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[摘要]随着本轮课程改革的启动，小学生的数学小课题研究逐步走进大家的视野。如今，十多年过去了，其研究未能呈现应有的发展态势，究其原因，主要是一线教师缺少现成的适合学生开展研究的数学小课题。因此，数学小课题的开发设计成为当务之急。我们应基于学生现实，依托现行教材，遵循趣味性、基础性、过程性、开放性和实用性等原则，从新知铺垫、教材拓展、应用设计、现象解释等视角系统地开发设计小学数学小课题。
[关键词]数学小课题 开发设计 原则 方法
随着课程改革的逐步深入，以学生自主探究为主的数学小课题研究走进一线教师的视野。数学小课题是指可供小学生运用已有的数学基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验开展研究的各类真实问题。这些问题都是学生感兴趣的问题，学生面临这些问题时，需要通过数学推理、实验操作、调查分析、查阅资料等手段，经历探索、实践、研究、发现等过程，处理信息、解决问题，并最终用数学语言或文字表达自己的不同见解，得出个性化结论。
实践表明，数学小课题研究可以改善学生的学习质态，为他们的数学学习打开另一扇窗。教师应配合现行教材，提供更为丰富的数学小课题研究素材，创造更多的研究機会，系统地开发设计适合学生的数学小课题，让他们有足够的时问和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。
一、小学数学小课题开发设计的基本原则
小学阶段的数学小课题要符合数学学科本身的特点，更要符合学生的认知规律与身心发展特征。因此，开发设计数学小课题时，必须遵循如下原则。
（一）趣味性原则
学习内容的趣味性是激发学生学习热情的重要手段之一。开发设计数学小课题应充分关注研究内容的趣味性，通过真实的问题情境，将观察、操作、试验等研究方式融入其中，引领学生在“做中学”，让学生爱玩、好动的天性得以满足，从而主动参与到研究活动中，并在这样的过程中培养学生喜欢数学、亲近数学的美好情感。
（二）基础性原则
基础性是小学教育最重要、最本质的属性之一，数学小课题的开发设计也应恪守这一原则。我们开发设计数学小课题时不能随意拔高教学要求，而应参考现行教材的知识体系，围绕教材中的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验展开，从而全方位、多角度地夯实学生的数学基础，培养学生的数学素养，使小课题成为现行教材的有力补充。
（三）过程性原则
数学小课题应选用合适的研究素材，设计精当的研究步骤，让学生通过观察、猜测、推理、交流、反思等活动，或体现数学知识的形成过程，或反映数学知识的应用过程，从而发展学生的思考能力，提高学生发现和提出问题的能力、分析与解决问题的能力。
（四）开放性原则
开放性是现代教育的重要特征，也是教育改革和发展的必然趋势。数学小课题本身的特质也要求我们的开发设计具有开放性质的措施和形式。从小课题研究内容的设置、研究方法的选择到研究结果的运用，都应放手让学生主动参与，使学生有更大的自主选择空间。
（五）实用性原则
小学数学小课题作为一种新生事物，不应哗众取宠，而要密切联系实际，精选实用的研究材料、有效的研究方法。从学生已有的或熟悉的数学现实、生活经验出发，解决真实的问题，进而在促进学生知识掌握和能力提升的同时增强应用意识和创新意识。
二、小学数学小课题开发设计的基本方法
我们应在充分研读教材的基础上挖掘研究内容，引导学生通过对研究素材的数学化操作，经历丰富的数学活动，在“再创造”与“再发现”数学知识的过程中，亲身体验数学、理解数学、应用数学。
（一）新知铺垫
