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一、选择题(每小题4分,共40分,每小题只有一个选项符合题意)
1. 异面直线[a],[b]分别在平面[α],[β]内,且[α?β=c],则直线[c]( )
A. 同时与[α],[β]相交
B. 至少与[a],[b]之一相交
C. 最多与[a],[b]之一相交
D. 与[a],[b]之一相交且与另一平面平行
2. 设[a],[b],[c]为两两垂直的异面直线,[d]是[b],[c]的公垂线,则[d]与[a]的位置关系为( )
A. 相交 B. 平行
C. 异面 D. 不确定
3. 平面外一条直线与平面成[θ]角,则( )
A. [0°<θ<180°] B. [0°<θ<90°]
C. [0°<θ≤90°] D. [0°≤θ≤90°]
4. [α-l-β]是直二面角,直线[a]与平面[α]成[30°]角,设直线[a]与平面[β]所成角为[θ],则有( )
A. [θ=60°] B. [θ<60°]
C. [0°≤θ≤90°] D. [0°≤θ≤60°]
5. 设正三棱锥两侧面所成二面角为[θ],则( )
A. [θ=60°] B. [θ<60°]
C. [θ>60°] D. 以上都有可能
6. 将正方形[ABCD]沿其对角线[AC]折成直二面角后,[AB]与[CD]所成的角为( )
A. [45°] B. [90°]
C. [60°] D. [75°]
7. 直二面角[α-l-β]的棱上有一点[P],过[P]在[α],[β]内分别作与棱 [l] 成[45°]角的射线[PA,PB],则[∠APB=]( )
A. [60°] B. [120°]
C. [60°]或[120°] D. [90°]
8. 已知三棱锥底面是边长为1的正三角形,侧棱长均为2,则侧棱与底面所成角的余弦值为( )
A. [32] B. [12] C. [33] D. [36]
9. 在正方形[ABCD]中,[AB=4],沿对角线[AC]将正方形[ABCD]折成一个直二面角[B-AC-D],则点[B]到直线[CD]的距离为 ( )
A. [22] B. [32]
C. [23] D. [2+22]
10.在[△ABC]中,已知[AB=27,BC=37],[AC=7,][D]是边[AC]上的一点,将[△ABC]沿[BD]折叠,得到三棱锥[A-BCD],若该三棱锥的顶点[A]在底面[BCD]的射影[M]在线段[BC]上,设[BM=x],则[x]的取值范围是( )
A. [(0,27)] B. [(0,7)]
C. [(7,27)] D. [(27,37)]
二、填空题(每小题4分,共16分)
11. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm,4cm,3cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体,在这些新长方体中,最长的对角线的长度是 .
12. 空间四边形[ABCD]中,[AC=8],[BD=12],[E,F,G,H]分别是[AB,BC,CD,DA]边上的点,且[EFGH]为平行四边形,则四边形[EFGH]的周长的取值范围是 .
13. 如图,在正方体[ABCD-A1B1C1D1]中,[M,N]分别是棱[CD,CC1]的中点,则异面直线[A1M]与[DN]所成的角的大小是 .
14. 在棱长为1的正方体[ABCD-A1B1C1D1]中,若点[P]是棱上一点,则满足[|PA|+|PC1|=2]的点[P]的个数为 .
三、解答题(共4小题,44分)
15. (10分)如图所示,在四棱锥[P-ABCD]中,底面[ABCD]是矩形,[PA]⊥底面[ABCD]. [E]是[PC]的中点,已知[AB=2],[AD=22],[PA=2],求:
(1)[△PCD]的面积;
(2)异面直线[BC]与[AE]所成的角的大小.
16. (10分)如图,在四棱锥[P-ABCD]中,底面[ABCD]是矩形,[AD⊥PD],[BC=1],[PC=23],[PD=CD=2].
(1)求异面直线[PA]与[BC]所成角的正切值;
(2)证明平面[PDC]⊥平面[ABCD];
(3)求直线[PB]与平面[ABCD]所成角的正弦值.
17. (12分)如图所示,在四棱锥[P-ABCD]中,底面[ABCD]为矩形,[PA]⊥平面[ABCD],点[E]在线段[PC]上,[PC]⊥平面[BDE].
(1)证明:[BD]⊥平面[PAC];
(2)若[PA=1],[AD=2],求二面角[B-PC-A]的正切值.
18. (12分)如图,四边形[PCBM]是直角梯形,[∠PCB=90°],[PM]∥[BC],[PM=1,BC=2],[AC=1],[∠ACB=120°,AB⊥PC],直线[AM]与直线[PC]所成的角为[60°].
(1)求证:[PC⊥AC];
(2)求二面角[M-AC-B]的余弦值;
(3)求点[B]到平面[MAC]的距离.
