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[摘 要]在小学数学教学中，乘法分配律是教学的重点与难点，因为对于学生来说，彻底理解乘法分配律的原则与算理是件很困难的事情。通过分析学生在运用分配律进行计算时常出现的错误，采用提高巩固和拓展延伸等措施进行教学，从而提高教学效率。
[关键词]乘法分配律；难点；策略
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）17-0020-03
數学课程标准指出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。”其中， 运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。
乘法分配律是小学数学中一个非常重要的运算定律，合理使用乘法分配律可使计算简便，大大提高学生的计算效率，提升学生的计算能力。由于乘法分配律的变式很多，一直都是学生掌握不好的内容。
【错例1】概念理解不清，造成丢三落四。
■
【错例2】为了凑整而凑整，生搬硬套。
■
【错例3】对乘法分配律理解错误，造成计算错误。
■
【错例4】混淆乘法分配律和乘法结合律。
■
在课堂上几乎所有的学生都表现出能够理解和运用乘法分配律，独立作业时怎么会出现这五花八门的错误呢？我陷入了思考：
①乘法分配律到底难在哪？如何突破这些难点呢？
②是我的教学存在问题吗？
③如何在教学之初改进，并在错误发生之后进行矫正呢？
基于此，我对自己以往的教学经历及学生各种类型的错误进行一一分析，同时深入研究教材的编排和知识的结构，得出学生在乘法分配律应用计算过程出现错误的原因有以下几方面。
第一，复杂。乘法分配律不但符号复杂，形式也复杂。乘法交换律“a×b=b×a”和乘法结合律“（a×b）×c=a×（b×c）”都只有一种乘号运算符号，不管怎么变，运算符号始终不会变，而且等式两边的数字个数都不变。乘法分配律“（a b） ×c=a×c b×c”含有加号和乘号两种运算符号，且等号两边的符号、数字的个数及运算顺序也不完全一致。这样，形式上的复杂多样，给学生的理解和记忆增添了难度。
第二，抽象。乘法交换律和乘法结合律直观而形象，学生几乎看着公式就能准确描述出定律。乘法分配律文字语言表述为“两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。”既是“分别相乘”，又是“再相加”等关键词语，学生觉得抽象又复杂，难以归纳，造成记忆负担。
第三，多变。乘法交换律和乘法结合律在应用中模式固定，最多是交换一下位置，改变一下运算顺序。如25×7×4×9=（25×4）×（7×9）=100×63=6300。乘法分配律在应用上变化多样，有基本应用的，如36×55 64×55=（36 64）×55、（125 41）×8=125×8 41×8；还有各种变式应用的，如99×35、38×99 38、26×36 13×28……这样在“变”中找“不变”，又在“不变”中找“变”，对学生提出了很高的要求。
如何才能让学生更好地掌握和运用乘法分配律，为学生将来的数学学习打下扎实的基础呢？
一、在比较中赢得探究
探究学习是学生不断经历猜想、验证、思辨的过程。在探究学习时，教师提供的探究学习材料是学生进行有效探究的前提和基础。
以往的教学都是从一道题目入手（如学校购买校服，上衣每件35元，裤子每条25元，买3套，一共需要多少元？），引导学生得到35×3 25×3和（35 25）×3，进而让学生观察、举例、总结、应用。这样的教学素材缺少了对内在运算意义的引导，忽视了对乘法分配律和结合律的联系和比较，使得学生的注意力只放在算式的形式结构变化上，而这样的记忆犹如搭在一堆流沙上的建筑，稍加干扰就立刻散架，甚至无法复原。为此，我重新设计学习材料。
1.引入
题目：城西文具店有练习本2箱，每箱4包，每包有25本，一共有多少本练习本？
（1）学生列式后计算：（2×4）×25或2×（4×25）。
（2）这里运用了什么运算定律？
（3）乘法结合律中，什么变了，什么没变？
（4）括号中的乘法能不能变成加号？为什么？
引导学生明确：“2”表示“2箱”，“4”表示“4包”，“25”表示“每包25本”，单位不同，不能相加；乘法结合律中的乘号不能变成加号。
2.展开
题目：城西文具店有练习本2包，每包25本。又采购了同样的练习本4包，现在一共有多少本练习本？
（1）学生列式后计算：25×（2 4）或25×2 25×4。