数学知识各部分之间有着密切的内在联系，日常教学中，一个新知识的揭示绝不会是“横空出世”的，那样会让学生感到非常突兀，自然在无形中加深了学习的难度。较为常见的做法是设计一个与新知相关的铺垫环节作为过渡，在此基础上揭示新知、展开教学。这里的过渡、铺垫好似运动前的热身活动，可恰到好处地激起学生学习新知的欲望，促进学生对新知的理解和掌握。纵观教材中的教学内容，很多时候可以设计一个课前的小课题研究，实现与新知的无缝对接。
例如，学生在日常生活中都接触过“物体有多重”这样的事情，并获得了一些初步的感性认识。苏教版教材《数学（三年级上册）》编排了“千克和克”的相关知识，通过教学，旨在让学生结合用盘秤称物体，知道“千克和克”，通过用手掂和拎，感受1千克和1克分别有多重，进而积累计量物重的生活经验。但考虑到课堂上引导学生开展相关的实践活动需作大量的准备工作，组织起来较为复杂，于是我们开发了课前的数学小课题——“买菜称重”。
[课题链接]
世界上最原始的秤是古埃及人发明的。早在7000多年以前，古埃及人就使用一种悬挂式的双盘秤来称麦子。这种秤有2个秤盘，分别悬挂在秤梁的两端。在中国，秤的出现也很早。春秋中晚期，楚国已经制造了小型的衡器——木衡。
[研究记录]
1.找一找。
生活中还有哪些秤呢？可以去找一找，用自己的方式记录在下面。
2.做一做。
你知道平时我们在买菜时怎样表示重量吗？不妨让我们一起走进菜市场去看看吧。
（1）我的记录。
（2）想一想。
根据上面的记录，你觉得“斤”与“千克”、“两”与“克”之间有什么关系？把你的想法写下来。
（3）试一试。
五两=（ ）克 一斤=（ ）克
二斤=（ ）千克 四斤半=（ ）克
[探究延伸]
其实，生活中除了在买菜称重时会用到“两”和“斤”这样的计量单位，在称其他一些特殊物体时还会用到特味的重量单位，自己查一查、问一问，记录在这里。 教学“千克和克”时，不仅要让学生知道概念，更重要的是亲身体会，初步建立比较清晰的1千克和1克的概念。而学生形成概念一般都从感知开始，通过肢体和感觉器官接受有关对象的信息，经过大脑的整理加工，在头脑里留下有关对象的“印记”，从而形成正确的表象。而“买菜”是很多学生曾经与家长共同参与的活动，可能以往只是无意识的陪同，但在这次小课题研究中，他们成了主角。回顾整个研究过程，紧密联系学生的生活实际，从他们日常生活中熟悉的场景入手，在家长的陪伴下展开研究，研究的过程是学生与“千克和克”亲密接触的过程。无疑，这样的数学小课题研究既为新知的学习埋下了厚实的伏笔，又激发了学生学习新知的兴趣，一举两得，何乐而不为！
（二）教材拓展
众所周知，教材只是一个例子，为我们教学提供了最基本的材料。很多时候，受课堂教学时问的限制，我们在教学教材上的有关例题和习题时会有一种意犹未尽的感觉，而这也是我们开发设计数学小课题的切入口。从教材内容生发出来的数学小课题，与学生当前所学的数学内容有紧密联系，不是教材内容，从某种程度上讲，也许超出了教学规定的要求，但也是学生感兴趣的、有能力研究的。
例如，学生在第一学段已经直观认识了长方形、正方形、三角形和平行四边形，到四年级学习垂线和平行线的知识之后，又相对系统地学习三角形、平行四边形和梯形的知识。教材在练习中多处涉及七巧板，但都是零零星星的，于是我们为四年级的学生开发了数学小课题——“有趣的七巧板”。
[课题链接]
你知道下面拼成的是什么图形吗？它们都是用什么拼成的呢？
是的，它们都是用七巧板拼成的。七巧板是一种智力拼图游戏，用这七块板，以各种不同的拼法可以拼成千变万化的图案。七巧板为什么会有这样的魔力呢？它又藏着怎样的数学奥秘呢？
今天就让我们一起来探究一下吧！
[研究记录]
1.教一教。
（1）图中是一副七巧板，一共有（ ）种图形。分别是（ ）（ ）（ ）（ ）。
（2）（ ）形有（ ）个，（ ）形有（ ）个，（ ）形有（ ）个，（ ）形有（ ）个。
2.分一分。
