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数学奥林匹克高中训练题(268)
【机 构】
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华东师范大学数学科学学院,200241
【出 处】
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中等数学
【发表日期】
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2021年10期
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针对带有时滞和多故障的非线性系统,研究了基于中间观测器的故障估计问题.设计了中间变量和中间估计器,实现了多故障的故障估计,同时避免了观测器匹配条件的限制.根据Lyapunov稳定理论和线性矩阵不等式(LMI)方法,误差系统是渐近稳定的.最后,通过MATLAB仿真,验证了所提出方法的有效性.
考虑拉索垂度及几何非线性,研究了不同索力拉索的瞬时相频特性.利用斜拉索面内分布激励下的运动控制方程,采用多尺度法对微分方程进行摄动求解,分别得到面内、外主共振响应的近似解析式,再采用Hilbert变换得到响应与激励的瞬时相位差及其幅值.研究了不同索力下,响应与激励的瞬时相位差的变化规律及其原因.研究表明:面外主共振响应与激励间保持恒定的相位差,而面内响应与激励的瞬时相位差与索弹性参数和垂度等有关,微小的索力变化可能导致瞬时相频特性的明显改变.主要原因是面内响应的近似解中存在两倍频项和漂移项,前者使响应瞬时
基于比例边界有限元法(SBFEM)和灰狼优化(GWO)算法,提出了一种裂纹尖端识别方法.首先,借助SBFEM解决断裂力学问题特有的优势,快速准确地计算出反演所需的测点位移,并验证了正问题求解的正确性.其次,建立与裂纹尖端位置有关的目标函数,将求解裂纹尖端位置转换为求解目标函数最小值的优化问题.最后,采用GWO算法对目标函数进行了优化,进而搜索裂纹尖端的最佳位置.数值算例结果表明:利用SBFEM的高精度、半解析的优点,在反演过程中采用其求解正问题是非常有效的;GWO算法具有良好的全局收敛性,且相比经典的粒子
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组合部分rn1.设n为正整数.求1,2,…,n的排列a1,a2,…,an的个数,使得a1≤2a2≤…≤nan.rn2.将一个正100边形的41个顶点染为黑色,其余59个顶点染为白色.证明:存在24个顶点为正100边形的顶点的凸四边形Q1,Q2,…,Q24,使得凸四边形Q1,Q2,…,Q24两两不交,且每个凸四边形Qi(i=1,2,…,24)均有三个顶点同色、第四个顶点为另一种颜色.
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(本讲适合高中)rn数论和数列是高中数学竞赛中的两个重要组成部分,与数列有关的数论问题综合性较强,需要全面掌握数论和数列问题的基本知识和解题思路.求解与数列有关的数论问题是高中数学竞赛中考察学生综合实力的一种重要途径,要求学生灵活交叉运用数论和数列的解题技巧.
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2020年全国高中数学联合竞赛加试中有这样的一道题:rn例1 给定整数n≥3.设a1,a2,…,a2n,b1,b2,…,b2n是4n个非负实数,满足a1+a2+…+a2n=b1+b2+…+b2n＞O,且对于任意的i=1,2,…,2n,均有aiai+2≥bi+bi+1,其中,a2n+1=a1,a2n+2=a2,b2n+1=b1.rn求a1+a2+…+a2n的最小值.
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