（2）“2”表示什么？“4”表示什么？25×（2 4）这个算式中加号能否改成乘号？为什么？
引导学生明白：“2”表示“2包”，“4”表示“4包”，单位相同，可以相加。“2 4”表示一共有6包练习本；这里的加号不能变成乘号。
小结：2×4和2 4虽然只是一个小小的运算符号不同，但代表的是2和4之间完全不同的两种关系。“2×4”表示“2箱一共8包”，“2 4”表示“2包加上4包，一共有6包”。
（3）如果把25×（2 4）中的括号去掉，得到25×2 4，这里发生了什么变化？结合每个数表示的意义和数与数之间的关系进行解释。
小结：要正确解答这道题，括号不能去掉。
3.进一步讨论
（1）25×（2 4）要去掉括号应该写成什么？写一写并解释为什么。 （2）同样是去括号，为什么25×（2 4）=25×2 25×4中，“25”出现了两次，而2×（4×25）=2×4×25中，“25”只出现了一次？
（3）比较2×4×25和25×（2 4），每个数表示的意义是什么？2×4和2 4表示的意义相同吗？
4.归纳总结
（1）25×（2 4）=25×2 25×4算式的左右什么变了，什么没变？为什么可以这样变？
（2）用自己的话说说算式的特点，再用自己喜欢的符号表示出来。
（3）揭示概念：这个运算定律叫作“乘法分配律”。
……
两组探究材料的设计，注重数学材料内在的层次性和逻辑性，由学生已经掌握的乘法结合律的特点和内在意义引出乘法分配律，再将两种运算定律结合具体事例进行了解释和反复对比，最后在形式结构上进行比较。比起以往的教学，虽然没有过多地强调外在形式的简单记忆，但无论算式的外在形式怎样变化，学生的思维始终围绕运算的意义进行理解。
二、在理解中掌握内涵
很多学生能熟记公式，但不会灵活运用。因此，乘法分配律的教学既要注重外形结构，更要注重内涵本质：a×（b c）=a×b a×c中，为什么等式两边是相等的？
1.从解决问题的角度
根据以上问题情境可知，25×（2 4）是先求练习本的总包数，再求练习本的总本数；而25×2 25×4是分别求原来2包和又采购了4包的本数，再求总本数，因此得出25×（2 4）=25×2 25×4。
2.从乘法意义的角度
以25×（2 4）=25×2 25×4为例，左边表示6个25，右边表示2个25加4个25，一共是6个25，因此等式两边是相等的。
3.从数形结合的角度
如图1，求大长方形的面积，既可直接用“长×宽”，也可分别求出两个小长方形的面积后再相加，因此可得25×（2 4）=25×2 25×4。
■
图1
4.从乘法竖式计算的角度
两位数乘两位数，如24×12，即求12个24是多少，等于10个24与2个24的和，列式为24×（10 2）=24×10 24×2=240 48=288。（如图2）
■
图2
让学生思考：三位数乘两位数的竖式是不是也符合这个乘法分配律？如150×12，学生会顺着前面的思路，很快得出150×12就是求12个150是多少，就是等于10个150加上2个150，即150×12=150×10 150×2=1500 300=1800。这样，通过乘法竖式计算就能帮助学生有效巩固乘法分配律的算理和算法。
三、在多变中更易巩固
利用运算定律进行简单计算时，由于题目形式多样，学生出现计算错误是在所难免的，尤其是在学习乘法分配律之后，如何灵活使用运算定律，常常让许多学生苦恼。为此，引入“一题多解”题型，可以培养学生思维的靈活性。要注意的是，练习题要少而精，要富有思维含量，从而点燃学生思维的火花，达到巩固知识的目的。
题目：简便计算：25× 。你能将题目补充完整吗？
生1： 25×44=25×4×11=1100。
生2： 25×44=25×（40 4）=25×40 25×4=1000 100=1100。
生3： 25×99=25×（100-1）=25×100-25×1=2475。
生4： 25×102=25×（100 2）=25×100 25×2=2525。
生5：25×4 75×4=4×（25 75）=4×100=400。
生6：25×32×125=（25×4）×（8×125）=100×1000=100000。
生7：25×56 50×22
=25×56 （50÷2）×（22×2）
=25×56 25×44
=2500。
……
不同的学生就有不同的补充方法。接着，要求学生给这些题分一分类，并说一说是根据什么分类的。
在这一环节中，不同层次的学生可以量力而为，即使是学困生也能写出一两题。由于题目是学生自己设计的，这使得他们在计算时更加投入，应用运算定律也更加仔细，教学效果显著。