每一个图形的面积占总面积的几分之几呢？
3.做一做。
现在已经了解七巧板了，你会自己制作一副美丽的七巧板吗？
（1）需要的材料：
（2）制作步骤：
4.拼一拼。
现在七巧板已经做好了，你会用自己制作的七巧板拼一拼吗？把你拼出的图案拍照贴在下面。
用2块拼：
[探究延伸]
你能用2副七巧板拼出美丽的图形吗？
学生对七巧板并不陌生，但又从未系统地研究过。这一小课题研究是在学生认识了多边形的特征并学习了分数的初步知识后开展的，通过研究，深化学生对七巧板的认识。这样的数学小课题，不只是数学课本知识的简单运用，能充分激活学生的探究热情，让学生在玩中进行研究，这样的数学学生怎能不喜欢呢？
（三）应用设计
根据学过的数学知识进行设计活动是学生非常感兴趣的事情。开发设计这样的数学小课题，不是去发现、探求客观存在的原理、方法、概念等，而是研究、设计出具有个性特点的、有价值的、能综合运用数学知识的物品、图形、构造等，因此，更具有创新性、挑战性和综合性等特点。
例如，教学苏教版《数学（六年級上册）》《长方体和正方体》这一单元时，有这样一道练习题：把长26厘米、宽18厘米的长方形纸，从四个角各剪去一个边长4厘米的正方形，再折成一个无盖的长方体纸盒。这个纸盒的容积是多少立方厘米？在教学中，教师通常会让学生用长方形纸试着做一做，经历从平面图形到立体图形的变化过程。我们在此基础上更进一步，设计了“怎样折容积最大”这一数学小课题，研究过程如下。
[课题链接]
生活中，人们对商品的包装越来越讲究了，除了实用、美观，还要考虑使用材料是否节约，容积是否宽裕。如果仔细研究，这里还有许多数学小知识呢！
[研究记录]
1.猜一猜。
将一张正方形纸的四个角各剪去一个大小相同的正方形，再沿虚线折一折，就能折出一个无盖的长方体纸盒。怎样剪，才能使折出的无盖长方体纸盒容积最大？把你的想法和同学交流交流。
2.做一做。
（1）取出1号正方形卡纸（边长为6厘米），将它的四个角分别剪去边长是1厘米、2厘米的小正方形，依次折一折，并计算折出的纸盒的容积。
（2）四人小组合作，先思考一共有几种剪法，再分工，每人选择上面的一种剪法进行操作，并把数据汇总给组长，组长填写研究记录单。
（3）组长负责把相关数据填写到研究记录单1中。
（4）实验完成后，一起观察研究记录单1中的数据，并将“小结”部分填写完整。
（5）取出2号正方形卡纸（边长为12厘米）和3号正方形卡纸（边长为18厘米），按上述要求进行同样的操作，并完成研究记录单2和研究记录单3。
3.归纳总结。
（1）观察、比较三次研究记录单得出的结论，你有什么发现？与你的猜想一致吗？
（2）如果正方形的边长是24厘米，要使折出的无盖长方体纸盒容积最大，应该剪去边长是几厘米的正方形？将各种情况列出来算一算，看看自己的推断是否正确。
[探究延伸]
如果正方形的边长是15厘米或20厘米，又该怎样剪呢？
整个研究过程旨在通过学生的实际操作和计算，探索一张正方形纸在怎样的情况下折出的无盖长方体纸盒容积最大。研究分为两个层次展开，由“扶”到“放”，在这三次操作的基础上对所有研究数据进行整体观察、分析，并检验、修正猜想，得出“当剪去的小正方形边长是大正方形边长的丢时，折出的无盖长方体纸盒的容积最大”这个结论。最后，再思考如果正方形的边长是其他一些情况时该怎样剪，进一步验证和完善结论。这样的研究帮助学生经历操作、记录、计算、分析并得出结论的过程，研究的经历就像一粒种子，对学生今后的学习意义深远。 （四）现象解释
数学源于生活，又服务于生活。利用学过的数学知识解释生活中蕴含的数学现象是数学学习的目的之一。在探究如何解释现象的时候，可能会用到以前学过的数学知识，也可能经过探索、研究，不但解释了现象，有时还能了解到更广阔的数学知识，探求出更高深的数学方法，甚至是将来才能学到的数学知识。
