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【摘要】数学思想是宏观的，它的意思不仅是解题的训练，更重要的是能形成一种思维的习惯与模式，这种习惯与模式不仅影响着人的数学思考，也影响到生活中每件事的思考与决策。
【关键词】数学 课堂 教学
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）08-0130-02
多年的数学学习，也许淡忘了数学的学习过程，也模糊了数学知识本身，但数学的思想方法却作为一种素养永远的成为了积淀。数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。数学方法，是指解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。
引导学生数学探究时，教师要渗透数学方法，在设计数学课、审视数学课堂时亦应当运用数学的思想方法。用数学思想解读教材、用数学思想设计能更好地为数学教学服务，提高课堂实效。
一、分类讨论的思想方法
分类讨论思想是指在解决一个问题时，无法用同一种方法去解决，而需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一加以解决，从而使问题得到解决。它既是一种重要的数学思想，更是一种重要的数学逻辑方法。在数学课堂教学中，运用这种思想方法可使课堂教学流程清晰，教学结构合理，对知识的探究更具逻辑性、综合性、严密性，更能训练学生的思维条理性和概括性。
《三角形的内角和》是一节许多教师都乐于展示的课，因此可以在赛课、展示课、观摩课、汇报课等众多研讨场合听到这节课。但所看过的这节课，都大致的经历了下列探究流程：理解什么是内角和，什么是三角形的内角和；猜测三角形的内角和是多少；用各种方法验证三角形的内角和是180度。
这样的教学方法带来的弊端是不严密。量一量，加一加的方法亦是如此，只要学生是真实地操作，答案必定异彩纷呈。面对全班答案各异的情形，老师只好强硬地解释说那是误差引起的，事实上三角形的内角和是180度。有的老师说，没关系，到中学老师会用演绎推理的方法严密地获得“三角形内角和是180度” 的结论。在小学阶段，根据已有的知识与能力真没法用演绎推理的方法获得结论吗？带着这个问题展开了思考并进行了实践：
（一）认识内角及内角和
课件出示长方形，提问：长方形的内角是什么意思？它的内角和是多少度？你怎么知道的？
把长方形沿对角线剪开，呈现其中一个三角形，提问：三角形的内角是什么意思？这个三角形的内角和是多少？
（二）探究三角形的内角和
1.探究直角三角形的内角和
（1）操作
把一个长方形沿对角线剪开，得到两个完全一样的直角三角形。
（2）对比
①长方形与三角形对比：长方形中的四个内角和转化成了两个三角形共六个内角的和。
②两个直角三角形对比：会完全重合，三个角分别对应相等，即每个三角形的内角和都会等于360度的一半，所以剪出的两个直角三角形的内角和都是180度。
（3）迁移
①每个直角三角形都可以用这样的方法探索出内角和吗？
②每个直角三角形的内角和都是180度吗？
2.探究锐角三角形的内角和
（1）提出问题
师：现在这个不是直角三角形，那它是？（板书钝角三角形）。这个钝角三角形的内角和又是多少呢？怎么探究？
（2）分组探究
（3）自主交流（交流时淡化量一量，加一加，以及折一折或剪拼的方法。）
生：画一条高，将三角形分成了两个三角形，共六个内角，和为360度，去掉两个90度的内角，另4个内角的度数和为180度，也就是原来钝角三角形的内角和是180度。
（4）归纳小结
提问：所有的钝角三角形都可以用这样的方法获得内角和180度的结论吗？
3.探究锐角三角形的内角和
（1）分类：三角形按角分可以分为哪些三角形？
