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摘 要：概念是思维的细胞。概念教学时要体现概念产生的背景，突出概念的发生与发展，注重概念教学的核心——概况，揭示数学概念中所蕴涵的思想方法，促进学生对概念的实质性理解。通过对实际问题“数学化”的过程，积累的学生活动经验，提升学生的思维能力，增强学生的应用意识。
关键词：初中数学；概念教学；思想方法；类比概括
概念是思维的细胞。“数学根本上是玩概念，不是玩技巧。技巧不足道也”！因此，我们必须十分重视基本概念的教学，在核心概念的教学上更要做到“不惜时，不惜力”[1]。然而，当前“一个定义，三项注意”、“掐头去尾烧中段”、“概念教学=解题教学”、“照本宣科+模仿训练”等数学概念教学方式屡见不鲜。这些重“结果”轻“过程”的教学方式，没有概念产生的背景，没有概念的概括过程，忽视概念所蕴涵的数学思想方法，失去了学生发展能力与个性的机会，这是教育功利化在数学课堂上的集中表现。笔者曾听过张林老师执教的《二元一次方程》，该课充分体现数学概念教学的实质。
一、抓住课堂导入展示概念背景
课堂教学导入，是在新的教学内容开展之前，引导学生进入学习状态的教学行为。高尔基说过“文章的开头为定调，一定要好。雅沙菲兹的小提琴第一个音符就准确，悦耳动听。”教学亦然，好的导入，好比一把钥匙，开启着学生的心扉，达到“课未始，兴已浓”的良好状态。张老师是这样设计的：
问题1：某市在暑假期间组织了中学生篮球联赛，比赛规则是：赢一场得3分，输一场得1分；
（1）一支球队在联赛中共积20分，其中输了5场，若设该队赢了x场；请列出方程 .
（2）若没有输5场，能列出方程吗？
（3）一支球队在联赛中共积20分，若设该队赢了x场，输了y场；请列出方程 .
问题2：初一（7）班有18名学生相约到公园划船，需要租用船只，公园有A、B两种型号的船，A型船可以坐2人，B型船可以坐3人，每艘船都坐满，若设A型船租了x艘，B型船租了y艘；请列出方程 .
问题3：上述三个方程中有你们熟悉的方程吗？是什么方程？
该导入以学生熟悉的情境为载体，从列一元一次方程着手，提出问题，让学生体会到生活中有不能用一元一次方程解决的实际问题，它可以用含两个未知数的方程表示，引出新知.这个教学片段体现了“二元一次方程”产生的背景，它让学生经历了“数学化”过程，感知“二元一次方程”是在学习了“一元一次方程”的基础上，为满足解决某些实际问题和进一步学习数学的需要提出的，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，使学生产生必需学习这一新知的心理。两个新方程与学生原有的认知结构不符，给学生心理上造成一种强烈的冲击，使他们对所讲内容产生一种急于追下去的心理。这个情境就像一粒小石子，虽然小，却可以击中学生的“心潮”，激起朵朵涟漪，形成了“波才动万波随”的局面。
二、提供认知框架凸显教学思想
本节课是单元起始课，老师们一般都是单刀直入，直接进入二元一次方程概念的探索，忽略了起始课所承载的教育价值和作用，有“见木不见林”的弊端，容易造成被动学习的局面，学生独立思考、自主探究的机会大大减少。张老师通过高立意低起点的教学设计有效地弥补这一缺陷。
问题1：我们研究了“一元一次方程”的哪些内容？
问题2：类比一元一次方程的研究，能勾画一下“二元一次方程”研究的问题、过程和方法吗？
美国教育心理学家奥苏泊尔提出：先于学习任务本身呈现的一种引导性材料，它要比原学习任务本身具有更高的抽象、概括和包容水平，并且能清晰地与认知结构中原有的观念和新的学习任务关联，为新知识的学习提供认知框架。由于数学学习的抽象性和形式化，数学的引导性材料除了要求保持应有的综合性外，还应尽可能地使用具体、形象的语言，用最基本的常识性的概念来勾勒整体轮廓，使学生获得一个总体印象。该设计从这一理论出发，以一元一次方程为起点，通过类比提供了二元一次方程的认知框架，让学生对本章的研究内容有一个整体认识，在后续研究中能够“见木见林”。它使学生明确数学中研究一个问题的“基本套路”，是对思想方法的追索。在一个章节、一个单元的起始阶段，引导学生先从整体上概括地思考一下研究的内容和方法，不仅对学生领领悟数学思想方法有作用，而且对培养学生的创新精神和实践能力也有积极意义。
三、类比新旧知识提升概括能力
初中数学中有些概念具有类似性，它们在结构和特征上有着共同点和相似处。因此可用与旧概念类比的方法引入新概念，突出知识间的联系，有利于學生掌握的系统性及内在联系。张老师是这样处理二元一次方程概念教学的：
问题1：方程3x+y=20、2x+3y=18有怎样的共同点？
问题2：方程3x+xy=20有以上的共同点吗？它与前两个方程有无区别？若有，区别是什么？
