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解三角形这一章主要的知识点很简单，就是正弦定理、余弦定理、面积夹角计算公式，但要真正地学好，除了熟练掌握三角函数的相关公式，也要掌握解三角形一些基本的方法和技巧．
一、直接法
例1在[△ABC]中，[A=600,b=1,SΔABC=3,] 求[a+b+csinA+sinB+sinC]的值.
分析 直接由公式可求[c],进而求[a],由正弦定理得所求．
解 [∵S△ABC=12bcsinA=12×1×csin600=3, ]
∴[c=4].
故[a2=b2+c2-2bc cosA=13, a=13].
∴[a+b+csinA+sinB+sinC]=[asinA=13sin60°=2393.]
点拨若把角A、B、C都算出来再代入求解则太繁.
例2 半圆O的直径为2，O为圆心，A为直径延长线一点，且OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为边向外作等边[△ABC]，则B点在什么位置时，四边形OACB的面积S最大？求出最大值.
分析 四边形OACB可分割成两个三角形，分别求两个三角形面积即可．要计算三角形面积，引入一个辅助角作为变量．
解设[∠AOB=θ]，
则由余弦定理得[AB2=5-4cosθ]，
[S=S△AOB+S△ABC=sinθ+34AB2]
[=sinθ-3cosθ+534][=2sin(θ-π3)+534]，
当[θ-π3=π2]即[θ=5π6]时，S最大值为[8+534]．
点拨 本题的难点在于构造辅助角，之所以引入[∠AOB=θ]，是因为它与两个三角形面积公式都有联系．
二、化边为角、化角为边
例3 在[△ABC]中，[a2tanB=b2tanA]，试判断[△ABC]的形状．分析 已知等式既有边，又有角，既可考虑化边为角，又可考虑化角为边．
解法一 （化边为角）由正弦定理得
[sin2AsinBcosB=sin2BsinAcosA] ，
即[sinAcosA=sinBcosB]，
∴[sin2A-sin2B=0]，
∴[2A=2B]或[2A=π-2B]，
∴[A=B]或[A+B=π2]，
∴[△ABC]是等腰三角形或直角三角形.
解法二（化角为边）由[a2tanB=b2tanA]切化弦得
[a2sinBcosA=b2sinAcosB]，
由正弦、余弦定理得
[a2⋅b⋅b2+c2-a22bc=b2⋅a⋅a2+c2-b22ac,]
∴[a2-b2a2+b2-c2=0]，
∴[a=b]或[a2+b2=c2]，
∴[△ABC]是等腰三角形或直角三角形．
点拨 本题即可化边为角，又可化角为边来做．但显然解法一比解法二简单，所以要灵活地选择，找到简洁的方法．
例4 已知[△ABC]是半径为R的圆内接三角形，且[2R(sin2A-sin2C)=(2a-b)sinB].
（1）求角C；（2）求[△ABC]面积S最大值.
分析题设条件中有角、边、外接圆半径，可化角为边．
解（1）由[2R(sin2A-sin2C)=(2a-b)sinB]，
得[2RsinA2-2RsinC2=2a-b2RsinB,]
∴[a2-c2=2a-bb]，
即[a2+b2-c2=2ab]，
∴[cosC=a2+b2-c22ab=22]，∴[C=π4]．
（2）∵[C=π4]，∴[A+B=3π4] ，
∴ [S=12absinC=2R2sinAsinB]
[=-22R2cos(A+B)-cos(A-B)]
[=22R222+cos(A-B)] ，
当[A=B=3π8]时，S取最大值[1+22R2]．
点拨 第（1）问若化边为角则很困难，所以并非所有类似的题目均既可化边为角，又可化角为边．同时形如[a2+b2-c2]、[a2+c2-b2、][c2+b2-a2]的式子要联想到余弦定理. 第（2）问求[S]时，也可不用积化和差公式，而采取消角[(B=3π4-A)]的方法．
三、向量法
例5如图，[△ABC]中，[AD⊥AB,BC=3BD,][AD=1,∠BAC=1200]，求[CD]．
分析 题设条件在两个三角形中，若用直接法，则太繁，而用向量法则可使问题简化．
解 以[AB、AD]为基底，∵[AD⊥AB]，
∴[AD⋅AB=0]，[∠CAD=300]．
[AC⋅AD=AB+BC⋅AD]
[=AB+3BD⋅AD=3BD⋅AD]
[=3BA+AD⋅AD=3AD2=3].