（2）迁移：锐角三角形的内角和是多少？你能用什么方法来说明？
在这份教学设计中，主要运用了分类的思想。将三角形的内角和分三类进行探究。这三类三角形中，以直角三角形为突破口，借助长方形的基础推理出直角三角形的内角和为180度，然后用转化思想，将钝角三角形转化为直角三角形，推理出钝角三角形的内角和为180度，接着用迁移思想，将锐角三角形也转化为直角三角形，同样推理出锐角三角形的内角和为180度。最后用完全归纳法，得出三角形的内角和为180度。
二、比较的思想方法
学过数学的人都习惯用“一环接一环”这个短语来形容知识之间的联系。的确，数学知识之间，往往既有联系又有区别，在教学过程中，教师不妨好好地让学生比较一番，比出新知，比出乐趣。
在第十六届华东六省一市赛课中，有位老师执教了《看图找关系》一课就充分运用了比较的思想。当时赛课承办学校是晋江三实小，学校附近有个“久久厝边超市”。老师从这两个地点入手，创设了教学情境：
（一）看图
1.找相同
师：同学们，找相同游戏玩过吗？（生：玩过。）师：如果给你四幅图，让你找相同，还会吗？（生：会。）师：那就开始吧。
生1：它们都是折线统计图。
师：行啊，那就用折线统计图的眼光来看看它们吧。还有什么相同？
生2：我看到都有横轴和纵轴
师：眼力不错，看出都有两条轴。（板书画出两条轴）还有吗？
生3：我看到都有时间和速度。 师：的确，它们都有两个量。（贴出卡片：速度、时间。呈现如下板书：）还有吗？
生4：它们都有向上的或向下的线。
师：你真会观察，这样吧，先给你所说的那些线起个名字——折线。这位同学看出了四幅图都有折线。（板书：折线）还有别的相同吗？
生：没有了。
师（指着图问）：看看这两个量，应该摆在什么位置上？（指名操作，学生将板书修正如下：）
师：瞧，他这么一摆，又摆出了一处相同，横轴都表示什么？（生齐：时间。）纵轴呢？（生齐：速度。）
2.找不同
师：看来，找相同难不倒大家，我们换个游戏——找不同。
生1：它们的折线都不相同。
师：真厉害！一眼就看出折线不同。大家想一想，在这些图中，折线都表示出了谁和谁的关系？
生齐：速度和时间的关系。
（二）找关系
1.创设情境
师：讲到速度与时间，想起了一件事情，昨天，我乘车从“久久厝边超市”来到我们晋江三实小。这段时间，汽车的速度是怎么变化的呢，想知道吗？
生：想。
师：不告诉你们。给段声音，看谁能听出来。（播放汽车行驶的声音）
生1：我听到汽车一开始是越来越快。然后就越来越慢。
师：听力不错。你说的越来越快，我们如果称它为速度增加，那么越来越慢就称为——
生1：速度减小。
师：聪明。只是速度增加后马上就减小吗？
生2：不是，中间的一段速度是保持不变的。
师：很好，就用你的这个词——保持不变。原来，汽车的速度经历了这样的变化过程：先是——（生：速度增加），接着——（生：保持不变），然后——（生：速度减小）。想一想，刚才的四幅图，哪一幅能表示出汽车的速度变化情况？
……
《看图找关系》这节课，从题眼来看有两个行为动词：“看”、“找”。那么“看”，要解决“看什么”和“怎么看”的问题；同样，“找”，也要解决“找什么”和“怎么找”的问题。在这个教学片断中，老师用了两次比较。第一次找相同，比出了图中应具备的信息：两条轴，两个量，并轴与量建立起对应关系，从而解决了“看什么” 的问题；第二次找不同：折线不同，表示图的关系也不同，这些不同的折线，到底表示出了怎样的关系，从而引发了学生的认知冲突，转入解决“怎么看”的问题。
三、极限的数学思想
极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。灵活地借助极限思想，可以将某些数学问题化难为易，避免一些复杂运算，探索出解题方向或转化途径。因此，在教学中，教师应该刻意挖掘，并适机将这一思想和方法适度地渗透给学生。
