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摘 要： 数学思想是数学知识的核心，是现代文化的重要组成部分，其教育价值不亚于知识本身。在数学教学中通过“精心预设”、“呈现过程”、“解决问题”、“反思总结”四个途径渗透数学思想，优化课堂教学，提高学生的数学素养。
關键词： 数学思想 挖掘 体验 运用 内化
数学思想是数学的灵魂，是数学知识的核心，是现代文化的重要组成部分，其教育价值不亚于知识本身。日本著名数学教育家米山国藏指出：“学生所学到的数学知识，在进入社会后不到一两年就忘掉了，然而那些铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。”《义务教育数学课程标准（2011年版）》的总体目标明确提出：通过义务教育阶段的数学学习，学生应能够获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。新课程把基本的数学思想作为目标的重要组成部分，并在数学课程标准中明确提出来，可见数学思想的重要性。那么，在平时的教学中如何渗透数学思想，才能让学生真正领会和掌握，达到优化课堂教学的目的呢？我结合教学经验谈谈自己的做法。
一、精心预设，挖掘思想
数学教学内容贯穿着两条主线：数学基础知识和数学思想方法。数学基础知识是一条明线，直接用文字的形式写在教材里；数学思想方法是一条暗线，存在于具体的数学学习内容中，是借助数学知识为载体呈现出来的，是隐性的“知识”，需要加以分析、提炼才能凸显出来。这就要求教师钻研教材，认真备课，挖掘每一堂课所蕴含的数学思想方法，在教学设计中将数学思想方法直接预设到各个活动环节并展示给学生。
案例1：“不等式的概念”的教学片段
问题下列问题中的数量关系能用等式表示吗？若不能，应该用怎样的式子表示？
（1）a是负数；
（2）4支单价为a元的笔记本总价钱为12元；
（3）据天气预报预测，明天最低温度为6（℃），设明天的气温为t（℃），怎样表示t与6的关系？
（4）图为公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过60㎞/h，用（㎞/h）表示汽车的速度，怎样表示和60之间的关系？
（5）一辆匀速行驶的汽车在11﹕20距离A地50千米，要在12﹕00之前驶过A地，车速应满足什么条件？（设车速为千米/小时）
师生活动得出答案：（1）a<0 （2）4a=12 （3）t≥6 （4）v≤60（5）x>50
【说明】既出现用“等式”表示实际问题的数量关系，又出现用“不等式”表示实际问题的数量关系，初步感受不等式也是刻画现实世界的数学模型，体会模型思想与分类思想。
追问1：上述式子中，哪些是我们学习过的式子，它们叫什么名字？哪些是我们没有学习过的式子，你能给它们取个名字吗？
追问2：类比等式的定义，你能给不等式下定义吗？
追问3：你能说说你所见过的“不等号”吗？
师生活动：不等式的概念为“用不等号连接表示大小关系的式子叫做不等式”。
【说明】通过追问，学生自然地将式子分为“等式”和“不等式”两类，类比“等式”的概念自主构建“不等式”的概念，体会“不等式”是刻画现实世界不可或缺的模型。
教材中概念的给出较直接和抽象，这个教学中教师以问题为载体，通过精心地预设和适时地点拨引导，不知不觉地将数学思想方法融入教学，即通过分析几个具体的实际问题抽象出不等式概念的过程，渗透类比、分类、模型的思想方法。这些思想方法不是生搬硬套地塞给学生，而是水到渠成地揭示，这样的数学思想方法的教学是自然的。
二、呈现过程，体验思想
数学概念的形成，定理、公式、法则的探索过程，习题的解答过程都蕴含着丰富的数学思想方法，学生只看教材内容，不易发现其中的数学思想方法。在教学中教师要以组织者的身份引导学生，充分展示知识的发生、发展和形成过程，营造宽松和谐的教学氛围，让学生动手、动口、动脑积极参与探究过程，使学生切实体会到数学思想方法的意义和作用。
案例2：“多边形的内角和”的教学片断：
师：三角形的内角和等于180°，正方形的内角和等于360°，那么任意四边形的内角和是否也等于360°呢？证明你的结论。
生1：360°。如图1，连接一条对角线，四边形分成两个三角形，内角和是2×180°=360°。
图1
师：很好！利用化归思想把四边形问题转化为三角形问题来解决。
师：类比四边形内角和的推导方法，你能求出五边形、六边形的内角和各是多少吗？