问题3：类比一元一次方程的定义，大家试着给二元一次方程下定义。
问题4：一元一次方程与一元二次方程有何联系与区别？
这一设计由问题1概括出有两个未知数、未知数的次数是1、都是整式方程的共同属性，问题2激发学生对“项的次数”的思考，完善学生对两个新方程共性的概括。接着与一元一次方程的概念类比，得出二元一次方程的概念。它渗透了类比、特殊到一般的数学思想，有利于学生掌握知识的系统性及内在联系，促进了学生对二元一次方程概念的实质性理解，使学生的概括能力进一步得以提升。它符合教育与发展心理学提出的观点：数学概念教学的核心就是“概括”，就是将凝结在数学概念中的数学家的思维活动打开，以若干典型具体事例为载体，引导学生分析各事例的属性、抽象概括其共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念。
四、找准思维起点 提升思维品质
美国教育心理学家奥苏伯尔曾指出“影响学习唯一最重要的因素是学生已经知道了什么，要探明这一点，并应就此进行教学”。学生的学习过程是在教师的引导下的自我建构、自我生成的过程，其基础是学生原有的知识与经验，学生原有的知识与经验是教学活动的起点。张老师充分认识学生原有的知识水平，借助于学生已有的知识储备，展开二元一次方程解的教学。 问题1：已知一元一次方程2x+1=9，它的解为 。如何判断该答案是否正确？
问题2：下面两对数值，能使二元一次方程2x+y=9两边的值相等是 。（填序号）①x=2，y=5②x=-5，y=1
问题3：这样，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做二元一次方程的一组解。二元一次方程2x+y=9的解除了x=2，y=5，你还能写出其它的解吗？（一半的学生上黑板写，另一半上前批改）
问题4：如何判断书写的答案是否正确？如何书写的？
问题5：展示书写方法：当x=1时，2×1+y=9，移项得y=9-2，y=7；当x=2时，2×2+y=9，移项得y=9-4，y=5；当x=3时，2×3+y=9，移项得y=9-6，y=3……
你能把该方法简化吗？
（先移2x项，得y=9-2x，再取x的值代入计算）
张老师准确把握了学生已有的数学认知结构，明确新内容与已有数学认知结构之间的关系。从已有的知识经验“一元一次方程的解”中寻找切入点，引导学生独立思考、主动探索，得出二元一次方程的解的定义。为了揭示二元一次方程有无数组解的特征，他设置的问题3简单又开放，带有一定的挑战性。学生在高涨的情绪中，通过自己的亲身经历体会到“二元一次方程有无数组解”，这一新知的教学水到渠成、自然流畅。问题4、5，引导学生透过表面现象看本质，最终得出“把二元一次方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示”。这是一个“低起点，高落点”的探索活动，它让每一位学生都有事可做、有话可说，既照顾到个性差异，又容易诱发迁移，能使学生在不经意间攀登到知识方法的巅峰。它真正落实了《新课标》中倡导的“教师为主导，学生为主体”的教学原则。
五、解决实际问题 增强应用意识
《数学新课程标准》指出：为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识。应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中问题；另一方面，认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。
问题初一（7）班有18名学生相约到公园划船，需要租用船只，公园有A、B两种型号的船，A型船可坐2人，B型船可坐3人，每艘船都坐满。若设A型船租了x艘，B型船租了y艘；①请列出方程：2x+3y=18；②求出这个方程所有的解；③共有几种租船方案。
通过以上问题的解決，使学生感悟数学不是“枯燥”的，而是有“价值”的。它进一步培养了学生用数学眼光看问题、用数学头脑想问题的能力，增强了用数学知识解决实际问题的意识，进一步明了数学来源于生活，又服务于生活。
总之，张老师的这一节概念课，从二元一次方程产生的背景出发，揭示其蕴涵的数学思想，促进学生对概念的实质性理解。它遵从了学生的一般认知规律，使学生的学习始终处于一种自然生成的状态，新知识的发生、形成、应用，不是教师强加于学生的，它是一节高效的概念课。
参考文献：
[1]李邦河.数的概念发展[J].数学通报，2009，48（8）
[2]章建跃.中学数学课改的十个论题（续）[J].中学数学教学参考，2010（3）：2-5
[3]中华人民共和国教育部制定.初中数学新课程标准（2011版）[M].