《鸽巢问题》一课，例题是这样的：“4支铅笔放入3个笔筒里，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。”有位老师在教学这节课时，这样组织探究：
1.操作：4支铅笔放入3个笔筒里，有几种放法？
2.列举：将各种分法列举成表格。
4支铅笔放入3个笔筒里
3.小结：这时候，我们就说，4支铅笔放入3个笔筒里，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。想一想，总有是什么意思？至少是什么意思？
生1：总有，就是一定的意思。
生2：至少，就是最少的意思。
师：对了，至少是2支，说明可以等于2支，也可以大于2支。
师：板书：至少（大于或等于）
4.识记：全班把结论读一遍。
在这个环节中，教师运用了列表法、列举法、操作法都非常巧妙，只是没把极限思想理解到位。以至于整节课自始至终学生都没充分掌握鸽巢原理，临下课总结时，学生还在说：“老师，我觉得鸽巢原理是不对的，你说总有一个笔筒至少是2支，可我看到也有1支的，也有0支的。”假如，老师能把教材中隐性的极限思想（找最大、找最小）挖掘出来，设计到教学中，教学效果肯定是不一样的。
1.操作：4支铅笔放入3个笔筒里，有几种放法？
2.列举：将各种分法列举成表格（把上表做些微调，有意识地把每种分法的最大数放在同一列上）。
3.找最大：请同学们圈出每种分法中的最大数。
4.找最小：把每种分法的最大数（即刚才圈出的数）拿出来比一比，最小是谁？还能比2更小吗？
5.想原因：为什么至少是2支？
6.总结：把你的发现来说一说。怎样把你的发现说得最简洁？
带着这种想法，把这节课找了个班级进行了试教，学生学得轻松，理解得透彻。把极限思想得到了充分的运用：圈出最大数是要求，找出最小数是结论。两个极限一搭，整个知识就浅显易懂得了。
数学思想是宏观的，它的意思不仅是解题的训练，更重要的是能形成一种思维的习惯与模式，这种习惯与模式不仅影响着人的数学思考，也影响到生活中每件事的思考与决策。因此，以数学探究为载体，凸显数学思想方法应成为数学教学的主流。
【关键词】数学 课堂 教学
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）08-0130-02
多年的数学学习，也许淡忘了数学的学习过程，也模糊了数学知识本身，但数学的思想方法却作为一种素养永远的成为了积淀。数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。数学方法，是指解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。
引导学生数学探究时，教师要渗透数学方法，在设计数学课、审视数学课堂时亦应当运用数学的思想方法。用数学思想解读教材、用数学思想设计能更好地为数学教学服务，提高课堂实效。
一、分类讨论的思想方法
分类讨论思想是指在解决一个问题时，无法用同一种方法去解决，而需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一加以解决，从而使问题得到解决。它既是一种重要的数学思想，更是一种重要的数学逻辑方法。在数学课堂教学中，运用这种思想方法可使课堂教学流程清晰，教学结构合理，对知识的探究更具逻辑性、综合性、严密性，更能训练学生的思维条理性和概括性。
《三角形的内角和》是一节许多教师都乐于展示的课，因此可以在赛课、展示课、观摩课、汇报课等众多研讨场合听到这节课。但所看过的这节课，都大致的经历了下列探究流程：理解什么是内角和，什么是三角形的内角和；猜测三角形的内角和是多少；用各种方法验证三角形的内角和是180度。
