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摘 要 金融衍生物的定价是近代金融界所关注的重要问题,同时由于金融衍生物的定价受到多方面因素的影响,金融衍生物的定价成为困扰很多学者的问题。1973年美国经济学家Black和Scholes建立了后来被广泛接受的Black-Scholes定价模型,之后诸多学者从事该方面的研究,对定价模型进行进一步发展。本文将研究Black-Scholes定价公式及其特征分析,并研究Black-Scholes定价模型在金融工程中的运用。
关键词 Black-Scholes定价模型微分方程 金融工程
一、证券定价模型研究综述
金融衍生物的定价是近代金融界所关注的重要问题,从Bachelier在1900年从事证券价格变化情况后[1],越来越多的学者开始证券价格变化的模型,在Bachelier的研究中,算术布朗运动模型计算的价格为负值,随后Samuelson提出了几何布朗运动的模型[2],建模计算证券价格,由于布朗运动具有很好的随机分布计算性质,因此后来被广泛地应用于定价模型的建立和计算。但是在实际证券市场中,由于很多股票市场出现肥尾,自相似等因素,使得使用布朗运动模型计算的价格往往不符合真是的市场。由于定价模型的不适用性,Mandelbrot和Van Ness提出了分数布朗运动[3]弥补了定价模型的缺陷,后来又有学者证明了分数Black-Scholes市场存在套利,而Black-Scholes模型也成为证券市场最为常用的定价模型。而Black-Scholes定价模型是在基于几何布朗运动的条件,下面就证明关于几何布朗运动的定理证明
二、Black-Scholes定价模型假设
Black-Scholes通过变量替换,利用一些数学技巧将微分方程转换成标准的抛物型方程,在建立定价模型时,Black-Scholes模型是基于若干假设的。
Black-Scholes模型的假设:
市场套利都是有风险的,换言之,市场是没有无风险的套利机会的。
市场没有税收和交易成本。
市场允许卖空,即投资者可以卖空衍生物。
股票的价格都是服从对数正态分布[4]。
虽然上述的假设与实际投资市场有很大的不一致,比如假设中第二条,假设市场没有税收和交易成本,但是在实际投资市场中是存在税收及交易成本,但是在推导过程中,上述的假设条件可以稍加弱化。
三、Black-Scholes定价微分方程
假设一衍生物的价格是,t表示衍生证券的持有时间,而s是表示金融衍生物的基本价格,假设基本价格s服从几何布朗运动,则有
下面对此式进行证明:
首先,我们知道其中服从标准正态分布,有标准正态分布的性质可知:
由于是有限的,由极限知识知道,当时,趋向于零。并且当时,有
根据二元函数的泰勒公式,可以将函数展开成为如下形式:
当时,上式从第三项之后都是的高阶无穷小。将(1)和(2)代入(3)式,可以得到:
由此我们证明了如果衍生证券的价格中的变量s,也就是证券的基本价格服从几何布朗运动,那么证券价格满足微分方程(4)式。这是Black-Scholes定价模型的中价格函数所满足的微分方程,这对Black-Scholes定价公式的具体推导有着很重要的价值。
Black-Scholes定价模型提供了一种估算证券定价的模型,在金融工程上有着重要价值,但是对于真实的证券市场,证券定价受到很多因素的影响,任何模型都只是对现实问题的抽象和模拟,总是要基于一些假设,或者不能考虑所有的影响因素,这就使得定价模型不能准确地模拟现实。Black-Scholes定价模型也存在着缺陷,其中一些假设是与真实情况不符合的,但是Black-Scholes定价模型仍然给出了现实比较好的模拟,具有其重要价值。
参考文献:
[1]Bachelier L. Theory of Speculation. Cootner P. The random charater of stock market prices. P 14-90
[2]Sumuelson Rational theory of warrant pricing. Industrial Management Review P 45-89
[3]Mandelbrot Fractional Brownian motion, fractional noises and application P343-412
[4]施兵超.金融期货与期权 P78-123
关键词 Black-Scholes定价模型微分方程 金融工程
一、证券定价模型研究综述
金融衍生物的定价是近代金融界所关注的重要问题,从Bachelier在1900年从事证券价格变化情况后[1],越来越多的学者开始证券价格变化的模型,在Bachelier的研究中,算术布朗运动模型计算的价格为负值,随后Samuelson提出了几何布朗运动的模型[2],建模计算证券价格,由于布朗运动具有很好的随机分布计算性质,因此后来被广泛地应用于定价模型的建立和计算。但是在实际证券市场中,由于很多股票市场出现肥尾,自相似等因素,使得使用布朗运动模型计算的价格往往不符合真是的市场。由于定价模型的不适用性,Mandelbrot和Van Ness提出了分数布朗运动[3]弥补了定价模型的缺陷,后来又有学者证明了分数Black-Scholes市场存在套利,而Black-Scholes模型也成为证券市场最为常用的定价模型。而Black-Scholes定价模型是在基于几何布朗运动的条件,下面就证明关于几何布朗运动的定理证明
二、Black-Scholes定价模型假设
Black-Scholes通过变量替换,利用一些数学技巧将微分方程转换成标准的抛物型方程,在建立定价模型时,Black-Scholes模型是基于若干假设的。
Black-Scholes模型的假设:
市场套利都是有风险的,换言之,市场是没有无风险的套利机会的。
市场没有税收和交易成本。
市场允许卖空,即投资者可以卖空衍生物。
股票的价格都是服从对数正态分布[4]。
虽然上述的假设与实际投资市场有很大的不一致,比如假设中第二条,假设市场没有税收和交易成本,但是在实际投资市场中是存在税收及交易成本,但是在推导过程中,上述的假设条件可以稍加弱化。
三、Black-Scholes定价微分方程
假设一衍生物的价格是,t表示衍生证券的持有时间,而s是表示金融衍生物的基本价格,假设基本价格s服从几何布朗运动,则有
下面对此式进行证明:
首先,我们知道其中服从标准正态分布,有标准正态分布的性质可知:
由于是有限的,由极限知识知道,当时,趋向于零。并且当时,有
根据二元函数的泰勒公式,可以将函数展开成为如下形式:
当时,上式从第三项之后都是的高阶无穷小。将(1)和(2)代入(3)式,可以得到:
由此我们证明了如果衍生证券的价格中的变量s,也就是证券的基本价格服从几何布朗运动,那么证券价格满足微分方程(4)式。这是Black-Scholes定价模型的中价格函数所满足的微分方程,这对Black-Scholes定价公式的具体推导有着很重要的价值。
Black-Scholes定价模型提供了一种估算证券定价的模型,在金融工程上有着重要价值,但是对于真实的证券市场,证券定价受到很多因素的影响,任何模型都只是对现实问题的抽象和模拟,总是要基于一些假设,或者不能考虑所有的影响因素,这就使得定价模型不能准确地模拟现实。Black-Scholes定价模型也存在着缺陷,其中一些假设是与真实情况不符合的,但是Black-Scholes定价模型仍然给出了现实比较好的模拟,具有其重要价值。
参考文献:
[1]Bachelier L. Theory of Speculation. Cootner P. The random charater of stock market prices. P 14-90
[2]Sumuelson Rational theory of warrant pricing. Industrial Management Review P 45-89
[3]Mandelbrot Fractional Brownian motion, fractional noises and application P343-412
[4]施兵超.金融期货与期权 P78-123