例如，学校运动会进行400米赛跑时，同学们都发现了一个奇怪的现象，起跑时运动员并不在同一起跑线上，但最后的终点线却是相同的。对此，不少学生心存疑惑，为此，我们设计了“环形跑道的内外之别”这一小课题。
[课题链接]
在环形跑道中进行400米赛跑，起跑时最外道的运动员在最前面，最内道的运动员却在最后面，为什么各个跑道上的运动员不在同一起跑线呢？这样比赛公平吗？
[研究记录]
1.量一量。
选择一个环形跑道，由内到外的道次分别记作1道、2道、3道、4道、5道、6道、7道、8道。用测绳分别测量每个道次一周的长度，并记录在下表中（将测绳放在每个道次的中间位置进行测量）。
比较每个道次跑道的周长：
（ ）道>（ ）道>（ ）道>（ ）道>（ ）道>（ ）道>（ ）道>（ ）道
2.比一比。
（1）如图1，如果我们把这个环形跑道的两个半圆沿虚线切开，那么这两个半圆能够拼成一个整圆（如图2）。
（2）想一想：
①1道和2道直跑道部分的长度相比，结果怎样？
②1道和2道弯跑道部分的长度相比，结果怎样？
③1道和2道的周长相比，结果怎样？
④通過比较，你有什么发现？
3.算一算。
（1）在弯跑道的直径上，把每个道次的中间位置定为测量点，如图3中A，B两点就是1道的测量点。那么，A，B两点之间的距离我们就看成1道中弯跑道的直径。
（2）请你选择一个环形跑道，分别测量每个道次中弯跑道的直径，再算一算每个道次圆形跑道的总长度。
（3）相邻道次中，外圈跑道的总长比内圈跑道的总长大约多（ ）米。
[探究延伸]
如果在我们学校的环形跑道上进行赛跑（只跑一圈），那么怎样设置每个道次上运动员的起跑线比较合理呢？
这一数学小课题源自学生的真实问题，在学习完圆的相关知识后，他们完全可以独立组建研究小组，开展相关研究，相信认真参与、善于思考的学生一定会经历从研究前的混沌不清到研究后的豁然开朗的心路历程，进而产生积极的学习情感。
总而言之，开展数学小课题研究，对于激发和保持学生的学习兴趣，丰富学生的数学学习体验具有重要的促进作用。而小学阶段的数学小课题的开发设计尚属起步阶段，我们应从儿童的视角出发，基于教材，开发出更多典型的数学小课题，让学生直面现实的问题情境，在自主的研究过程中理解知识、增长智慧。
（责任编辑：李佳）
[关键词]数学小课题 开发设计 原则 方法
随着课程改革的逐步深入，以学生自主探究为主的数学小课题研究走进一线教师的视野。数学小课题是指可供小学生运用已有的数学基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验开展研究的各类真实问题。这些问题都是学生感兴趣的问题，学生面临这些问题时，需要通过数学推理、实验操作、调查分析、查阅资料等手段，经历探索、实践、研究、发现等过程，处理信息、解决问题，并最终用数学语言或文字表达自己的不同见解，得出个性化结论。
实践表明，数学小课题研究可以改善学生的学习质态，为他们的数学学习打开另一扇窗。教师应配合现行教材，提供更为丰富的数学小课题研究素材，创造更多的研究機会，系统地开发设计适合学生的数学小课题，让他们有足够的时问和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。
一、小学数学小课题开发设计的基本原则
小学阶段的数学小课题要符合数学学科本身的特点，更要符合学生的认知规律与身心发展特征。因此，开发设计数学小课题时，必须遵循如下原则。
（一）趣味性原则
学习内容的趣味性是激发学生学习热情的重要手段之一。开发设计数学小课题应充分关注研究内容的趣味性，通过真实的问题情境，将观察、操作、试验等研究方式融入其中，引领学生在“做中学”，让学生爱玩、好动的天性得以满足，从而主动参与到研究活动中，并在这样的过程中培养学生喜欢数学、亲近数学的美好情感。
（二）基础性原则