四、在练习中拓展延伸
要让学生能够运用所学的知识解决实际问题。教师就需要对教材的内容进行再加工，从而加深学生对知识的理解，拓宽学生的思路，以培养学生的发散性思维。
1.初步拓展
出示：57×102-57×2。
引导： 57×102与57×2各表示什么意思？57×102-57×2又表示什么意思？ 100个57是怎样得到的？
这样，学生很快就明白此题怎样算才比较简便，很快就解答出来了。在此基础上教师可继续提问：“这一个题目与我们前面学的有什么不一样？你准备怎么办？”
学生在练习本上举例验证，并相互交流，最后提炼出a×b-a×c =a×（b-c）。
2.总结延伸
出示：79×67 79×31 79×2。
有了前面的基础，学生很快就发现a×m b×m c×m= （a b c） ×m。
引导：难道只限于三个数吗？四个数、五个数，或者更多呢？
学生纷纷动手尝试，通过激烈的讨论，得出了：
a×m b×m = （a b） ×m
a×m b×m c×m= （a b c） ×m
a×m b×m c×m d×m= （a b c d） ×m
……
通过这样的引申，学生在深刻理解乘法分配律内涵与外延的同时，感受到数学的无穷魅力，从而产生了浓厚的求知欲。
五、在坚持中培养习惯
学生在作业中常出现各种错误，如125×25×8×4=（125×8） （25×4）=1000 100=1100。学生看到红红的大叉后往往会说：“我为什么把‘×’写成了‘ ’呢？”
可见，要提高作业的正确率，良好的作业习惯是保障。教师除了要求学生认真审题、书写规范之外，还要培养学生在进行简算时，结合递等式“每一步都相等”的特点，一步一回头，每做一步都要思考变化的依据是什么，前后是否相等，这样做有没有道理，等等。通过这样的习惯培养，学生的解题思路以及自我审查、自我反思等能力都会得到不断提高。长此以往，不仅学生的学习习惯得到培养，学生思维的严谨性及逻辑性也会得到发展。
最后，“教无定法”，只要我们有心，一切问题都不是问题。我相信：教育从心开始！
（责编 金 铃）
[关键词]乘法分配律；难点；策略
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）17-0020-03
數学课程标准指出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。”其中， 运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。
乘法分配律是小学数学中一个非常重要的运算定律，合理使用乘法分配律可使计算简便，大大提高学生的计算效率，提升学生的计算能力。由于乘法分配律的变式很多，一直都是学生掌握不好的内容。
【错例1】概念理解不清，造成丢三落四。
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【错例2】为了凑整而凑整，生搬硬套。
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【错例3】对乘法分配律理解错误，造成计算错误。
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【错例4】混淆乘法分配律和乘法结合律。
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在课堂上几乎所有的学生都表现出能够理解和运用乘法分配律，独立作业时怎么会出现这五花八门的错误呢？我陷入了思考：
①乘法分配律到底难在哪？如何突破这些难点呢？
②是我的教学存在问题吗？
③如何在教学之初改进，并在错误发生之后进行矫正呢？
基于此，我对自己以往的教学经历及学生各种类型的错误进行一一分析，同时深入研究教材的编排和知识的结构，得出学生在乘法分配律应用计算过程出现错误的原因有以下几方面。
第一，复杂。乘法分配律不但符号复杂，形式也复杂。乘法交换律“a×b=b×a”和乘法结合律“（a×b）×c=a×（b×c）”都只有一种乘号运算符号，不管怎么变，运算符号始终不会变，而且等式两边的数字个数都不变。乘法分配律“（a b） ×c=a×c b×c”含有加号和乘号两种运算符号，且等号两边的符号、数字的个数及运算顺序也不完全一致。这样，形式上的复杂多样，给学生的理解和记忆增添了难度。
