解题突破口，提高解题速度。
以“集合”的教学为例，学生会遇到这样一道题：现有一个全集U={2，3，a2+2a?3}，其中集合A={|a+1|，2}，CUA={5}，那么a取值为多少？对此，教师可引导学生结合集合的有关概念应用逆向思维来思考该问题。当CUA的值已知，可通过反推得出集合A，随后根据全集U确定a的取值，保障a2+2a?3等于5。在解答这一问题的过程中，必须强调集合中取值的大小关系，借助集合的概念完成解题任务。在部分情况下，该题以选择题的形式出现，这种命题模式下，逆向思维的应用更为有效，可将答案代入到各集合当中，确保其符合集合的取值范围即可。让学生配合相关概念理解数学知识，以概念为核心应用逆向思维，能够更为迅速地解决概念理解类问题。
2 在数学解题环节应用逆向思维，开发思维
在高中数学教学中，解题活动以计算、归纳和总结为核心，强调学生数学思维在整个解题活动中的表现。在引导学生应用逆向思维解题的过程中，教师必须归纳题目的类型、考查方向与解题要求，尝试利用逆向思维帮助学生“走直线”，让学生在逆向思维的引导下主动理解数学解题要求，感受逆向思维便捷、高效的特点，从而形成主动应用逆向思维解题的良好习惯。部分学生对逆向思维的理解停留在“反向解题”的层次，认为逆向思维只是一种从新角度、利用新方法解答数学问题的手段[2]。但实际上，逆向思维能够将看似没有关系的事物串联起来，构建教学指导新思路，能够更好地开发学生的数学思维。以人教版高中数学教材中的空间几何问题为例，在这一部分的教学中，几何问题已经脱离了体积、面积的限制，开始强调空间内点和直线的位置关系。
以下列问题为例：四面体ABCD被平面a所截，对棱AB、CD与a平行且等距，如果a截得截面四边形的面积为S，对棱AB、CD距离为h，求四面体的体积。在尝试解题的过程中，学生的思维容易被四面体的形状所限制，局限于空间几何的结构，导致解题出现错误。教师可引导学生利用逆向思维对四面体进行加工：根据数学定理“等底等高的两个四面体的体积相等”，可暂时忽略四面体的形状，在添加几个等体积的四面体之后，将其组成一个平行六面体进行计算。根据ABCD四条棱和相关平面的平行关系，六个平面相交之后得到平行六面体，减去组成六面体的四面体的体积，即可得出答案。在利用逆向思维解答数学难题的过程中，学生必须大胆尝试，才能找到解题新思路。
3 在数学拔高环节应用逆向思维，调整方向
部分数学问题的难度较大，能够被归入拔高题的行列。该类问题在显性的解题要求之下，一般包含着隐性的解题条件，导致解题流程与解题方法向着复杂的方向发展。教师可借助逆向思维帮助学生突破拔高题，在帮助学生掌握解题技巧的同时，更好地提升学生的解题信心，进一步提高其解题能力。让学生应用逆向思维独立解答数学问题，理解逆向思维的应用优势，才能使其真正接受逆向思维[3]。以下列问题的解答为例：已知x、y∈R+，求证。在求解计算的过程中，学生会尝试结合方程、几何的有关知识化简这一数学问题，但实际上，这一问题重在考查学生应用三角函数知识的能力。对原式进行变形处理之后，和都能够转化为三角函数形式，且夹角的关系已知。对于该类数学问题，依靠数字思维进行计算只会浪费更多的时间，教师可引导学生将其转化为几何问题，通过绘图将题中的未知量转化为线段的长度，将数字求解问题转化为线段求解问题，提高解题效率。数学问题不应该只有一种解答思路，学生只有学会反思、归纳，才能更好地应用逆向思维打破限制，提升解题能力。
4 在测试检验环节应用逆向思维，激发灵感
测试是检验学生数学学习能力的重要手段，也是对学生数学思维进行开发的有力工具。在测试中，以证明为核心的数学问题并不少见，这类问题在强调培养学生数学分析能力的同时，也能帮助学生查缺补漏。教师让学生对逆向思维进行合理应用，在分析数学问题的过程中掌握解答数学难题的一般技巧，能够加快学生吸收数学知识的速度[4]。以高中数学解题活动中的证明题为例，部分问题的解题要求并不复杂，但解题的流程十分复杂，由于这类问题往往没有给出具体的解题思路，学生很难作出准确的解答。 以下列问题为例：一个整数的平方可以被4整除，
求证这个数为偶数。如果只是重复列举数字，则根本无法解答这一数学问题。教师可引导学生利用逆向思维导入反证法，证明结论成立，将否定命题视为已知条件进行解题：如果x不是偶数，则x的值可以用整数a来表示，x=2a+1，通过算式得出数学表达式x2=
（2a+1）2=4a2+4a+1，得出x2为奇数，假设不成立，故x为偶数。应用逆向思维能够从相反的角度解答数学问题，教师在引导学生利用逆向思维解题的过程中，也要对这一特点进行应用，从而使学生掌握解答数学问题的一般思路。
5 在课后总结环节应用逆向思维，主动反思
在长期的数学学习中，学生已经积累了一定的数学解题经验，對逆向思维也有了一定的理解。教师要引导学生在学习中多应用逆向思维，并交流逆向思维的应用方法，在他人的方法中汲取灵感，发展自己的思维能力。此外，教师还要让学生在课后做好总结，主动反思，这样学生的逆向思维能力才能得到提升。
教师可引导学生开展总结活动，鼓励学生分享应用逆向思维解题的经验。以高中数学教学中的组合问题为例，教师可设计如下问题：大街上有8盏灯，编号分别为1，2，3……8，如果要关闭三个路灯，但不关闭相邻的两个路灯或三个路灯，也不关闭两端的路灯，有多少种关灯方式？在解题的过程中，一些学生的数学抽象能力较差，他们会选择做图、汇总等方式解答这一数学问题，这种解题方式耗时较长、效率低、更容易出错。部分学生则应用逆向思维解题：将问题转变为“在8个亮着的路灯的空隙中插入三个关闭的路灯，有多少种组合方式”。这部分学生借由逆向思维提高了解题效率，其他学生也能在这种解题方法中获得灵感，掌握数学解题的一般思路。
总之，合理应用逆向思维能够帮助学生找到新的数学解题思路，从而提升学生的数学解题效率。教师应该对逆向思维进行合理应用，将逆向思维引入到解题、分析、互动等各环节，加快学生的解题速度，并合理应用已知信息对数学问题进行归纳总结。
【参考文献】
[1]田肃安.浅谈如何在高中数学教学中培养学生的数学思维能力[J].考试周刊，2021（9）.
[2]谢翠琴.借助逆向思维 巧解数学难题[J].高考，2020（36）.
[3]隆占平.高中数学教学中学生思维能力的培养分析[J].学周刊，2020（31）.
[4]桂凯.高中数学教学中学生数学思维能力的培养探析[J].智力，2020（29）.
【作者简介】
唐杰（1983～），男，汉族，甘肃庆阳人，本科，一级教师。研究方向：数学教学。