摘 要:本文主要对Banach不动点理论进行研究,得到一个推广定理,并给出证明。
　　关键词:Banach空间 不动点 压缩映射
　　中图分类号:G642.3文献标识码:A 文章编号:1673-1875(2009)14-013-01
　　
　　对Banach压缩映射不动点定理,国内国外都有很多人进行推广,结果是极为繁多的。在本文中,对完备的度量空间中的元素进行n次迭代,进一步对Banach不动点定理进行推广,得到一个不动点定理,并给出证明。
　　定义设 是一度量空间,,存在使得对任意的,总有 ,则称 为压缩映射.
　　Banach不动点定理设是一个完备的度量空间, 是一个压缩映射,则 有唯一的不动点,即存在唯一的 ,
　　推广定理 设是完备的度量空间,, 不必连续,但满足以下条件:对任意的,总存在,使得当时,
　　这里 表示以x为中心以 为半径的实心球. 那么,当对 有时,序列收敛于F的不动点.
　　证明 记u的n次迭代为
　　先证是柯西列。给定,取N充分大,使当 时,
　　因为,由条件知: 成立.
　　因此,
　　用数学归纳法可证明对一切k≥0,
　　即对k≥0都成立,这表明是柯西列。
　　由于X是完备的,则存在 ,使,可证 是F的不动点。如若不然,则
　　我们可取,使得
　　由条件得 ,故
　　另一方面,由
　　可知
　　这个矛盾说明 ,即证毕。
　　例题:设A为从完备度量空间X到X中映射,若在开球
　　 内适合 ,又在A闭球 上连续,并且
　　求证:A在中有不动点.
　　证明 设 , ,则
　　任给,存在N,使,这样若 ,且,有
　　因此, 是柯西列,设 ,因为
　　因此,于是
　　因为A在上连续,则
　　即是A在中的不动点.
　　A的不动点不一定是唯一的. 例如X是离散的度量空间,A是X中的恒等映射,在开球 内只有 一点,自然满足条件 而,也满足
　　但中每一点皆为的不动点。
　　
　　参考文献:
　　[1]Rogers.Comparative to Different Definition of contractive mapping.Trans.Amer.Math.Soc.Vol,226,No.501
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　　[3]姜秉利,张敏,董立华.不动点原理及其应用[J].德州学院学报,2005,21:29-32
　　[4]张奠宙,顾鹤荣.不动点定理[M].沈阳:辽宁教育出版社,1989,116-117