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“启发”一词，来源于我国古代教育家孔子教学的一句格言：“子曰：‘不愤不启，不悱不发。举一隅不以三隅反，则不复也。’”朱熹对此解释说：“愤者，心求通而未得之意；悱者，口欲言而未能之貌。启，谓开其意；发，谓达其辞。”后来，人们概括孔子的教学思想，也吸取朱熹的注释，就称为“启发”或“启发式”。从孔子的话和朱熹的解释来看，“启发”主要指教学的表现形式艺术，强调教学的适度性和巧妙性。
启发性的课堂教学，有利于师生交流信息。有利于唤起学生的注意、激发学生的求知欲望、更有利于培养学生的逻辑思维能力。运用启发式教学时，面对学生的“愤悱”状态，教师如何启发，启发的内容、启发的方法直接影响课堂教学的效果。笔者经过几年的探索，结合教学实际谈谈对“启发式”教学的认识：
一、启发的内容
不同的教学内容，选择的教学方式不同，教师启发的内容也不同；同样的教学内容，学情不同，教师启发的内容也会有区别。所以，教师启发的内容要根据教学内容、教学方式、学情等来选择。但是，不管什么样的教学内容，什么样的教学方式，概括起来不外乎有以下几种：
1.启方法。
所谓方法，古指量度方形的法则，现指为达到某种目的而采取的途径、步骤、手段等。这里主要指学法，学生学习新知识的途径、手段、步骤等。
2.启旧知。
由于数学知识体系的逻辑性，新知是建立在旧知基础上的，教材的编排都是一环扣一环的，也由于教科书呈现的数学知识都是思维结果，思维活动过程被掩盖了，所以，学生得模仿数学家的“再创造”进行重新认识。
3.启思路。
有的问题比较复杂，具有一定的思维难度，学生在解决问题的过程中，不是很顺畅，会遇到这样那样的坎，此时就需要教师的启发和引导。
4.启表达（概念、结论）。
由于数学知识的抽象性、严谨性，数学语言的简洁性、规范性，有些数学问题让学生自主探究，经历“再发现”是比较困难的。特别是概念型的教学，学生的语言会出现表述不严密、不准确、不严谨的现象，这就迫切需要教师的启发、引导、追问，才能把概念表述清楚、准确。
二、启发的方法
1.质疑法。
有些数学知识学生进行自主探究出现思维堵塞的时候，教师可以用质疑的方法，旁敲侧击，激起思考。如三年级有这样一个问题：两桶油共重54千克，从第一桶里倒出6千克油放进第二桶后，两桶油一样重，原来两桶油各重几千克？由于孩子的思维都是顺向思维，由前到后开始思考的，而本题必须从最后一个条件入手，所以，孩子怎么也思考不出解决的办法。我就这样启发：54÷2的商27表示什么呀？27—6的差21又表示什么呢？27+6的和呢？这样的质疑，就是当学生思维短路、无法前进的时候，教师把正确答案的算式一步一步直接给出，追问学生每一步表示什么意思，水到渠成，顺理成章，孩子会有一种恍然大悟的感觉。
2.商榷法。
商榷法就是教师以商量的口吻和学生对话，给学生一种平易近人的感觉。这是师生民主的一种表现，能够充分激发学生的学习兴趣，激起学生思维的涟漪，诱开堵塞的大门。这种“商榷法”的启发运用，是把启发的答案直接含在问题里面，既让学生感觉到教师的亲和力，又起到启发诱思的作用。
3.图示法。
有些数学问题，用语言启发学生不一定能理解，这时借助图示法来引导，就能收到很好的效果。图示法常用的是线段图，直观、形象，学生容易理解。但是线段图只能在高年级使用，低年级的学生仍然感觉很抽象。对于低年级的学生，我是借助缩略图来引导的。如教学“倍”的时候，我是用学生熟悉的圆形图（或者是三角形、长方形等都可以）来启发学生理解的。如：四（3）班有40本科技书，四（3）班的本数是四（1）班的4倍，四（1）班有多少本科技书？
用缩略图启发引导，更符合低年级孩子的认知特点，学生更易接受。不管是线段图还是缩略图，都是借助图形来启发诱思。实际上这是数学语言之间的一种转换，把文字语言转换成图形语言，是一种有效的解题策略。