第二，抽象。乘法交换律和乘法结合律直观而形象，学生几乎看着公式就能准确描述出定律。乘法分配律文字语言表述为“两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。”既是“分别相乘”，又是“再相加”等关键词语，学生觉得抽象又复杂，难以归纳，造成记忆负担。
第三，多变。乘法交换律和乘法结合律在应用中模式固定，最多是交换一下位置，改变一下运算顺序。如25×7×4×9=（25×4）×（7×9）=100×63=6300。乘法分配律在应用上变化多样，有基本应用的，如36×55 64×55=（36 64）×55、（125 41）×8=125×8 41×8；还有各种变式应用的，如99×35、38×99 38、26×36 13×28……这样在“变”中找“不变”，又在“不变”中找“变”，对学生提出了很高的要求。
如何才能让学生更好地掌握和运用乘法分配律，为学生将来的数学学习打下扎实的基础呢？
一、在比较中赢得探究
探究学习是学生不断经历猜想、验证、思辨的过程。在探究学习时，教师提供的探究学习材料是学生进行有效探究的前提和基础。
以往的教学都是从一道题目入手（如学校购买校服，上衣每件35元，裤子每条25元，买3套，一共需要多少元？），引导学生得到35×3 25×3和（35 25）×3，进而让学生观察、举例、总结、应用。这样的教学素材缺少了对内在运算意义的引导，忽视了对乘法分配律和结合律的联系和比较，使得学生的注意力只放在算式的形式结构变化上，而这样的记忆犹如搭在一堆流沙上的建筑，稍加干扰就立刻散架，甚至无法复原。为此，我重新设计学习材料。
1.引入
题目：城西文具店有练习本2箱，每箱4包，每包有25本，一共有多少本练习本？
（1）学生列式后计算：（2×4）×25或2×（4×25）。
（2）这里运用了什么运算定律？
（3）乘法结合律中，什么变了，什么没变？
（4）括号中的乘法能不能变成加号？为什么？
引导学生明确：“2”表示“2箱”，“4”表示“4包”，“25”表示“每包25本”，单位不同，不能相加；乘法结合律中的乘号不能变成加号。
2.展开
题目：城西文具店有练习本2包，每包25本。又采购了同样的练习本4包，现在一共有多少本练习本？
（1）学生列式后计算：25×（2 4）或25×2 25×4。
（2）“2”表示什么？“4”表示什么？25×（2 4）这个算式中加号能否改成乘号？为什么？
引导学生明白：“2”表示“2包”，“4”表示“4包”，单位相同，可以相加。“2 4”表示一共有6包练习本；这里的加号不能变成乘号。
小结：2×4和2 4虽然只是一个小小的运算符号不同，但代表的是2和4之间完全不同的两种关系。“2×4”表示“2箱一共8包”，“2 4”表示“2包加上4包，一共有6包”。
（3）如果把25×（2 4）中的括号去掉，得到25×2 4，这里发生了什么变化？结合每个数表示的意义和数与数之间的关系进行解释。
小结：要正确解答这道题，括号不能去掉。
3.进一步讨论
（1）25×（2 4）要去掉括号应该写成什么？写一写并解释为什么。 （2）同样是去括号，为什么25×（2 4）=25×2 25×4中，“25”出现了两次，而2×（4×25）=2×4×25中，“25”只出现了一次？
（3）比较2×4×25和25×（2 4），每个数表示的意义是什么？2×4和2 4表示的意义相同吗？
4.归纳总结
（1）25×（2 4）=25×2 25×4算式的左右什么变了，什么没变？为什么可以这样变？
（2）用自己的话说说算式的特点，再用自己喜欢的符号表示出来。
（3）揭示概念：这个运算定律叫作“乘法分配律”。
……
两组探究材料的设计，注重数学材料内在的层次性和逻辑性，由学生已经掌握的乘法结合律的特点和内在意义引出乘法分配律，再将两种运算定律结合具体事例进行了解释和反复对比，最后在形式结构上进行比较。比起以往的教学，虽然没有过多地强调外在形式的简单记忆，但无论算式的外在形式怎样变化，学生的思维始终围绕运算的意义进行理解。
二、在理解中掌握内涵
很多学生能熟记公式，但不会灵活运用。因此，乘法分配律的教学既要注重外形结构，更要注重内涵本质：a×（b c）=a×b a×c中，为什么等式两边是相等的？
1.从解决问题的角度
根据以上问题情境可知，25×（2 4）是先求练习本的总包数，再求练习本的总本数；而25×2 25×4是分别求原来2包和又采购了4包的本数，再求总本数，因此得出25×（2 4）=25×2 25×4。
2.从乘法意义的角度
以25×（2 4）=25×2 25×4为例，左边表示6个25，右边表示2个25加4个25，一共是6个25，因此等式两边是相等的。
3.从数形结合的角度