关键词：初中数学；概念教学；思想方法；类比概括
概念是思维的细胞。“数学根本上是玩概念，不是玩技巧。技巧不足道也”！因此，我们必须十分重视基本概念的教学，在核心概念的教学上更要做到“不惜时，不惜力”[1]。然而，当前“一个定义，三项注意”、“掐头去尾烧中段”、“概念教学=解题教学”、“照本宣科+模仿训练”等数学概念教学方式屡见不鲜。这些重“结果”轻“过程”的教学方式，没有概念产生的背景，没有概念的概括过程，忽视概念所蕴涵的数学思想方法，失去了学生发展能力与个性的机会，这是教育功利化在数学课堂上的集中表现。笔者曾听过张林老师执教的《二元一次方程》，该课充分体现数学概念教学的实质。
一、抓住课堂导入展示概念背景
课堂教学导入，是在新的教学内容开展之前，引导学生进入学习状态的教学行为。高尔基说过“文章的开头为定调，一定要好。雅沙菲兹的小提琴第一个音符就准确，悦耳动听。”教学亦然，好的导入，好比一把钥匙，开启着学生的心扉，达到“课未始，兴已浓”的良好状态。张老师是这样设计的：
问题1：某市在暑假期间组织了中学生篮球联赛，比赛规则是：赢一场得3分，输一场得1分；
（1）一支球队在联赛中共积20分，其中输了5场，若设该队赢了x场；请列出方程 .
（2）若没有输5场，能列出方程吗？
（3）一支球队在联赛中共积20分，若设该队赢了x场，输了y场；请列出方程 .
问题2：初一（7）班有18名学生相约到公园划船，需要租用船只，公园有A、B两种型号的船，A型船可以坐2人，B型船可以坐3人，每艘船都坐满，若设A型船租了x艘，B型船租了y艘；请列出方程 .
问题3：上述三个方程中有你们熟悉的方程吗？是什么方程？
该导入以学生熟悉的情境为载体，从列一元一次方程着手，提出问题，让学生体会到生活中有不能用一元一次方程解决的实际问题，它可以用含两个未知数的方程表示，引出新知.这个教学片段体现了“二元一次方程”产生的背景，它让学生经历了“数学化”过程，感知“二元一次方程”是在学习了“一元一次方程”的基础上，为满足解决某些实际问题和进一步学习数学的需要提出的，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，使学生产生必需学习这一新知的心理。两个新方程与学生原有的认知结构不符，给学生心理上造成一种强烈的冲击，使他们对所讲内容产生一种急于追下去的心理。这个情境就像一粒小石子，虽然小，却可以击中学生的“心潮”，激起朵朵涟漪，形成了“波才动万波随”的局面。
二、提供认知框架凸显教学思想
本节课是单元起始课，老师们一般都是单刀直入，直接进入二元一次方程概念的探索，忽略了起始课所承载的教育价值和作用，有“见木不见林”的弊端，容易造成被动学习的局面，学生独立思考、自主探究的机会大大减少。张老师通过高立意低起点的教学设计有效地弥补这一缺陷。
问题1：我们研究了“一元一次方程”的哪些内容？
问题2：类比一元一次方程的研究，能勾画一下“二元一次方程”研究的问题、过程和方法吗？
美国教育心理学家奥苏泊尔提出：先于学习任务本身呈现的一种引导性材料，它要比原学习任务本身具有更高的抽象、概括和包容水平，并且能清晰地与认知结构中原有的观念和新的学习任务关联，为新知识的学习提供认知框架。由于数学学习的抽象性和形式化，数学的引导性材料除了要求保持应有的综合性外，还应尽可能地使用具体、形象的语言，用最基本的常识性的概念来勾勒整体轮廓，使学生获得一个总体印象。该设计从这一理论出发，以一元一次方程为起点，通过类比提供了二元一次方程的认知框架，让学生对本章的研究内容有一个整体认识，在后续研究中能够“见木见林”。它使学生明确数学中研究一个问题的“基本套路”，是对思想方法的追索。在一个章节、一个单元的起始阶段，引导学生先从整体上概括地思考一下研究的内容和方法，不仅对学生领领悟数学思想方法有作用，而且对培养学生的创新精神和实践能力也有积极意义。
三、类比新旧知识提升概括能力
初中数学中有些概念具有类似性，它们在结构和特征上有着共同点和相似处。因此可用与旧概念类比的方法引入新概念，突出知识间的联系，有利于學生掌握的系统性及内在联系。张老师是这样处理二元一次方程概念教学的：
问题1：方程3x+y=20、2x+3y=18有怎样的共同点？
问题2：方程3x+xy=20有以上的共同点吗？它与前两个方程有无区别？若有，区别是什么？
问题3：类比一元一次方程的定义，大家试着给二元一次方程下定义。
问题4：一元一次方程与一元二次方程有何联系与区别？