生2：如图2，过五边形的一个顶点可以引2条对角线，把五边形分成3个三角形，内角和是3×180°=540°。
生3：如图3，过六边形的一个顶点可以引3条对角线，把六边形分成4个三角形，内角和是4×180°=720°。
师：很棒！通过以上问题，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？怎样求n边形的内角和呢？
生4：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，把n边形分成（n-2）个三角形，n边形的内角和等于（n-2）×180°（n≥3）。
师：利用刚才的思路，把一个多边形分成几个三角形，还有其他方法吗？以六边形为例。
生5：如图4，可以在六边形的内部任取一点，分成六个三角形，这时多了一个周角，因此内角和为：6×180°-360°=720°。
生6：如图5，可以在六边形的任一条边上取一点，分成五个三角形，这时多了一个平角，因此内角和为：5×180°-180°=720°。
师：同学们思维很敏捷，上面给出分割的方法都很好，这三种分割方法有什么相同点和异同点？ 生7：相同点是三种分割方法都把多边形分成几个三角形，再利用三角形的内角和求得；不同点是取点的位置不同，把点分别取在六边形的顶点上、内部、边上。
若是教师直接给出公式，再配套相应的题目予以巩固，从应试的角度出发，则效果一定不差，但数学思想无法呈现和发展。学生在亲身经历的探索思考过程中感受和体验到重要的数学思想：化归、类比、分类讨论等思想，经历从特殊到一般的归纳方法。
三、解决问题，运用思想
数学的教学离不开解题，数学思想是解题的法宝。数学问题的解决过程，实质上是解题技能和数学思想方法的选择和运用的过程。随着同一种思想方法解决不同的数学问题的次数增多，学生不断提炼和积累解题的思想方法，隐藏在数学知识后面的数学思想方法就会逐渐被學生所掌握，进而形成运用思想方法进行思维的意识和习惯，当积累到一定的程度时，其隐藏的思想方法就会随之凸显出来，并自觉指导解题实践。教师要从题海中选择典型的试题，采用恰当的教学方法，让学生从解题过程中体验数学思想方法，解题之后引导学生理清思路，及时归纳，在运用中获得发展。
案例3：等腰三角形的有关计算：
（1）若等腰三角形的周长为10cm，且一边长为4cm，则它的腰长是多少？
（2）若等腰三角形的一个外角为100°，则它的顶角为多少度？
（3）若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1：2，则它的顶角为多少度？
等腰三角形边、角计算问题运用分类讨论的思想，边：分类为腰或底；角：分类为顶角或底角；高：分类为高在三角形内部或外部。
此题所给条件限制较多，直接化简较难，借助数轴运用数形结合思想，所给条件直观化，整个化简过程简便多了。常借助数轴，运用数形结合的思想进行有关绝对值的计算。
四、反思总结，内化思想
数学思想方法是通过教学过程逐步渗透的，零散地分布在教学内容中，同一数学思想也许今天渗透了明天就没有，也许这一单元有的思想方法下一单元没有，它的教学是间断不连续的，是零散不系统的。我们可以通过解题后的回顾、课堂小结、单元复习、总复习进行归纳与总结，使零散的思想方法系统化，并逐步内化为解题思维，以便学生在学习中自觉迁移和应用。1.解题后引导学生反思解题思路、运用的知识点和数学思想方法。2.归纳某一数学思想方法贯穿于哪些知识之间，如方程（组）的学习运用化归思想，分式方程化归为整式方程，一元二次方程化归为一元一次方程，三元一次方程组化归为二元一次方程组再化归为一元一次方程，即把分式方程整式化，高次方程低次化，多元方程一元化；一次函数、反比例函数、二次函数的学习都离不开数形结合。3.某一部分知识可以渗透哪些数学思想方法，如生活中用料造价、最佳投资、最小成本、方案最优等数学问题，常用方程和函数思想解决。
由于同一数学知识可蕴含不同的思想方法，而同一数学思想又常常分布在不同的知识点中，因此经常反思总结，有助于形成完善的认知结构，有助于学生内化思想方法。
数学思想方法的渗透是长期的、渐渐的、反复的过程，只要教师有目的、有意识、主动地把数学思想方法融入教学中，引导学生自主构建数学思想方法，学生对数学思想方法的认识一定会日趋成熟，学习能力和数学素养定会得到提高。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]黄家超.初中数学教学中如何渗透数学思想方法[J].教育教学论坛，2011（30）：58-59.
