错误伴随教学过程的始终，只要有认识，就会有错误，错误中包含了认知个体大量的信息和已有的经验，客观地反映了个体的心理特点。错误可以分为两种：一是真实性错误，二是艺术性错误。真实性错误是由于教材编写者、教师、学生主观认识的偏差或失误而形成的错误。这种错误，其中可能包含合理、创造性的成份。艺术性错误是指教师或命题者为实现教学目标精心设计而形成的错误。这种错误，有利于激发学生认知兴趣，有利于考查学生的思维过程，体现教学过程中学生的主体性。学生的错误是一种宝贵的资源，加以研究、开发和利用，其效果比多讲几道题要好得多。从学生的角度去摸拟错误的情景，体验错误的原因，探索改错的方法，提出防范的措施，并从错中找出“闪光点”，师生才能产生思维的共振和情感的共鸣，击中要害，有的放矢。
　　1、诱发错误，触发认知冲突，激发学生学习兴趣
　　建构主义学习观认为，学生的学习实际上是与周围环境的相互作用过程中，通过同化和顺应逐步建构起关于外部世界的知识，从而使自身的认知结构得以发展的过程。在这一过程中，如果在新知识与原有的认知结构之间产生无法包容的矛盾，即存在认知冲突，将会引起学生认知结构上的不平衡，从而激起学生强烈的探索愿望和学习兴趣。
　　例：设 为非零向量，且 ，求与的夹角θ。
　　错解：由已知（+3）.（7-5）=0，
　　∴7+16. -15=0， ①
　　又（ -4 ）.（7 -2 ）=0，
　　∴7-30. +8=0，②
　　①-②得
　　2.=，即2= ，所以 与 的夹角θ=0°。
　　剖析：误将实数的运算法则类比运用到了向量运算之中，由2
　　 .
　　 =
　　，并不能得出2
　　=
　　，而应将2
　　.
　　=
　　代入①得
　　=
　　，即|
　　|=|
　　|。从而cosθ=，所以
　　与
　　的夹角θ=60°。
　　2、评价错误，突出主体性，引导学生自主学习
　　著名语文特级教师靳家彦曾说过这样一段话：“教学生3+2=5的老师是差老师，教学生3+2=？的老师是合格老师，而教学生3+2=6的老师才是优秀老师！”显然靳老师的话表达了这样的一种教学思想：“正确”可能是一种告诉、一种模仿，而“错误”绝对是一种经历、一种学习。
　　例：设数列
　　的前n项之和
　　+n+b（b为常数），试判断
　　是否为等差数列？
　　解：因为
　　
　　所以
　　故
　　是等差数列。这一解法对吗？为什么？
　　显然，评价题的艺术性“错误”可以促进学生的认知，它将激发学生的心理矛盾和问题意识，突出学生主体地位，推动学生主动建构和发展。
　　3、巧用错误，培养发现意识，提高学生探究能力
　　“发现问题比解决问题更宝贵”，因此，培养学生发现意识，让学生会自主探究学习，成为新课程的重要目标之一。利用学生学习中出现的错误，也是培养发现意识，提高探究能力的有效途径。
　　如：设x＞0，y＞0且
　　，求x+y的最小值。
　　学生解答：∵x＞0，y＞0
　　∴
　　∴xy≥36
　　∴
　　所以x+y的最小值为12
　　针对这一典型错误，我将其呈现给学生，让学生自主探究。并问：“这个答案对吗？你是如何判断的？”在这一富有启发性的问题诱导下，学生积极主动的进行探索。
　　大家逐步悟出：求最值时，两次运用基本不等式能同时取到等号的时机太少了。纠正的方法是最好用一次基本不等式。为此，有如下的两种解法：
　　解法1：
　　当且仅当
　　 即x=4，y=12时取到等号。
　　解法2：由
　　得
　　由x＞0，y＞0得x ＞1成立
　　则
　　当且仅当
　　即x=4，y=12时取到等号。
　　由此可见，学生获得知识是要在不断的探索中进行的，在这个过程中，学生的思维方法是各不相同的，因此，出现偏差和错误是很正常的，关键是在于教师如何利用错误这一资源。本例中，从学生的现实学习中选取错例，充分挖掘错误中潜在的智力因素，创设一个自主探究的问题情境，引导学生从不同角度审视问题，让学生在纠正错误的过程中，自主地发现了问题，解决了问题，深化了对知识的理解和掌握，培养了学生的发现意识。
　　学生解题出错在所难免，且其中包含他们大量劳动成果，教师不能一味帮学生“改正”，否定他们思路，多些“人文精神”，认真分析错因并多找其中“闪光点”。波利亚说：“也许有些念头会把你引入岐途，但这并不可怕，在失败的尝试和犹豫不决之下，会突然闪出‘好念头’。”教师要引领学生走出认知“迷宫”，让他们体验数学学习给人带来的成功和愉悦，从而逐步培养他们的创新思维。
　　
　　作者单位：江苏省建湖高级中学
　　
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