基础性是小学教育最重要、最本质的属性之一，数学小课题的开发设计也应恪守这一原则。我们开发设计数学小课题时不能随意拔高教学要求，而应参考现行教材的知识体系，围绕教材中的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验展开，从而全方位、多角度地夯实学生的数学基础，培养学生的数学素养，使小课题成为现行教材的有力补充。
（三）过程性原则
数学小课题应选用合适的研究素材，设计精当的研究步骤，让学生通过观察、猜测、推理、交流、反思等活动，或体现数学知识的形成过程，或反映数学知识的应用过程，从而发展学生的思考能力，提高学生发现和提出问题的能力、分析与解决问题的能力。
（四）开放性原则
开放性是现代教育的重要特征，也是教育改革和发展的必然趋势。数学小课题本身的特质也要求我们的开发设计具有开放性质的措施和形式。从小课题研究内容的设置、研究方法的选择到研究结果的运用，都应放手让学生主动参与，使学生有更大的自主选择空间。
（五）实用性原则
小学数学小课题作为一种新生事物，不应哗众取宠，而要密切联系实际，精选实用的研究材料、有效的研究方法。从学生已有的或熟悉的数学现实、生活经验出发，解决真实的问题，进而在促进学生知识掌握和能力提升的同时增强应用意识和创新意识。
二、小学数学小课题开发设计的基本方法
我们应在充分研读教材的基础上挖掘研究内容，引导学生通过对研究素材的数学化操作，经历丰富的数学活动，在“再创造”与“再发现”数学知识的过程中，亲身体验数学、理解数学、应用数学。
（一）新知铺垫
数学知识各部分之间有着密切的内在联系，日常教学中，一个新知识的揭示绝不会是“横空出世”的，那样会让学生感到非常突兀，自然在无形中加深了学习的难度。较为常见的做法是设计一个与新知相关的铺垫环节作为过渡，在此基础上揭示新知、展开教学。这里的过渡、铺垫好似运动前的热身活动，可恰到好处地激起学生学习新知的欲望，促进学生对新知的理解和掌握。纵观教材中的教学内容，很多时候可以设计一个课前的小课题研究，实现与新知的无缝对接。
例如，学生在日常生活中都接触过“物体有多重”这样的事情，并获得了一些初步的感性认识。苏教版教材《数学（三年级上册）》编排了“千克和克”的相关知识，通过教学，旨在让学生结合用盘秤称物体，知道“千克和克”，通过用手掂和拎，感受1千克和1克分别有多重，进而积累计量物重的生活经验。但考虑到课堂上引导学生开展相关的实践活动需作大量的准备工作，组织起来较为复杂，于是我们开发了课前的数学小课题——“买菜称重”。
[课题链接]
世界上最原始的秤是古埃及人发明的。早在7000多年以前，古埃及人就使用一种悬挂式的双盘秤来称麦子。这种秤有2个秤盘，分别悬挂在秤梁的两端。在中国，秤的出现也很早。春秋中晚期，楚国已经制造了小型的衡器——木衡。
[研究记录]
1.找一找。
生活中还有哪些秤呢？可以去找一找，用自己的方式记录在下面。
2.做一做。
你知道平时我们在买菜时怎样表示重量吗？不妨让我们一起走进菜市场去看看吧。
（1）我的记录。
（2）想一想。
根据上面的记录，你觉得“斤”与“千克”、“两”与“克”之间有什么关系？把你的想法写下来。
（3）试一试。
五两=（ ）克 一斤=（ ）克
二斤=（ ）千克 四斤半=（ ）克
[探究延伸]
其实，生活中除了在买菜称重时会用到“两”和“斤”这样的计量单位，在称其他一些特殊物体时还会用到特味的重量单位，自己查一查、问一问，记录在这里。 教学“千克和克”时，不仅要让学生知道概念，更重要的是亲身体会，初步建立比较清晰的1千克和1克的概念。而学生形成概念一般都从感知开始，通过肢体和感觉器官接受有关对象的信息，经过大脑的整理加工，在头脑里留下有关对象的“印记”，从而形成正确的表象。而“买菜”是很多学生曾经与家长共同参与的活动，可能以往只是无意识的陪同，但在这次小课题研究中，他们成了主角。回顾整个研究过程，紧密联系学生的生活实际，从他们日常生活中熟悉的场景入手，在家长的陪伴下展开研究，研究的过程是学生与“千克和克”亲密接触的过程。无疑，这样的数学小课题研究既为新知的学习埋下了厚实的伏笔，又激发了学生学习新知的兴趣，一举两得，何乐而不为！