[3]王万丰.注重类比，促进概念的自然生成——人教版“不等式及其解集”教学设计[J].中国数学教育，2014（6）：42-45.
關键词： 数学思想 挖掘 体验 运用 内化
数学思想是数学的灵魂，是数学知识的核心，是现代文化的重要组成部分，其教育价值不亚于知识本身。日本著名数学教育家米山国藏指出：“学生所学到的数学知识，在进入社会后不到一两年就忘掉了，然而那些铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。”《义务教育数学课程标准（2011年版）》的总体目标明确提出：通过义务教育阶段的数学学习，学生应能够获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。新课程把基本的数学思想作为目标的重要组成部分，并在数学课程标准中明确提出来，可见数学思想的重要性。那么，在平时的教学中如何渗透数学思想，才能让学生真正领会和掌握，达到优化课堂教学的目的呢？我结合教学经验谈谈自己的做法。
一、精心预设，挖掘思想
数学教学内容贯穿着两条主线：数学基础知识和数学思想方法。数学基础知识是一条明线，直接用文字的形式写在教材里；数学思想方法是一条暗线，存在于具体的数学学习内容中，是借助数学知识为载体呈现出来的，是隐性的“知识”，需要加以分析、提炼才能凸显出来。这就要求教师钻研教材，认真备课，挖掘每一堂课所蕴含的数学思想方法，在教学设计中将数学思想方法直接预设到各个活动环节并展示给学生。
案例1：“不等式的概念”的教学片段
问题下列问题中的数量关系能用等式表示吗？若不能，应该用怎样的式子表示？
（1）a是负数；
（2）4支单价为a元的笔记本总价钱为12元；
（3）据天气预报预测，明天最低温度为6（℃），设明天的气温为t（℃），怎样表示t与6的关系？
（4）图为公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过60㎞/h，用（㎞/h）表示汽车的速度，怎样表示和60之间的关系？
（5）一辆匀速行驶的汽车在11﹕20距离A地50千米，要在12﹕00之前驶过A地，车速应满足什么条件？（设车速为千米/小时）
师生活动得出答案：（1）a<0 （2）4a=12 （3）t≥6 （4）v≤60（5）x>50
【说明】既出现用“等式”表示实际问题的数量关系，又出现用“不等式”表示实际问题的数量关系，初步感受不等式也是刻画现实世界的数学模型，体会模型思想与分类思想。
追问1：上述式子中，哪些是我们学习过的式子，它们叫什么名字？哪些是我们没有学习过的式子，你能给它们取个名字吗？
追问2：类比等式的定义，你能给不等式下定义吗？
追问3：你能说说你所见过的“不等号”吗？
师生活动：不等式的概念为“用不等号连接表示大小关系的式子叫做不等式”。
【说明】通过追问，学生自然地将式子分为“等式”和“不等式”两类，类比“等式”的概念自主构建“不等式”的概念，体会“不等式”是刻画现实世界不可或缺的模型。
教材中概念的给出较直接和抽象，这个教学中教师以问题为载体，通过精心地预设和适时地点拨引导，不知不觉地将数学思想方法融入教学，即通过分析几个具体的实际问题抽象出不等式概念的过程，渗透类比、分类、模型的思想方法。这些思想方法不是生搬硬套地塞给学生，而是水到渠成地揭示，这样的数学思想方法的教学是自然的。
二、呈现过程，体验思想
数学概念的形成，定理、公式、法则的探索过程，习题的解答过程都蕴含着丰富的数学思想方法，学生只看教材内容，不易发现其中的数学思想方法。在教学中教师要以组织者的身份引导学生，充分展示知识的发生、发展和形成过程，营造宽松和谐的教学氛围，让学生动手、动口、动脑积极参与探究过程，使学生切实体会到数学思想方法的意义和作用。
案例2：“多边形的内角和”的教学片断：
师：三角形的内角和等于180°，正方形的内角和等于360°，那么任意四边形的内角和是否也等于360°呢？证明你的结论。
生1：360°。如图1，连接一条对角线，四边形分成两个三角形，内角和是2×180°=360°。
图1
师：很好！利用化归思想把四边形问题转化为三角形问题来解决。
师：类比四边形内角和的推导方法，你能求出五边形、六边形的内角和各是多少吗？
生2：如图2，过五边形的一个顶点可以引2条对角线，把五边形分成3个三角形，内角和是3×180°=540°。
生3：如图3，过六边形的一个顶点可以引3条对角线，把六边形分成4个三角形，内角和是4×180°=720°。