这样的教学方法带来的弊端是不严密。量一量，加一加的方法亦是如此，只要学生是真实地操作，答案必定异彩纷呈。面对全班答案各异的情形，老师只好强硬地解释说那是误差引起的，事实上三角形的内角和是180度。有的老师说，没关系，到中学老师会用演绎推理的方法严密地获得“三角形内角和是180度” 的结论。在小学阶段，根据已有的知识与能力真没法用演绎推理的方法获得结论吗？带着这个问题展开了思考并进行了实践：
（一）认识内角及内角和
课件出示长方形，提问：长方形的内角是什么意思？它的内角和是多少度？你怎么知道的？
把长方形沿对角线剪开，呈现其中一个三角形，提问：三角形的内角是什么意思？这个三角形的内角和是多少？
（二）探究三角形的内角和
1.探究直角三角形的内角和
（1）操作
把一个长方形沿对角线剪开，得到两个完全一样的直角三角形。
（2）对比
①长方形与三角形对比：长方形中的四个内角和转化成了两个三角形共六个内角的和。
②两个直角三角形对比：会完全重合，三个角分别对应相等，即每个三角形的内角和都会等于360度的一半，所以剪出的两个直角三角形的内角和都是180度。
（3）迁移
①每个直角三角形都可以用这样的方法探索出内角和吗？
②每个直角三角形的内角和都是180度吗？
2.探究锐角三角形的内角和
（1）提出问题
师：现在这个不是直角三角形，那它是？（板书钝角三角形）。这个钝角三角形的内角和又是多少呢？怎么探究？
（2）分组探究
（3）自主交流（交流时淡化量一量，加一加，以及折一折或剪拼的方法。）
生：画一条高，将三角形分成了两个三角形，共六个内角，和为360度，去掉两个90度的内角，另4个内角的度数和为180度，也就是原来钝角三角形的内角和是180度。
（4）归纳小结
提问：所有的钝角三角形都可以用这样的方法获得内角和180度的结论吗？
3.探究锐角三角形的内角和
（1）分类：三角形按角分可以分为哪些三角形？
（2）迁移：锐角三角形的内角和是多少？你能用什么方法来说明？
在这份教学设计中，主要运用了分类的思想。将三角形的内角和分三类进行探究。这三类三角形中，以直角三角形为突破口，借助长方形的基础推理出直角三角形的内角和为180度，然后用转化思想，将钝角三角形转化为直角三角形，推理出钝角三角形的内角和为180度，接着用迁移思想，将锐角三角形也转化为直角三角形，同样推理出锐角三角形的内角和为180度。最后用完全归纳法，得出三角形的内角和为180度。
二、比较的思想方法
学过数学的人都习惯用“一环接一环”这个短语来形容知识之间的联系。的确，数学知识之间，往往既有联系又有区别，在教学过程中，教师不妨好好地让学生比较一番，比出新知，比出乐趣。
在第十六届华东六省一市赛课中，有位老师执教了《看图找关系》一课就充分运用了比较的思想。当时赛课承办学校是晋江三实小，学校附近有个“久久厝边超市”。老师从这两个地点入手，创设了教学情境：
（一）看图
1.找相同
师：同学们，找相同游戏玩过吗？（生：玩过。）师：如果给你四幅图，让你找相同，还会吗？（生：会。）师：那就开始吧。
生1：它们都是折线统计图。
师：行啊，那就用折线统计图的眼光来看看它们吧。还有什么相同？
生2：我看到都有横轴和纵轴
师：眼力不错，看出都有两条轴。（板书画出两条轴）还有吗？
生3：我看到都有时间和速度。 师：的确，它们都有两个量。（贴出卡片：速度、时间。呈现如下板书：）还有吗？
生4：它们都有向上的或向下的线。
师：你真会观察，这样吧，先给你所说的那些线起个名字——折线。这位同学看出了四幅图都有折线。（板书：折线）还有别的相同吗？
生：没有了。
师（指着图问）：看看这两个量，应该摆在什么位置上？（指名操作，学生将板书修正如下：）
师：瞧，他这么一摆，又摆出了一处相同，横轴都表示什么？（生齐：时间。）纵轴呢？（生齐：速度。）
2.找不同
师：看来，找相同难不倒大家，我们换个游戏——找不同。
生1：它们的折线都不相同。
师：真厉害！一眼就看出折线不同。大家想一想，在这些图中，折线都表示出了谁和谁的关系？