（二）教材拓展
众所周知，教材只是一个例子，为我们教学提供了最基本的材料。很多时候，受课堂教学时问的限制，我们在教学教材上的有关例题和习题时会有一种意犹未尽的感觉，而这也是我们开发设计数学小课题的切入口。从教材内容生发出来的数学小课题，与学生当前所学的数学内容有紧密联系，不是教材内容，从某种程度上讲，也许超出了教学规定的要求，但也是学生感兴趣的、有能力研究的。
例如，学生在第一学段已经直观认识了长方形、正方形、三角形和平行四边形，到四年级学习垂线和平行线的知识之后，又相对系统地学习三角形、平行四边形和梯形的知识。教材在练习中多处涉及七巧板，但都是零零星星的，于是我们为四年级的学生开发了数学小课题——“有趣的七巧板”。
[课题链接]
你知道下面拼成的是什么图形吗？它们都是用什么拼成的呢？
是的，它们都是用七巧板拼成的。七巧板是一种智力拼图游戏，用这七块板，以各种不同的拼法可以拼成千变万化的图案。七巧板为什么会有这样的魔力呢？它又藏着怎样的数学奥秘呢？
今天就让我们一起来探究一下吧！
[研究记录]
1.教一教。
（1）图中是一副七巧板，一共有（ ）种图形。分别是（ ）（ ）（ ）（ ）。
（2）（ ）形有（ ）个，（ ）形有（ ）个，（ ）形有（ ）个，（ ）形有（ ）个。
2.分一分。
每一个图形的面积占总面积的几分之几呢？
3.做一做。
现在已经了解七巧板了，你会自己制作一副美丽的七巧板吗？
（1）需要的材料：
（2）制作步骤：
4.拼一拼。
现在七巧板已经做好了，你会用自己制作的七巧板拼一拼吗？把你拼出的图案拍照贴在下面。
用2块拼：
[探究延伸]
你能用2副七巧板拼出美丽的图形吗？
学生对七巧板并不陌生，但又从未系统地研究过。这一小课题研究是在学生认识了多边形的特征并学习了分数的初步知识后开展的，通过研究，深化学生对七巧板的认识。这样的数学小课题，不只是数学课本知识的简单运用，能充分激活学生的探究热情，让学生在玩中进行研究，这样的数学学生怎能不喜欢呢？
（三）应用设计
根据学过的数学知识进行设计活动是学生非常感兴趣的事情。开发设计这样的数学小课题，不是去发现、探求客观存在的原理、方法、概念等，而是研究、设计出具有个性特点的、有价值的、能综合运用数学知识的物品、图形、构造等，因此，更具有创新性、挑战性和综合性等特点。
例如，教学苏教版《数学（六年級上册）》《长方体和正方体》这一单元时，有这样一道练习题：把长26厘米、宽18厘米的长方形纸，从四个角各剪去一个边长4厘米的正方形，再折成一个无盖的长方体纸盒。这个纸盒的容积是多少立方厘米？在教学中，教师通常会让学生用长方形纸试着做一做，经历从平面图形到立体图形的变化过程。我们在此基础上更进一步，设计了“怎样折容积最大”这一数学小课题，研究过程如下。
[课题链接]
生活中，人们对商品的包装越来越讲究了，除了实用、美观，还要考虑使用材料是否节约，容积是否宽裕。如果仔细研究，这里还有许多数学小知识呢！
[研究记录]
1.猜一猜。
将一张正方形纸的四个角各剪去一个大小相同的正方形，再沿虚线折一折，就能折出一个无盖的长方体纸盒。怎样剪，才能使折出的无盖长方体纸盒容积最大？把你的想法和同学交流交流。
2.做一做。
（1）取出1号正方形卡纸（边长为6厘米），将它的四个角分别剪去边长是1厘米、2厘米的小正方形，依次折一折，并计算折出的纸盒的容积。
（2）四人小组合作，先思考一共有几种剪法，再分工，每人选择上面的一种剪法进行操作，并把数据汇总给组长，组长填写研究记录单。
（3）组长负责把相关数据填写到研究记录单1中。