4.比较法。
著名教育家乌申斯基认为：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”比较法是小学数学教学中常用的一种逻辑方法，是把若干既有区别又有联系的知识放在一起进行对比或类比的一种学习方法。通过比较，归纳总结其异同，突出其本质特征。数学教学中运用比较法进行启发式教学，会收到事半功倍的效果，有助于突出重点，突破难点，防止混淆知识，提高比较、辨别能力，发展思维能力。
如教学《一一列举策略》时，有这样一个问题：为更好地保护羊圈，王大叔准备从下列灰、黑、白3种良犬中选用牧羊犬，最少选1种，最多选3种。一共有多少种不同的选法？
学生独立思考试做，出现很多种列举方法，但是必须要进行优化，到底运用哪一种方法比较简便、快捷，我进行了这样的启发：搜集学生中典型的做法如下，放到投影上。
学生A：灰犬、黑犬、白犬各1只，有三种选法；1只灰犬和1只白犬是一种选法；1只灰犬和1只黑犬是一种选法；1只白犬和1只灰犬是一种选法；1只灰犬、1只黑犬和1只白犬都选是一种，共计七种。
学生B：灰犬1只；1只灰犬和1只白犬；1只灰犬和1只黑犬；黑犬1只；1只黑犬和1只白犬；白犬1只；1只灰犬和1只黑犬和1只白犬，共计七种。
学生C：灰1，黑2，白3。选法有：1，2，3；12，13，23；123，共计七种。
学生D：灰A，黑B，白C，选法有：A，B，C；AB，AC，BC；ABC，共计七种。
学生E：1.灰犬；2.黑犬；3.白犬；4.1只灰犬和1只白犬；5.1只灰犬和1只黑犬；6.1只白犬和1只黑犬；7.1只灰犬、1只黑犬和1只白犬。
……
让学生自己观察、比较，接着请学生说一说每一种各有哪些优点。通过这样的启发，让学生自己在比较、观察、辨别中悟出数学的真谛，得出数学结论，开发思维，启迪智慧。
启发式教学，古今中外都认为是一个成功的教学原则，是我国古代教育思想的瑰宝，也是现代教学方法的灵魂和特征。运用启发式教学，能激起学生自主探究、独立思考，能启迪思维，充分调动学生的学习积极性。叶圣陶先生曾指出：“教，是为了不用教。”教师通过启发式教学让学生爱学、会学、学好，并获得终身学习的能力。
启发性的课堂教学，有利于师生交流信息。有利于唤起学生的注意、激发学生的求知欲望、更有利于培养学生的逻辑思维能力。运用启发式教学时，面对学生的“愤悱”状态，教师如何启发，启发的内容、启发的方法直接影响课堂教学的效果。笔者经过几年的探索，结合教学实际谈谈对“启发式”教学的认识：
一、启发的内容
不同的教学内容，选择的教学方式不同，教师启发的内容也不同；同样的教学内容，学情不同，教师启发的内容也会有区别。所以，教师启发的内容要根据教学内容、教学方式、学情等来选择。但是，不管什么样的教学内容，什么样的教学方式，概括起来不外乎有以下几种：
1.启方法。
所谓方法，古指量度方形的法则，现指为达到某种目的而采取的途径、步骤、手段等。这里主要指学法，学生学习新知识的途径、手段、步骤等。
2.启旧知。
由于数学知识体系的逻辑性，新知是建立在旧知基础上的，教材的编排都是一环扣一环的，也由于教科书呈现的数学知识都是思维结果，思维活动过程被掩盖了，所以，学生得模仿数学家的“再创造”进行重新认识。
3.启思路。
有的问题比较复杂，具有一定的思维难度，学生在解决问题的过程中，不是很顺畅，会遇到这样那样的坎，此时就需要教师的启发和引导。
4.启表达（概念、结论）。
由于数学知识的抽象性、严谨性，数学语言的简洁性、规范性，有些数学问题让学生自主探究，经历“再发现”是比较困难的。特别是概念型的教学，学生的语言会出现表述不严密、不准确、不严谨的现象，这就迫切需要教师的启发、引导、追问，才能把概念表述清楚、准确。
二、启发的方法
1.质疑法。