如图1，求大长方形的面积，既可直接用“长×宽”，也可分别求出两个小长方形的面积后再相加，因此可得25×（2 4）=25×2 25×4。
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图1
4.从乘法竖式计算的角度
两位数乘两位数，如24×12，即求12个24是多少，等于10个24与2个24的和，列式为24×（10 2）=24×10 24×2=240 48=288。（如图2）
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图2
让学生思考：三位数乘两位数的竖式是不是也符合这个乘法分配律？如150×12，学生会顺着前面的思路，很快得出150×12就是求12个150是多少，就是等于10个150加上2个150，即150×12=150×10 150×2=1500 300=1800。这样，通过乘法竖式计算就能帮助学生有效巩固乘法分配律的算理和算法。
三、在多变中更易巩固
利用运算定律进行简单计算时，由于题目形式多样，学生出现计算错误是在所难免的，尤其是在学习乘法分配律之后，如何灵活使用运算定律，常常让许多学生苦恼。为此，引入“一题多解”题型，可以培养学生思维的靈活性。要注意的是，练习题要少而精，要富有思维含量，从而点燃学生思维的火花，达到巩固知识的目的。
题目：简便计算：25× 。你能将题目补充完整吗？
生1： 25×44=25×4×11=1100。
生2： 25×44=25×（40 4）=25×40 25×4=1000 100=1100。
生3： 25×99=25×（100-1）=25×100-25×1=2475。
生4： 25×102=25×（100 2）=25×100 25×2=2525。
生5：25×4 75×4=4×（25 75）=4×100=400。
生6：25×32×125=（25×4）×（8×125）=100×1000=100000。
生7：25×56 50×22
=25×56 （50÷2）×（22×2）
=25×56 25×44
=2500。
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不同的学生就有不同的补充方法。接着，要求学生给这些题分一分类，并说一说是根据什么分类的。
在这一环节中，不同层次的学生可以量力而为，即使是学困生也能写出一两题。由于题目是学生自己设计的，这使得他们在计算时更加投入，应用运算定律也更加仔细，教学效果显著。
四、在练习中拓展延伸
要让学生能够运用所学的知识解决实际问题。教师就需要对教材的内容进行再加工，从而加深学生对知识的理解，拓宽学生的思路，以培养学生的发散性思维。
1.初步拓展
出示：57×102-57×2。
引导： 57×102与57×2各表示什么意思？57×102-57×2又表示什么意思？ 100个57是怎样得到的？
这样，学生很快就明白此题怎样算才比较简便，很快就解答出来了。在此基础上教师可继续提问：“这一个题目与我们前面学的有什么不一样？你准备怎么办？”
学生在练习本上举例验证，并相互交流，最后提炼出a×b-a×c =a×（b-c）。
2.总结延伸
出示：79×67 79×31 79×2。
有了前面的基础，学生很快就发现a×m b×m c×m= （a b c） ×m。
引导：难道只限于三个数吗？四个数、五个数，或者更多呢？
学生纷纷动手尝试，通过激烈的讨论，得出了：
a×m b×m = （a b） ×m
a×m b×m c×m= （a b c） ×m
a×m b×m c×m d×m= （a b c d） ×m
……
通过这样的引申，学生在深刻理解乘法分配律内涵与外延的同时，感受到数学的无穷魅力，从而产生了浓厚的求知欲。
五、在坚持中培养习惯
学生在作业中常出现各种错误，如125×25×8×4=（125×8） （25×4）=1000 100=1100。学生看到红红的大叉后往往会说：“我为什么把‘×’写成了‘ ’呢？”
可见，要提高作业的正确率，良好的作业习惯是保障。教师除了要求学生认真审题、书写规范之外，还要培养学生在进行简算时，结合递等式“每一步都相等”的特点，一步一回头，每做一步都要思考变化的依据是什么，前后是否相等，这样做有没有道理，等等。通过这样的习惯培养，学生的解题思路以及自我审查、自我反思等能力都会得到不断提高。长此以往，不仅学生的学习习惯得到培养，学生思维的严谨性及逻辑性也会得到发展。
最后，“教无定法”，只要我们有心，一切问题都不是问题。我相信：教育从心开始！
（责编 金 铃）