这一设计由问题1概括出有两个未知数、未知数的次数是1、都是整式方程的共同属性，问题2激发学生对“项的次数”的思考，完善学生对两个新方程共性的概括。接着与一元一次方程的概念类比，得出二元一次方程的概念。它渗透了类比、特殊到一般的数学思想，有利于学生掌握知识的系统性及内在联系，促进了学生对二元一次方程概念的实质性理解，使学生的概括能力进一步得以提升。它符合教育与发展心理学提出的观点：数学概念教学的核心就是“概括”，就是将凝结在数学概念中的数学家的思维活动打开，以若干典型具体事例为载体，引导学生分析各事例的属性、抽象概括其共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念。
四、找准思维起点 提升思维品质
美国教育心理学家奥苏伯尔曾指出“影响学习唯一最重要的因素是学生已经知道了什么，要探明这一点，并应就此进行教学”。学生的学习过程是在教师的引导下的自我建构、自我生成的过程，其基础是学生原有的知识与经验，学生原有的知识与经验是教学活动的起点。张老师充分认识学生原有的知识水平，借助于学生已有的知识储备，展开二元一次方程解的教学。 问题1：已知一元一次方程2x+1=9，它的解为 。如何判断该答案是否正确？
问题2：下面两对数值，能使二元一次方程2x+y=9两边的值相等是 。（填序号）①x=2，y=5②x=-5，y=1
问题3：这样，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做二元一次方程的一组解。二元一次方程2x+y=9的解除了x=2，y=5，你还能写出其它的解吗？（一半的学生上黑板写，另一半上前批改）
问题4：如何判断书写的答案是否正确？如何书写的？
问题5：展示书写方法：当x=1时，2×1+y=9，移项得y=9-2，y=7；当x=2时，2×2+y=9，移项得y=9-4，y=5；当x=3时，2×3+y=9，移项得y=9-6，y=3……
你能把该方法简化吗？
（先移2x项，得y=9-2x，再取x的值代入计算）
张老师准确把握了学生已有的数学认知结构，明确新内容与已有数学认知结构之间的关系。从已有的知识经验“一元一次方程的解”中寻找切入点，引导学生独立思考、主动探索，得出二元一次方程的解的定义。为了揭示二元一次方程有无数组解的特征，他设置的问题3简单又开放，带有一定的挑战性。学生在高涨的情绪中，通过自己的亲身经历体会到“二元一次方程有无数组解”，这一新知的教学水到渠成、自然流畅。问题4、5，引导学生透过表面现象看本质，最终得出“把二元一次方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示”。这是一个“低起点，高落点”的探索活动，它让每一位学生都有事可做、有话可说，既照顾到个性差异，又容易诱发迁移，能使学生在不经意间攀登到知识方法的巅峰。它真正落实了《新课标》中倡导的“教师为主导，学生为主体”的教学原则。
五、解决实际问题 增强应用意识
《数学新课程标准》指出：为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识。应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中问题；另一方面，认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。
问题初一（7）班有18名学生相约到公园划船，需要租用船只，公园有A、B两种型号的船，A型船可坐2人，B型船可坐3人，每艘船都坐满。若设A型船租了x艘，B型船租了y艘；①请列出方程：2x+3y=18；②求出这个方程所有的解；③共有几种租船方案。
通过以上问题的解決，使学生感悟数学不是“枯燥”的，而是有“价值”的。它进一步培养了学生用数学眼光看问题、用数学头脑想问题的能力，增强了用数学知识解决实际问题的意识，进一步明了数学来源于生活，又服务于生活。
总之，张老师的这一节概念课，从二元一次方程产生的背景出发，揭示其蕴涵的数学思想，促进学生对概念的实质性理解。它遵从了学生的一般认知规律，使学生的学习始终处于一种自然生成的状态，新知识的发生、形成、应用，不是教师强加于学生的，它是一节高效的概念课。
参考文献：
[1]李邦河.数的概念发展[J].数学通报，2009，48（8）
[2]章建跃.中学数学课改的十个论题（续）[J].中学数学教学参考，2010（3）：2-5
[3]中华人民共和国教育部制定.初中数学新课程标准（2011版）[M].