有些数学知识学生进行自主探究出现思维堵塞的时候，教师可以用质疑的方法，旁敲侧击，激起思考。如三年级有这样一个问题：两桶油共重54千克，从第一桶里倒出6千克油放进第二桶后，两桶油一样重，原来两桶油各重几千克？由于孩子的思维都是顺向思维，由前到后开始思考的，而本题必须从最后一个条件入手，所以，孩子怎么也思考不出解决的办法。我就这样启发：54÷2的商27表示什么呀？27—6的差21又表示什么呢？27+6的和呢？这样的质疑，就是当学生思维短路、无法前进的时候，教师把正确答案的算式一步一步直接给出，追问学生每一步表示什么意思，水到渠成，顺理成章，孩子会有一种恍然大悟的感觉。
2.商榷法。
商榷法就是教师以商量的口吻和学生对话，给学生一种平易近人的感觉。这是师生民主的一种表现，能够充分激发学生的学习兴趣，激起学生思维的涟漪，诱开堵塞的大门。这种“商榷法”的启发运用，是把启发的答案直接含在问题里面，既让学生感觉到教师的亲和力，又起到启发诱思的作用。
3.图示法。
有些数学问题，用语言启发学生不一定能理解，这时借助图示法来引导，就能收到很好的效果。图示法常用的是线段图，直观、形象，学生容易理解。但是线段图只能在高年级使用，低年级的学生仍然感觉很抽象。对于低年级的学生，我是借助缩略图来引导的。如教学“倍”的时候，我是用学生熟悉的圆形图（或者是三角形、长方形等都可以）来启发学生理解的。如：四（3）班有40本科技书，四（3）班的本数是四（1）班的4倍，四（1）班有多少本科技书？
用缩略图启发引导，更符合低年级孩子的认知特点，学生更易接受。不管是线段图还是缩略图，都是借助图形来启发诱思。实际上这是数学语言之间的一种转换，把文字语言转换成图形语言，是一种有效的解题策略。
4.比较法。
著名教育家乌申斯基认为：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”比较法是小学数学教学中常用的一种逻辑方法，是把若干既有区别又有联系的知识放在一起进行对比或类比的一种学习方法。通过比较，归纳总结其异同，突出其本质特征。数学教学中运用比较法进行启发式教学，会收到事半功倍的效果，有助于突出重点，突破难点，防止混淆知识，提高比较、辨别能力，发展思维能力。
如教学《一一列举策略》时，有这样一个问题：为更好地保护羊圈，王大叔准备从下列灰、黑、白3种良犬中选用牧羊犬，最少选1种，最多选3种。一共有多少种不同的选法？
学生独立思考试做，出现很多种列举方法，但是必须要进行优化，到底运用哪一种方法比较简便、快捷，我进行了这样的启发：搜集学生中典型的做法如下，放到投影上。
学生A：灰犬、黑犬、白犬各1只，有三种选法；1只灰犬和1只白犬是一种选法；1只灰犬和1只黑犬是一种选法；1只白犬和1只灰犬是一种选法；1只灰犬、1只黑犬和1只白犬都选是一种，共计七种。
学生B：灰犬1只；1只灰犬和1只白犬；1只灰犬和1只黑犬；黑犬1只；1只黑犬和1只白犬；白犬1只；1只灰犬和1只黑犬和1只白犬，共计七种。
学生C：灰1，黑2，白3。选法有：1，2，3；12，13，23；123，共计七种。
学生D：灰A，黑B，白C，选法有：A，B，C；AB，AC，BC；ABC，共计七种。
学生E：1.灰犬；2.黑犬；3.白犬；4.1只灰犬和1只白犬；5.1只灰犬和1只黑犬；6.1只白犬和1只黑犬；7.1只灰犬、1只黑犬和1只白犬。
……
让学生自己观察、比较，接着请学生说一说每一种各有哪些优点。通过这样的启发，让学生自己在比较、观察、辨别中悟出数学的真谛，得出数学结论，开发思维，启迪智慧。
启发式教学，古今中外都认为是一个成功的教学原则，是我国古代教育思想的瑰宝，也是现代教学方法的灵魂和特征。运用启发式教学，能激起学生自主探究、独立思考，能启迪思维，充分调动学生的学习积极性。叶圣陶先生曾指出：“教，是为了不用教。”教师通过启发式教学让学生爱学、会学、学好，并获得终身学习的能力。