（4）实验完成后，一起观察研究记录单1中的数据，并将“小结”部分填写完整。
（5）取出2号正方形卡纸（边长为12厘米）和3号正方形卡纸（边长为18厘米），按上述要求进行同样的操作，并完成研究记录单2和研究记录单3。
3.归纳总结。
（1）观察、比较三次研究记录单得出的结论，你有什么发现？与你的猜想一致吗？
（2）如果正方形的边长是24厘米，要使折出的无盖长方体纸盒容积最大，应该剪去边长是几厘米的正方形？将各种情况列出来算一算，看看自己的推断是否正确。
[探究延伸]
如果正方形的边长是15厘米或20厘米，又该怎样剪呢？
整个研究过程旨在通过学生的实际操作和计算，探索一张正方形纸在怎样的情况下折出的无盖长方体纸盒容积最大。研究分为两个层次展开，由“扶”到“放”，在这三次操作的基础上对所有研究数据进行整体观察、分析，并检验、修正猜想，得出“当剪去的小正方形边长是大正方形边长的丢时，折出的无盖长方体纸盒的容积最大”这个结论。最后，再思考如果正方形的边长是其他一些情况时该怎样剪，进一步验证和完善结论。这样的研究帮助学生经历操作、记录、计算、分析并得出结论的过程，研究的经历就像一粒种子，对学生今后的学习意义深远。 （四）现象解释
数学源于生活，又服务于生活。利用学过的数学知识解释生活中蕴含的数学现象是数学学习的目的之一。在探究如何解释现象的时候，可能会用到以前学过的数学知识，也可能经过探索、研究，不但解释了现象，有时还能了解到更广阔的数学知识，探求出更高深的数学方法，甚至是将来才能学到的数学知识。
例如，学校运动会进行400米赛跑时，同学们都发现了一个奇怪的现象，起跑时运动员并不在同一起跑线上，但最后的终点线却是相同的。对此，不少学生心存疑惑，为此，我们设计了“环形跑道的内外之别”这一小课题。
[课题链接]
在环形跑道中进行400米赛跑，起跑时最外道的运动员在最前面，最内道的运动员却在最后面，为什么各个跑道上的运动员不在同一起跑线呢？这样比赛公平吗？
[研究记录]
1.量一量。
选择一个环形跑道，由内到外的道次分别记作1道、2道、3道、4道、5道、6道、7道、8道。用测绳分别测量每个道次一周的长度，并记录在下表中（将测绳放在每个道次的中间位置进行测量）。
比较每个道次跑道的周长：
（ ）道>（ ）道>（ ）道>（ ）道>（ ）道>（ ）道>（ ）道>（ ）道
2.比一比。
（1）如图1，如果我们把这个环形跑道的两个半圆沿虚线切开，那么这两个半圆能够拼成一个整圆（如图2）。
（2）想一想：
①1道和2道直跑道部分的长度相比，结果怎样？
②1道和2道弯跑道部分的长度相比，结果怎样？
③1道和2道的周长相比，结果怎样？
④通過比较，你有什么发现？
3.算一算。
（1）在弯跑道的直径上，把每个道次的中间位置定为测量点，如图3中A，B两点就是1道的测量点。那么，A，B两点之间的距离我们就看成1道中弯跑道的直径。
（2）请你选择一个环形跑道，分别测量每个道次中弯跑道的直径，再算一算每个道次圆形跑道的总长度。
（3）相邻道次中，外圈跑道的总长比内圈跑道的总长大约多（ ）米。
[探究延伸]
如果在我们学校的环形跑道上进行赛跑（只跑一圈），那么怎样设置每个道次上运动员的起跑线比较合理呢？
这一数学小课题源自学生的真实问题，在学习完圆的相关知识后，他们完全可以独立组建研究小组，开展相关研究，相信认真参与、善于思考的学生一定会经历从研究前的混沌不清到研究后的豁然开朗的心路历程，进而产生积极的学习情感。
总而言之，开展数学小课题研究，对于激发和保持学生的学习兴趣，丰富学生的数学学习体验具有重要的促进作用。而小学阶段的数学小课题的开发设计尚属起步阶段，我们应从儿童的视角出发，基于教材，开发出更多典型的数学小课题，让学生直面现实的问题情境，在自主的研究过程中理解知识、增长智慧。
（责任编辑：李佳）