1. 异面直线[a],[b]分别在平面[α],[β]内,且[α?β=c],则直线[c]( )
A. 同时与[α],[β]相交
B. 至少与[a],[b]之一相交
C. 最多与[a],[b]之一相交
D. 与[a],[b]之一相交且与另一平面平行
2. 设[a],[b],[c]为两两垂直的异面直线,[d]是[b],[c]的公垂线,则[d]与[a]的位置关系为( )
A. 相交 B. 平行
C. 异面 D. 不确定
3. 平面外一条直线与平面成[θ]角,则( )
A. [0°<θ<180°] B. [0°<θ<90°]
C. [0°<θ≤90°] D. [0°≤θ≤90°]
4. [α-l-β]是直二面角,直线[a]与平面[α]成[30°]角,设直线[a]与平面[β]所成角为[θ],则有( )
A. [θ=60°] B. [θ<60°]
C. [0°≤θ≤90°] D. [0°≤θ≤60°]
5. 设正三棱锥两侧面所成二面角为[θ],则( )
A. [θ=60°] B. [θ<60°]
C. [θ>60°] D. 以上都有可能
6. 将正方形[ABCD]沿其对角线[AC]折成直二面角后,[AB]与[CD]所成的角为( )
A. [45°] B. [90°]
C. [60°] D. [75°]
7. 直二面角[α-l-β]的棱上有一点[P],过[P]在[α],[β]内分别作与棱 [l] 成[45°]角的射线[PA,PB],则[∠APB=]( )
A. [60°] B. [120°]
C. [60°]或[120°] D. [90°]
8. 已知三棱锥底面是边长为1的正三角形,侧棱长均为2,则侧棱与底面所成角的余弦值为( )
A. [32] B. [12] C. [33] D. [36]
9. 在正方形[ABCD]中,[AB=4],沿对角线[AC]将正方形[ABCD]折成一个直二面角[B-AC-D],则点[B]到直线[CD]的距离为 ( )
A. [22] B. [32]
C. [23] D. [2+22]
10.在[△ABC]中,已知[AB=27,BC=37],[AC=7,][D]是边[AC]上的一点,将[△ABC]沿[BD]折叠,得到三棱锥[A-BCD],若该三棱锥的顶点[A]在底面[BCD]的射影[M]在线段[BC]上,设[BM=x],则[x]的取值范围是( )
A. [(0,27)] B. [(0,7)]
C. [(7,27)] D. [(27,37)]
二、填空题(每小题4分,共16分)
11. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm,4cm,3cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体,在这些新长方体中,最长的对角线的长度是 .
12. 空间四边形[ABCD]中,[AC=8],[BD=12],[E,F,G,H]分别是[AB,BC,CD,DA]边上的点,且[EFGH]为平行四边形,则四边形[EFGH]的周长的取值范围是 .
13. 如图,在正方体[ABCD-A1B1C1D1]中,[M,N]分别是棱[CD,CC1]的中点,则异面直线[A1M]与[DN]所成的角的大小是 .
14. 在棱长为1的正方体[ABCD-A1B1C1D1]中,若点[P]是棱上一点,则满足[|PA|+|PC1|=2]的点[P]的个数为 .
三、解答题(共4小题,44分)
15. (10分)如图所示,在四棱锥[P-ABCD]中,底面[ABCD]是矩形,[PA]⊥底面[ABCD]. [E]是[PC]的中点,已知[AB=2],[AD=22],[PA=2],求:
(1)[△PCD]的面积;
(2)异面直线[BC]与[AE]所成的角的大小.
16. (10分)如图,在四棱锥[P-ABCD]中,底面[ABCD]是矩形,[AD⊥PD],[BC=1],[PC=23],[PD=CD=2].
(1)求异面直线[PA]与[BC]所成角的正切值;
(2)证明平面[PDC]⊥平面[ABCD];
(3)求直线[PB]与平面[ABCD]所成角的正弦值.
17. (12分)如图所示,在四棱锥[P-ABCD]中,底面[ABCD]为矩形,[PA]⊥平面[ABCD],点[E]在线段[PC]上,[PC]⊥平面[BDE].
(1)证明:[BD]⊥平面[PAC];
(2)若[PA=1],[AD=2],求二面角[B-PC-A]的正切值.
18. (12分)如图,四边形[PCBM]是直角梯形,[∠PCB=90°],[PM]∥[BC],[PM=1,BC=2],[AC=1],[∠ACB=120°,AB⊥PC],直线[AM]与直线[PC]所成的角为[60°].
(1)求证:[PC⊥AC];
(2)求二面角[M-AC-B]的余弦值;
(3)求点[B]到平面[MAC]的距离.