又[AC⋅AD=ACADcos∠CAD]
[=AC×1×cos300=3]，
∴ [AC=2]，
∴[CD=12+22-2×1×2×cos300=5-23.]
点拨 此题难点在于想到求[AC⋅AD]；基底尽量选择与题设关系密切的向量，特别是垂直的向量；图中有多个三角形问题时，若用直接法比较困难，可考虑借助向量作为工具．
四、解析法
例6 台风中心在海上[O]点形成，沿北偏西[600]方向移动，速度是25千米/小时. 台风影响范围是130千米,在[O]点的正西240千米处有城市[A]，台风是否会对A市有影响？如果有影响, 影响时间多长？
分析 画图建立数学模型，转化为解直角三角形问题．
解 （1）设台风的方向为[OB]，建立如图所示的直角坐标系，则[A-240,0]，
直线[OB]方程[y=-33x] ， 点[A]到直线[OB]的距离[AD]为120千米．
∵120千米＜130千米，∴台风会对[A]市有影响．
（2）以[A]为圆心、130千米为半径画圆，交[OB]于[E、F]两点．
∵[AE]=130，[AD] =120，
由勾股定理可得[ED]=50，
∴[EF=100,][10025=4]．
故城市[A]会受影响4个小时.
例7 在[△ABC]中，已知[AB=463,cosB=66], AC边上的中线[BD=5]，求[sinA]的值.
分析本题解法较多，其中解析法是较简单的方法.
解建立如图所示的直角坐标系，则
[BA=463cosB,463sinB=43,453]．
设[BC=x,0]， 则[BD=4+3x6,253] ，
[BD=4+3x62+2532=5]，
得[x=2,x=-143](舍去)．
故[CA=-23,453].
[cosA=BA⋅CABACA=31414 ]，
∴[sinA=1-cos2A=7014].
点拨 本题既用到三角函数定义，又在建系的基础上借助向量的坐标计算，使运算简化．
一、直接法
例1在[△ABC]中，[A=600,b=1,SΔABC=3,] 求[a+b+csinA+sinB+sinC]的值.
分析 直接由公式可求[c],进而求[a],由正弦定理得所求．
解 [∵S△ABC=12bcsinA=12×1×csin600=3, ]
∴[c=4].
故[a2=b2+c2-2bc cosA=13, a=13].
∴[a+b+csinA+sinB+sinC]=[asinA=13sin60°=2393.]
点拨若把角A、B、C都算出来再代入求解则太繁.
例2 半圆O的直径为2，O为圆心，A为直径延长线一点，且OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为边向外作等边[△ABC]，则B点在什么位置时，四边形OACB的面积S最大？求出最大值.
分析 四边形OACB可分割成两个三角形，分别求两个三角形面积即可．要计算三角形面积，引入一个辅助角作为变量．
解设[∠AOB=θ]，
则由余弦定理得[AB2=5-4cosθ]，
[S=S△AOB+S△ABC=sinθ+34AB2]
[=sinθ-3cosθ+534][=2sin(θ-π3)+534]，
当[θ-π3=π2]即[θ=5π6]时，S最大值为[8+534]．
点拨 本题的难点在于构造辅助角，之所以引入[∠AOB=θ]，是因为它与两个三角形面积公式都有联系．
二、化边为角、化角为边
例3 在[△ABC]中，[a2tanB=b2tanA]，试判断[△ABC]的形状．分析 已知等式既有边，又有角，既可考虑化边为角，又可考虑化角为边．
解法一 （化边为角）由正弦定理得
[sin2AsinBcosB=sin2BsinAcosA] ，
即[sinAcosA=sinBcosB]，
∴[sin2A-sin2B=0]，
∴[2A=2B]或[2A=π-2B]，
∴[A=B]或[A+B=π2]，
∴[△ABC]是等腰三角形或直角三角形.
