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【摘要】問题解决能力是新数学课程标准提出的重要能力，本文从波利亚的问题解决思想出发，探讨了北师大版小学数学教材在问题解决上的体现。
【关键词】问题解决；数学教材
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）05-0077-02
2011年，《全日制义务教育数学课程标准》颁布，新的数学课程标准中明确规定了数学思考和问题解决，强调要“在呈现知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程”[1]。
一、波利亚的问题解决思想
乔治·波利亚（George Polya），是著名的匈牙利数学家，在数学上的广阔领域内有精深的造诣。波利亚主张数学教育主要目的之一是发展学生的解决问题的能力，教会学生思考。在他的《怎样解题》一书中，总结了人类解决数学问题的一般规律和程序，对数学解题研究有着深远的影响。s
波利亚的问题解决过程分为四步：理解问题—拟定计划—实现计划—回顾检验[2]。
第一步：理解问题
未知数是什么？已知数有哪些？已经提供了什么条件？是否有可能满足给出的条件？要确定未知数，给出的条件是否充分或者不充分，或是冗余或是矛盾。
利用一些适当的符号，生成一张图。
把条件各部分细节分开，你能一项一项写出来吗？
第二步：拟定方案
在已知数与未知数之间寻找联系。如果找不到或者很难找到直接的联系，就不得不考虑辅助问题，拟定一个求未知数的计划。
你以前是否见过类似的问题？
你能否想到一个与之有用的定理？
只盯住未知数！努力相出一个具有相同未知数或者相似的未知数的熟悉的问题？
如果有一个已经解决，并且和你的问题有联系的问题，它能够给你带来帮助？你能利用之前的结论吗？或者是方法？需不需要辅助的元素？
再次理解与阐述你的问题，有没有不同的方法叙述它？
关于未知数的所有条件你都已经利用了吗？涉及问题的相关概念你都已经考虑到了吗？
第三步，实现计划。
根据拟定的计划，一步一步求解，注意检验每一个步骤。
每一步骤是否清晰正确？可否作出证明？
第四步：回顾检验
这个结果能够禁得住检验？如果用另外一个方法，会得到相同的结果吗？
这个结果能否用于其他的问题？
当然，这四步具有重要性上的优次。例如，“理解问题”是解决问题的一个必要前提，需要分析已知和未知，明确问题的核心是什么；“执行计划”只要一步一步按照计划，具有足够的耐心；而最有挑战性的是“拟定计划”，引发解题的思路，也就如波利亚说的“好念头”；“回顾检验”是为了能够更好地利用这个问题，也就是教学中的“举一反三”。
二、波利亚的问题解决思想在北师大版小学数学教材中的应用
在北师大版的小学数学教材中，“问题解决”是教材编写的重要思想之一。每一小节的示例和练习都有不同类型的问题解决。
1.问题解决方法。这一类问题重点在于强调解决问题的方法，比如，画图法、列表法、动手操作等。如例1（北师大版三年级下册第63页，图略）。
例1：同学们一起去游园租出，一共48人，每辆小车120元，限乘客12人；每辆大车160元，限乘客18人。同学们可以怎么租车，需要多少钱？
理解：你知道哪些条件？一共有48人，一辆小车每辆120元，一辆小车可以坐12人，一辆大车每辆160元，一辆大车可以坐18人，计算他们租车的方法，需要花多少钱？
计划：因为问题是找到租车的方法，那可以把所有的方法都写出来，一个途径是可以画表格。
解决：画表格，将所有的方案都列出来。
因此，一共有5种租车方案，其中方案1和方案5更省钱。
回顾检验：回顾检验，答案是否合理？这样的问题解决解决方法可以适用于哪些问题？
2.学科中的问题解决。这一类问题涉及到了例如，文学，健康，历史，经济等学科，通过跨学科的真实情境提高学生的问题解决能力。如例2（北师大版五年级上册第12页，图略）。
