进入初中阶段,随着知识面的进一步扩展,正负数已成为我们学习中的一个重要组成部分.由于正负数的出现,分类讨论思想在学习中的应用显得尤为重要.为了能帮助同学们熟练地掌握这一解题思想,今特将有关有理数一章中,体现分类讨论思想的题例加以归纳总结,希望能对同学们有所帮助!举例如下:
　　一、比较大小中的应用
　　例1:已知:a与-a都是有理数,试比较a与-a的大小关系.
　　分析:因为a与-a都是有理数,所以a可能为正,也可能为负,还可能为0;-a也是如此.要想比较二者的大小必须对a的取值范围进行讨论,即:a>0,a<0,a=0三种情况都要进行考虑.
　　解:∵a与-a都是有理数,
　　∴(1)当a>0时,a>-a;
　　(2)当a<0时,a<-a;
　　(3)当a=0时,a=-a.
　　例2:已知:a是有理数,试比较-(-a)与--a 的大小关系.
　　分析:因为a是有理数,所以a可能为正,也可能为负,还可能为0;即:a>0,a<0,a=0三种情况都要进行考虑,对于a来说,不论a>0,a<0,a=0,它都是一个非负数,不能草率地认为:“负负得正”,这也是解决本题的一个关键.
　　解:-(-a)=a,--a=-a,
　　∴(1)当a>0时,-(-a)>--a;
　　(2)当a<0时,-(-a)=--a;
　　本题讨论时,应分为:n<-1,n=-1,-11六种情况来讨论.
　　解:∵n是有理数,
　　说明:在做此类题目时,我们不仅要考虑到未知数的取值范围,还要注意整个题目中所有量的特点,加以分类讨论.
　　二、化简求值中的应用
　　例4:已知:a是有理数,试求a的值.
　　分析:因为a是有理数,所以a可正可负亦可为0,而对于任何一个有理数的绝对值都是一个非负数,(绝对值表示数轴上一点到原点的距离,距离不可能为负值)所以a化简后的结果一定要是一个非负数.
　　解:∵a是有理数,
　　 ∴(1)当a>0时,a=a;
　　 (2)当a=0时,a=a=0;
　　 (3)当a<0时,a=-a.
　　说明:(3)中的-a是一个正数.
　　例5:已知:a是有理数,试求a-4的值.
　　分析:任何有理数的绝对值都是一个非负数,而在化简绝对值时,我们首先要讨论绝对值里面的式子或数的取值范围,对于本题来说就是先要讨论a-4的取值范围(即:a-4与0的关系).
　　解:∵a是有理数,
　　∴(1)当a<4时,a-4<0,a-4=-(a-4)=4-a;
　　(2)当a=4时,a-4=0,a-4=0;
　　(3)当a>4时,a-4>0,a-4=a-4.
　　说明:对于此类问题,分类的关键是找准分界点,即本题中的4这一点,技巧就是首先让绝对值里面的式子的值为0,从而求得未知数的分界点.
　　例6:已知:a是有理数,试化简a-4-a+2.
　　分析:对于此题来说,解题的关键依然是分界点的找取,而进行分类时可以借助于数轴,本题中有两个分界点,即:4和-2两点,我们可以先在数轴上分类:
　　从图中可以明显看出a的取值范围可以分为:
　　a<-2,-2≤a<4,a≥4三部分,我们再根据这三部分进行讨论.
　　解:∵a是有理数,
　　∴(1)当a<-2时,a-4<0,a+2<0,
　　a-4-a+2=-(a-4)+(a+2)=6;
　　(2)當-2≤a<4时,a-4<0,a+2≥0,
　　a-4-a+2=-(a-4)-(a+2)=-2a+2;
　　(3)当a≥4时,a-4≥0,a+2>0,
　　a-4-a+2=(a-4)-(a+2)=-6.
　　说明:本题不要求同学们掌握,只是为了能让同学们进一步拓宽自己的视野,进一步了解分类讨论思想的应用,能掌握可进一步锻炼自己的思维,不能理解本属正常,也没有必要气馁,随着知识的积累,你对此一定会融会贯通的.
　　“水滴石穿,绳锯木断”,学习切忌着急,学有所成的秘诀就是:平心静气地学、快快乐乐地学、有收获就是成功!