一道中考数学压轴题的“出炉”过程

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  笔者有幸参加了某一年曲靖市中考数学的命题工作。现就这一年曲靖市中考数学卷中的第23题压轴题的“出炉”之路与各位初中数学教师分享,达到学习交流、共同探讨的目的。
  一、初稿的产生与评析
  根据这一年云南省中考数学考试说明,课程标准(数学)要求,初中数学知识双向细目表,命题组对试卷的第23题即本套数学试卷的压轴题提出了如下要求:一是以二次函数为背景,结合三角形、四边形(圆与二次函数的结合上年已考)的有关知识,重点考查学生对基本图形的识别能力和综合应用数学知识分析问题,解决问题的能力;二是渗透数形结合,代数、方程分类等数学思想和方法;三是数据的设计避免繁难的计算,重点考查数学思想和方法。
  初稿:如图1,在平面直角坐标系中,抛物线交轴于A,B两点,交y轴于点C(0,3),.
  (1)求抛物线的解析式。
  (2)D是抛物线的顶点,求四边形AOCD的面积.
  (3)点M是抛物线上任意一点,连接CM,以CM为边作正方形CMEF,是否存在这样的点M,使点E或F恰好落在对称轴上?若存在,请求出点M的坐标;若不存在;请说明理由.
  分析:初稿基本满足了命题组的要求.
  第(1)问很常见,学生易上手,利用,可得OA=3,于是A(-3,0),把点(0,3),A(﹣3,0)代入可求得.
  第(2)问只需求出顶点D的坐标(-1,4),适当添加辅助线(课本七年级下册有此方法)利用图形面积的和差,大部分学生都能完成,方法上的要求不高;第(3)问难度陡增,且与前面问题关联性很小。况且第(3)问中,还要讨论E点在对称轴上和F点在对称轴上两种情况:
  情况1:点E在对称轴上如图2,过点M作MG⊥y轴于G,交对称轴于N.
  有△MGC≌△ENM.
  于是MH=CG
  设M(,)  MH=∣n+1∣,
  CG=
  所以或
  解得.
  情况2:点F落在对称轴上,如图3,过M作MG⊥y轴于G,过F作FN⊥y轴于N.
  有△MGC≌△CNF
  于是CG=FN
  设M(,)
  所以或
  解得:或
  把x的值代入中可求出对应的纵坐标.
  共有7种可能,且有6种情况计算纵坐标时比较繁。另外从学生角度考虑,每种情况就有一个图形,要画出的图形太多。
  二、第二稿的形成与评价
  经过命题对初稿答案的讨论,初稿中第(2)问对于第(1)问难度没有坡度,属于考查基本知识的范畴,需改进,且第(2)问对解决第(3)方法上没有提供支持和铺垫,第(2)问要重新设计,第(3)可能性太多,是否可以限制某些条件,让结果情况减少到4种及4种以内,于是命题人员在以上意见的基础上改进组成第二稿。
  如图,在平面直角坐标系中,抛物线交x轴于A、B两点,交y轴于C(0,3),.
  (1)求抛物线的解析式.
  (2)点H是线段AC上任意一点,过H作直线HN⊥x轴于N,交抛物线于P,求线段PH的最大值.
  (3)点M是抛物线上任意一点,连接CM,以CM为边作正方形CMEF,是否存在点M,使点E恰好落在对称轴上?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
  评析:这里求PH的最大值,从图上直观看出PH的值是一个变化的量,学生會联想到函数的知识,二次函数的最值问题,也就是说PH的长能否表示成某个变量的二次函数的形式.
  设,H的横坐标也为x,纵坐标能否可以用x表示,H是AC上的点,可先求出直线AC的解析式,所以.
  于是PH=PN﹣HN=
  此二次函数,开口向上,函数PH有最大值.
  当时,
  :
  第(3)问经调整还有4个点满足,如图2情形,满足条件的M的横坐标是,求纵坐标还要把这些值代入中还比较繁。
  如当
  三、第3稿的形成与评析
  通过命题组讨论,第2稿基本上满足了命题的预设要求,三问之间层层递进,问题之间有联系,但第(3)问的计算繁难问题与考试要求中的注重数学思想方法的考查,避免繁难计算相违背,同时也要考虑学生考试用时的问题。据此,命题组提出,可否在考查的数学思想、方法不变的前提之下,改变题目的已知数据,使计算上简化,答案简洁,体现了数学的简洁美。通过努力,最终找到了符合要求的数据,形成了第3稿。
  如图,在平面直角坐标系中,抛物线交x轴于A、B两点,交y轴于点C(0,3),.
  (1)求抛物线的解析式.
  (2)点H是线段AC上任意一点,过H作直线HN⊥x的轴于点N,交抛物线于点P,求线段PH的最大值.
  (3)点M是抛物线上任意一点,连接CM,以CM为边作正方形CMEF,是否存在点M,使点E恰好落在对称轴上?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
  简解:(1)解析式为(2)求得AC解析式为
  设N(x,0),则H(x,),P(x,)
  ∴
  ∵                 ∴PH有最大值
  ∴PH最大家=
  即线段PH的最大值是.
  (3)过点M作MK⊥y轴于点K,交对称轴于点G,则
   ∴
  ∵四边形CMEF是正方形 ∴ ∠EMC=90°
  ∴∠EMG+∠CMK=90° ∴∠MEG=∠CMK
  ∴△MKC≌△EGM ∴MG=CK
  由抛物线得对称轴,设M(,),则G(-1,),K(0,)
  ∴
  ∴
  ∴
  ∴或
  解得
  代入抛物线解析式得
  ∴点M的坐标是M1(-4,0) M2(,)
  M3(,) M4(2,0)
  从答案看出已避免了繁难的计算。
  四、讨论定稿
  每个命题人员自己完成一次解析,在解题过程中查找题目的不足之处,逐步完善,形成终稿。第3稿第(1)问设置起点低,学生容易上手,照顾了大部分学生;第(2)问加入了运动元素,强化了函数知识,特别是一次函数、二次函数及二次函数的最值问题,难度适中,此问的顺利解决为第(3)问做好铺垫。第(3)问难度较大,有极大的区分度,不仅要画出符合条件的正方形,同时还要添加辅助线,构造全等三角形,找出线段的相等,还要有用变量表示线段长度的方法,建立方程而求解,还要考虑M点在不同位置所形成的正方形等,是对学生综合数学能力的考查,体现了选拔功能。通过分析讨论、命题组形成统一意见,认为第3稿符合命题组提出的要求,试题起步慢,易上手,问题之间有关联。特别是第(2)问表示PH长的方法为第(3)表示MN,CG的长提供了思路,达到了“形散神聚”的效果,另外,第3稿中的两个A、B点是特殊点,符合学生从特殊到一般的思维方法。第3稿的计算较简化,重点注重数学思想方法的考查,避免了繁难计算。另外,此题还有一个讨论空间,以C、M、E、F为顶点的四边形为正方形,且使E或F落在对称轴上,供教师研究。命题组最终形成共识,就把第3稿确定成为曲靖市这一年中考数学的压轴题。
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