解法二（化角为边）由[a2tanB=b2tanA]切化弦得
[a2sinBcosA=b2sinAcosB]，
由正弦、余弦定理得
[a2⋅b⋅b2+c2-a22bc=b2⋅a⋅a2+c2-b22ac,]
∴[a2-b2a2+b2-c2=0]，
∴[a=b]或[a2+b2=c2]，
∴[△ABC]是等腰三角形或直角三角形．
点拨 本题即可化边为角，又可化角为边来做．但显然解法一比解法二简单，所以要灵活地选择，找到简洁的方法．
例4 已知[△ABC]是半径为R的圆内接三角形，且[2R(sin2A-sin2C)=(2a-b)sinB].
（1）求角C；（2）求[△ABC]面积S最大值.
分析题设条件中有角、边、外接圆半径，可化角为边．
解（1）由[2R(sin2A-sin2C)=(2a-b)sinB]，
得[2RsinA2-2RsinC2=2a-b2RsinB,]
∴[a2-c2=2a-bb]，
即[a2+b2-c2=2ab]，
∴[cosC=a2+b2-c22ab=22]，∴[C=π4]．
（2）∵[C=π4]，∴[A+B=3π4] ，
∴ [S=12absinC=2R2sinAsinB]
[=-22R2cos(A+B)-cos(A-B)]
[=22R222+cos(A-B)] ，
当[A=B=3π8]时，S取最大值[1+22R2]．
点拨 第（1）问若化边为角则很困难，所以并非所有类似的题目均既可化边为角，又可化角为边．同时形如[a2+b2-c2]、[a2+c2-b2、][c2+b2-a2]的式子要联想到余弦定理. 第（2）问求[S]时，也可不用积化和差公式，而采取消角[(B=3π4-A)]的方法．
三、向量法
例5如图，[△ABC]中，[AD⊥AB,BC=3BD,][AD=1,∠BAC=1200]，求[CD]．
分析 题设条件在两个三角形中，若用直接法，则太繁，而用向量法则可使问题简化．
解 以[AB、AD]为基底，∵[AD⊥AB]，
∴[AD⋅AB=0]，[∠CAD=300]．
[AC⋅AD=AB+BC⋅AD]
[=AB+3BD⋅AD=3BD⋅AD]
[=3BA+AD⋅AD=3AD2=3].
又[AC⋅AD=ACADcos∠CAD]
[=AC×1×cos300=3]，
∴ [AC=2]，
∴[CD=12+22-2×1×2×cos300=5-23.]
点拨 此题难点在于想到求[AC⋅AD]；基底尽量选择与题设关系密切的向量，特别是垂直的向量；图中有多个三角形问题时，若用直接法比较困难，可考虑借助向量作为工具．
四、解析法
例6 台风中心在海上[O]点形成，沿北偏西[600]方向移动，速度是25千米/小时. 台风影响范围是130千米,在[O]点的正西240千米处有城市[A]，台风是否会对A市有影响？如果有影响, 影响时间多长？
分析 画图建立数学模型，转化为解直角三角形问题．
解 （1）设台风的方向为[OB]，建立如图所示的直角坐标系，则[A-240,0]，
直线[OB]方程[y=-33x] ， 点[A]到直线[OB]的距离[AD]为120千米．
∵120千米＜130千米，∴台风会对[A]市有影响．
（2）以[A]为圆心、130千米为半径画圆，交[OB]于[E、F]两点．
∵[AE]=130，[AD] =120，
由勾股定理可得[ED]=50，
∴[EF=100,][10025=4]．
故城市[A]会受影响4个小时.
例7 在[△ABC]中，已知[AB=463,cosB=66], AC边上的中线[BD=5]，求[sinA]的值.
分析本题解法较多，其中解析法是较简单的方法.
解建立如图所示的直角坐标系，则
[BA=463cosB,463sinB=43,453]．
设[BC=x,0]， 则[BD=4+3x6,253] ，
[BD=4+3x62+2532=5]，
得[x=2,x=-143](舍去)．
故[CA=-23,453].
[cosA=BA⋅CABACA=31414 ]，
∴[sinA=1-cos2A=7014].
点拨 本题既用到三角函数定义，又在建系的基础上借助向量的坐标计算，使运算简化．