“喝牛奶的数学问题”这一内容涉及的分数比较抽象，常作为数学爱好者研究的智力问题。人教版教材在五年级下册的“分数的加减法”单元中，增加了此内容作为解决问题的例题，具体题目为“一杯纯牛奶，乐乐喝了半杯后，觉得有些凉，就兑满了热水。又喝了半杯，就出去玩了。他一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？”教材的编排意图是“不仅紧密联系生活实际，更重要的是渗透用几何直观解决问题的策略”。从单元的整体编排来看，本课是“分数的加减法”单元中第三小节“分数加减混合运算”的例3，按常理来说，应该是运用分数加减的方法来解决问题。然而，这道题要求“一共喝多少杯纯牛奶”，表面看是用分数加减法来解决，但关键的一步“第二次喝了多少杯纯牛奶”却需要用到分数的意义，这也是本课的教学难点。在该阶段，学生在学习时只认识了完整的单位“1”，比如“年有（ ）个月”，对于本题所需解决的“杯的是多少”，单位“1”已发生转换，学生理解存在困难。由于学生还没学习分数乘法，无法用乘法计算来解决“杯纯牛奶的一半是多少”的问题，只能运用分数的意义推理出结论。基于以上思考，本课确定了借助几何直观助力推理生成的教学思路。
　　一、借助几何直观，加强画图指导
　　“几何直观是指借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力。”（史宁中）从中可以看出，几何直观与“图形”是密不可分的。在小学数学教学中，图形直观发挥着重要的作用，图形直观是以明确的几何图形为载体的几何直观。图形教给学生用直观图示描述问题的方法，是发展学生直观感受力的重要途径。在本课教学中，图形应成为解决问题的重要工具。
　　为了更好地了解学生关于画图策略的基础，笔者对五年级学生进行前测。题目如“一杯果汁，小明喝了一半，觉得有些甜，就兑满水。他又喝了半杯，就没再喝了。小明一共喝了多少杯果汁？多少杯水？”全班43人，按学生座位分成两组并完成问卷题目。A组要求“先画图，再解答”，B组“按自己喜欢的方法解决问题”。大概用时10分钟，学生独立完成，当场收取，结果不做反馈。
　　前测结果表明，学生的自觉运用画图策略解决问题的意识比较淡薄。但在根据要求用画图策略解决问题的答题过程中，只有少数几位同学能比较准确地用图表达出题目意思，部分学生只是为画图而画图，达不到辅助理解题意解决问题的目的，甚至正确率还低于不画图的B组。从前测可以看出，无论是学生的画图意识，还是画图能力，都有待提高。
　　基于调研的情况，在教学时，教师可在画图环节留足时间，不走过场。教师引导学生通过“阅读与理解”明白题目意思，然后出示要求：1. 请画图表示题目意思。（搭配简单文字可使思路明晰）2. 请列式解决问题。3. 结合图与你的同桌讲講你的思路。
　　学生自主画图时，教师巡视及时发现不同想法的学生作品，收集用作集体评析（图1）。展评学生作品时，应请学生清晰地表达出自己的思维过程，教师引导学生进行追问，作为进一步开展教学的资源。
　　此题的情境较为生活化，画图是一个“去情境化”的过程，能够直观呈现数量关系，帮助学生理解数学问题，有助于推理的顺利开展。而当学生还不善于画图解决问题时，教师应重视指导，帮助学生认识到借助画图可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果，从而积累相关的数学活动经验。
　　二、重视语言转换，理解推理过程
　　这里的语言转换，指生活语言与数学语言的转换，以及数学语言内部的转换。本题以生活情境出示，充满浓浓的生活味，教师在“阅读与理解”环节可以引导学生理解“兑”“一半”等字词在数学方面的含义。比如“兑”是为了让加水后的牛奶更均匀，避免引导学生研究数学问题时产生的无谓争议，而一半刚好可以用分数“”来表示。虽然话语不多，但可以帮助学生实现生活语言与数学语言的转换，让学生感受到生活中处处有数学。
　　然而，解决本问题更重要的是要帮助学生实现数学语言的内部转换。数学语言不仅是数学思维的工具和载体，它还可以促进、深化数学思维。从某种意义上说，小学数学教学就是“数学语言的教学”。数学语言，可分为文字语言、符号语言、图表语言。文字语言源于自然语言，是用来描述其他几种语言的表述形式，直接但信息分散，适于学生在各种语言情境中展开联想；符号语言源于文字语言，具有形式化但抽象的特点；图形语言是指利用图形图表进行描述的语言方式，直观、形象且有助于学生拓宽思维。在本课的教学中，图形直观发挥了关键的作用，但引导学生实现三种语言的转换也是教学的一大着力点。
　　从以上过程可以看出，引导学生建立不同数学语言的对应关系，是进行数学语言转换的重要条件。教学中既要引导学生对相同数学内容善于用不同数学语言进行表示，又要引导学生对数学的文字语言、图表语言、符号语言进行相互转换，以帮助学生理解不同语言内在的逻辑联系和语言自身的数学意义，在语言的转换过程中培养推理能力。
　　三、落实回顾反思，实现推理发展
　　人教版新教材倡导的“解题三步骤”，在高年级为“阅读与理解”“分析与解答”“回顾与反思”，这对培养学生的解决问题策略意识有很大的促进作用。但在实际教学中，前两个环节相对得到重视，而第三个环节“回顾与反思”，往往成了机动环节随意处理。这显然不利于学生形成较为稳定的策略意识，属于教学的短视行为。在本课的教学中，教师要重视“回顾与反思”环节，通过引导学生回顾解决问题的过程。
　　【教学片段】
　　师：结论到底对不对？可以怎样检验？（学生小组交流后汇报）
　　生：可以从剩下的半杯兑过水的牛奶考虑，剩下的杯中有一半的纯牛奶和一半的水，所以剩下的纯牛奶是杯，所以喝了杯纯牛奶是正确的。
　　生：可以把两次喝的纯牛奶和最后剩下的纯牛奶加起来，刚好是一杯纯牛奶。所以我们的结论是正确的。
　　生：每次喝的半杯中都是剩下纯牛奶的一半，第一次喝的是整杯纯牛奶的一半，第二次喝的是剩下半杯纯牛奶的一半。
　　师：如果重复进行“兑满热水再喝一半”的动作，那么会是什么情况呢？比如第三次、第四次……分别喝多少牛奶，剩下多少牛奶？
　　出示前两次的结果整理，引导学生根据前面探究的数据进行思考（表1）。
　　师：假设不断地重复这样的过程，会是什么结果？
　　生：牛奶永远喝不完，这太奇怪了。
　　师：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”《庄子·天下篇》中有类似这种现象的记载，我们的老祖宗早就有相关的研究。
　　这个片段中，教师引导学生通过“回顾与反思”，有意识地培养学生逐步完善解决问题的思维过程，能使学生进一步体会借助几何直观分析数量关系的优势，找出解决问题的思路和方法，同时也为后面理解分数乘法的意义、解决问题积累一定的方法和经验。整理表格属于拓展练习，有了这个表格作支架，借助图形直观支撑的思维就可以逐步过渡到推理层次的思维，从而实现推理能力的发展。从培养推理能力的角度来看，在“分析与解答”环节，实现三种数学语言转换推理出结果，属于合情推理；而“回顾与反思”，引导学生从不同角度证明结论的正确性，虽然推理过程仍不够严密，但已初步体验演绎推理的运用了。
　　（作者单位：福建省厦门实验小学）