例2：美国小朋友玛丽给笑笑寄来了一本故事书（故事书6.70美元），折合人民币多少元？（1美元兑换人民币6.31元）
理解：你知道哪些条件？书的标价为6.70美元，1美元可以兑换人民币6.31元，问题是：书的价格折合人民币多少元？
计划：因为问题是书的人民币价格，所以可以用乘法解决。
解决：6.7×6.31≈42.28元
因此，这本书折合成人民币大约为42.28元。
回顾检验：回顾问题，答案是否合理？这样的方法可以解决其他种类的钱币的兑换吗？
可以看出，北师大的小学数学教材凸显了“问题解决”的课程要求。
三、对小学数学教材编写的启发
小学数学教材的编写反映了波利亚问题解决思想在教材中的体现，具有以下几点启发：
1.进一步强调“回顾检验”阶段。在实际的数学教育中，要重视回顾检验这一阶段，这直接会影响学生在解决相似情境问题的能力。教师在引导学生问题解决的过程中，应潜移默化，而不是将这四个阶段生硬地作为程序加以灌输。
2.避免将“解决问题”形式化。对于数学教科书的编写，我国学者陈重穆、宋乃庆等提出要“淡化形式，注重实质”。传统的小学数学教材的编写中容易将“解决问题”形式化，认为解应用题就是解决问题。因此，应该探索多视角，多情境的进行课程设计。如PISA数学测验中对情境维度的划分，就分成了个人情境、社会情境、职业情境和科学情境。
3.力求差异化特色化。当前教育理念尊重“学生的个性化发展”，特别是，我国幅员辽阔，不同地区自然与人文特色各异，因此，需要编写适合不同地区的小学数学教材。目前，我国已经出版的教材有8个版本之多，但差异性不明显，地区特色有待进一步提升。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012：64.
[2]Altieri.California Mathematics：Concepts Skils Problem Solving[M].Macmilan McGrawHil，2008.
作者简介：王悦婷（1992—），女，河北保定人，单位：陕西师范大学教育学院2015级硕士研究生，研究方向：课程与教学论。
【关键词】问题解决；数学教材
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）05-0077-02
2011年，《全日制义务教育数学课程标准》颁布，新的数学课程标准中明确规定了数学思考和问题解决，强调要“在呈现知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程”[1]。
一、波利亚的问题解决思想
乔治·波利亚（George Polya），是著名的匈牙利数学家，在数学上的广阔领域内有精深的造诣。波利亚主张数学教育主要目的之一是发展学生的解决问题的能力，教会学生思考。在他的《怎样解题》一书中，总结了人类解决数学问题的一般规律和程序，对数学解题研究有着深远的影响。s
波利亚的问题解决过程分为四步：理解问题—拟定计划—实现计划—回顾检验[2]。
第一步：理解问题
未知数是什么？已知数有哪些？已经提供了什么条件？是否有可能满足给出的条件？要确定未知数，给出的条件是否充分或者不充分，或是冗余或是矛盾。
利用一些适当的符号，生成一张图。
把条件各部分细节分开，你能一项一项写出来吗？
第二步：拟定方案
在已知数与未知数之间寻找联系。如果找不到或者很难找到直接的联系，就不得不考虑辅助问题，拟定一个求未知数的计划。
你以前是否见过类似的问题？
你能否想到一个与之有用的定理？
只盯住未知数！努力相出一个具有相同未知数或者相似的未知数的熟悉的问题？
如果有一个已经解决，并且和你的问题有联系的问题，它能够给你带来帮助？你能利用之前的结论吗？或者是方法？需不需要辅助的元素？
再次理解与阐述你的问题，有没有不同的方法叙述它？
关于未知数的所有条件你都已经利用了吗？涉及问题的相关概念你都已经考虑到了吗？
第三步，实现计划。