生齐：速度和时间的关系。
（二）找关系
1.创设情境
师：讲到速度与时间，想起了一件事情，昨天，我乘车从“久久厝边超市”来到我们晋江三实小。这段时间，汽车的速度是怎么变化的呢，想知道吗？
生：想。
师：不告诉你们。给段声音，看谁能听出来。（播放汽车行驶的声音）
生1：我听到汽车一开始是越来越快。然后就越来越慢。
师：听力不错。你说的越来越快，我们如果称它为速度增加，那么越来越慢就称为——
生1：速度减小。
师：聪明。只是速度增加后马上就减小吗？
生2：不是，中间的一段速度是保持不变的。
师：很好，就用你的这个词——保持不变。原来，汽车的速度经历了这样的变化过程：先是——（生：速度增加），接着——（生：保持不变），然后——（生：速度减小）。想一想，刚才的四幅图，哪一幅能表示出汽车的速度变化情况？
……
《看图找关系》这节课，从题眼来看有两个行为动词：“看”、“找”。那么“看”，要解决“看什么”和“怎么看”的问题；同样，“找”，也要解决“找什么”和“怎么找”的问题。在这个教学片断中，老师用了两次比较。第一次找相同，比出了图中应具备的信息：两条轴，两个量，并轴与量建立起对应关系，从而解决了“看什么” 的问题；第二次找不同：折线不同，表示图的关系也不同，这些不同的折线，到底表示出了怎样的关系，从而引发了学生的认知冲突，转入解决“怎么看”的问题。
三、极限的数学思想
极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。灵活地借助极限思想，可以将某些数学问题化难为易，避免一些复杂运算，探索出解题方向或转化途径。因此，在教学中，教师应该刻意挖掘，并适机将这一思想和方法适度地渗透给学生。
《鸽巢问题》一课，例题是这样的：“4支铅笔放入3个笔筒里，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。”有位老师在教学这节课时，这样组织探究：
1.操作：4支铅笔放入3个笔筒里，有几种放法？
2.列举：将各种分法列举成表格。
4支铅笔放入3个笔筒里
3.小结：这时候，我们就说，4支铅笔放入3个笔筒里，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。想一想，总有是什么意思？至少是什么意思？
生1：总有，就是一定的意思。
生2：至少，就是最少的意思。
师：对了，至少是2支，说明可以等于2支，也可以大于2支。
师：板书：至少（大于或等于）
4.识记：全班把结论读一遍。
在这个环节中，教师运用了列表法、列举法、操作法都非常巧妙，只是没把极限思想理解到位。以至于整节课自始至终学生都没充分掌握鸽巢原理，临下课总结时，学生还在说：“老师，我觉得鸽巢原理是不对的，你说总有一个笔筒至少是2支，可我看到也有1支的，也有0支的。”假如，老师能把教材中隐性的极限思想（找最大、找最小）挖掘出来，设计到教学中，教学效果肯定是不一样的。
1.操作：4支铅笔放入3个笔筒里，有几种放法？
2.列举：将各种分法列举成表格（把上表做些微调，有意识地把每种分法的最大数放在同一列上）。
3.找最大：请同学们圈出每种分法中的最大数。
4.找最小：把每种分法的最大数（即刚才圈出的数）拿出来比一比，最小是谁？还能比2更小吗？
5.想原因：为什么至少是2支？
6.总结：把你的发现来说一说。怎样把你的发现说得最简洁？
带着这种想法，把这节课找了个班级进行了试教，学生学得轻松，理解得透彻。把极限思想得到了充分的运用：圈出最大数是要求，找出最小数是结论。两个极限一搭，整个知识就浅显易懂得了。
数学思想是宏观的，它的意思不仅是解题的训练，更重要的是能形成一种思维的习惯与模式，这种习惯与模式不仅影响着人的数学思考，也影响到生活中每件事的思考与决策。因此，以数学探究为载体，凸显数学思想方法应成为数学教学的主流。