师：很棒！通过以上问题，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？怎样求n边形的内角和呢？
生4：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，把n边形分成（n-2）个三角形，n边形的内角和等于（n-2）×180°（n≥3）。
师：利用刚才的思路，把一个多边形分成几个三角形，还有其他方法吗？以六边形为例。
生5：如图4，可以在六边形的内部任取一点，分成六个三角形，这时多了一个周角，因此内角和为：6×180°-360°=720°。
生6：如图5，可以在六边形的任一条边上取一点，分成五个三角形，这时多了一个平角，因此内角和为：5×180°-180°=720°。
师：同学们思维很敏捷，上面给出分割的方法都很好，这三种分割方法有什么相同点和异同点？ 生7：相同点是三种分割方法都把多边形分成几个三角形，再利用三角形的内角和求得；不同点是取点的位置不同，把点分别取在六边形的顶点上、内部、边上。
若是教师直接给出公式，再配套相应的题目予以巩固，从应试的角度出发，则效果一定不差，但数学思想无法呈现和发展。学生在亲身经历的探索思考过程中感受和体验到重要的数学思想：化归、类比、分类讨论等思想，经历从特殊到一般的归纳方法。
三、解决问题，运用思想
数学的教学离不开解题，数学思想是解题的法宝。数学问题的解决过程，实质上是解题技能和数学思想方法的选择和运用的过程。随着同一种思想方法解决不同的数学问题的次数增多，学生不断提炼和积累解题的思想方法，隐藏在数学知识后面的数学思想方法就会逐渐被學生所掌握，进而形成运用思想方法进行思维的意识和习惯，当积累到一定的程度时，其隐藏的思想方法就会随之凸显出来，并自觉指导解题实践。教师要从题海中选择典型的试题，采用恰当的教学方法，让学生从解题过程中体验数学思想方法，解题之后引导学生理清思路，及时归纳，在运用中获得发展。
案例3：等腰三角形的有关计算：
（1）若等腰三角形的周长为10cm，且一边长为4cm，则它的腰长是多少？
（2）若等腰三角形的一个外角为100°，则它的顶角为多少度？
（3）若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1：2，则它的顶角为多少度？
等腰三角形边、角计算问题运用分类讨论的思想，边：分类为腰或底；角：分类为顶角或底角；高：分类为高在三角形内部或外部。
此题所给条件限制较多，直接化简较难，借助数轴运用数形结合思想，所给条件直观化，整个化简过程简便多了。常借助数轴，运用数形结合的思想进行有关绝对值的计算。
四、反思总结，内化思想
数学思想方法是通过教学过程逐步渗透的，零散地分布在教学内容中，同一数学思想也许今天渗透了明天就没有，也许这一单元有的思想方法下一单元没有，它的教学是间断不连续的，是零散不系统的。我们可以通过解题后的回顾、课堂小结、单元复习、总复习进行归纳与总结，使零散的思想方法系统化，并逐步内化为解题思维，以便学生在学习中自觉迁移和应用。1.解题后引导学生反思解题思路、运用的知识点和数学思想方法。2.归纳某一数学思想方法贯穿于哪些知识之间，如方程（组）的学习运用化归思想，分式方程化归为整式方程，一元二次方程化归为一元一次方程，三元一次方程组化归为二元一次方程组再化归为一元一次方程，即把分式方程整式化，高次方程低次化，多元方程一元化；一次函数、反比例函数、二次函数的学习都离不开数形结合。3.某一部分知识可以渗透哪些数学思想方法，如生活中用料造价、最佳投资、最小成本、方案最优等数学问题，常用方程和函数思想解决。
由于同一数学知识可蕴含不同的思想方法，而同一数学思想又常常分布在不同的知识点中，因此经常反思总结，有助于形成完善的认知结构，有助于学生内化思想方法。
数学思想方法的渗透是长期的、渐渐的、反复的过程，只要教师有目的、有意识、主动地把数学思想方法融入教学中，引导学生自主构建数学思想方法，学生对数学思想方法的认识一定会日趋成熟，学习能力和数学素养定会得到提高。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]黄家超.初中数学教学中如何渗透数学思想方法[J].教育教学论坛，2011（30）：58-59.
[3]王万丰.注重类比，促进概念的自然生成——人教版“不等式及其解集”教学设计[J].中国数学教育，2014（6）：42-45.