根据拟定的计划，一步一步求解，注意检验每一个步骤。
每一步骤是否清晰正确？可否作出证明？
第四步：回顾检验
这个结果能够禁得住检验？如果用另外一个方法，会得到相同的结果吗？
这个结果能否用于其他的问题？
当然，这四步具有重要性上的优次。例如，“理解问题”是解决问题的一个必要前提，需要分析已知和未知，明确问题的核心是什么；“执行计划”只要一步一步按照计划，具有足够的耐心；而最有挑战性的是“拟定计划”，引发解题的思路，也就如波利亚说的“好念头”；“回顾检验”是为了能够更好地利用这个问题，也就是教学中的“举一反三”。
二、波利亚的问题解决思想在北师大版小学数学教材中的应用
在北师大版的小学数学教材中，“问题解决”是教材编写的重要思想之一。每一小节的示例和练习都有不同类型的问题解决。
1.问题解决方法。这一类问题重点在于强调解决问题的方法，比如，画图法、列表法、动手操作等。如例1（北师大版三年级下册第63页，图略）。
例1：同学们一起去游园租出，一共48人，每辆小车120元，限乘客12人；每辆大车160元，限乘客18人。同学们可以怎么租车，需要多少钱？
理解：你知道哪些条件？一共有48人，一辆小车每辆120元，一辆小车可以坐12人，一辆大车每辆160元，一辆大车可以坐18人，计算他们租车的方法，需要花多少钱？
计划：因为问题是找到租车的方法，那可以把所有的方法都写出来，一个途径是可以画表格。
解决：画表格，将所有的方案都列出来。
因此，一共有5种租车方案，其中方案1和方案5更省钱。
回顾检验：回顾检验，答案是否合理？这样的问题解决解决方法可以适用于哪些问题？
2.学科中的问题解决。这一类问题涉及到了例如，文学，健康，历史，经济等学科，通过跨学科的真实情境提高学生的问题解决能力。如例2（北师大版五年级上册第12页，图略）。
例2：美国小朋友玛丽给笑笑寄来了一本故事书（故事书6.70美元），折合人民币多少元？（1美元兑换人民币6.31元）
理解：你知道哪些条件？书的标价为6.70美元，1美元可以兑换人民币6.31元，问题是：书的价格折合人民币多少元？
计划：因为问题是书的人民币价格，所以可以用乘法解决。
解决：6.7×6.31≈42.28元
因此，这本书折合成人民币大约为42.28元。
回顾检验：回顾问题，答案是否合理？这样的方法可以解决其他种类的钱币的兑换吗？
可以看出，北师大的小学数学教材凸显了“问题解决”的课程要求。
三、对小学数学教材编写的启发
小学数学教材的编写反映了波利亚问题解决思想在教材中的体现，具有以下几点启发：
1.进一步强调“回顾检验”阶段。在实际的数学教育中，要重视回顾检验这一阶段，这直接会影响学生在解决相似情境问题的能力。教师在引导学生问题解决的过程中，应潜移默化，而不是将这四个阶段生硬地作为程序加以灌输。
2.避免将“解决问题”形式化。对于数学教科书的编写，我国学者陈重穆、宋乃庆等提出要“淡化形式，注重实质”。传统的小学数学教材的编写中容易将“解决问题”形式化，认为解应用题就是解决问题。因此，应该探索多视角，多情境的进行课程设计。如PISA数学测验中对情境维度的划分，就分成了个人情境、社会情境、职业情境和科学情境。
3.力求差异化特色化。当前教育理念尊重“学生的个性化发展”，特别是，我国幅员辽阔，不同地区自然与人文特色各异，因此，需要编写适合不同地区的小学数学教材。目前，我国已经出版的教材有8个版本之多，但差异性不明显，地区特色有待进一步提升。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012：64.
[2]Altieri.California Mathematics：Concepts Skils Problem Solving[M].Macmilan McGrawHil，2008.
作者简介：王悦婷（1992—），女，河北保定人，单位：陕西师范大学教育学院2015级硕士研究生，研究方向：课程与教学论。