论文部分内容阅读
摘要："用二分法求函数零点近似解"这节课前后知识点联系紧密，易于对学生学习前后知识点掌握情况进行教学测量。统计分析出的结果具有一定代表性，得到的方法和结论可普遍应用到高中数学教学中去。本次教学测量与统计分析，为教师的教学工作做了一个实践，具有参考价值，让教师的理论水平和教学实践水平得到提高，为今后教学做了系统研究，为教师今后处理教材及授课提供了理论依据和方法指导。
关键词：函数零点；二分法；教学测量；统计分析
【中图分类号】G633.6
1.研究此问题的方法
针对本节课设计难度适当的题目作为前测和后测。首先通过前测小卷，对学生所需预备知识的掌握情况进行研究，为拟定教学计划做铺垫。接着研究教材内容及知识点编写顺序，进行教育教学。然后通过后测小卷作为反馈进行统计与分析，研究教师教学过程、学生学习心理及学习能力。最后，得出结果撰写论文。
2.为何使用二分法求函数零点近似值
若函数是高次的，求不出方程根不好因式分解又画不出图像怎么办？有人想到往函数里代数，一直代到函数值为零，此时所代数值就是函数的零点。可这样一来计算量就太大了，因为在有限的区间内，实数的个数是无限的。若恰巧试出函数值为零的x值，自然好，可要倒霉的话，也许几天几夜也试不出函数值为零的x值。所以要引入二分法。二分法可快速缩短区间长度，更快逼近零点所在的范围，从而快速找到零点近似值。用二分法求函数零点近似值十分快捷，计算量大大降低，计算效率大大提高。
3.进行课前小测
课前给学生出几道求函数零点的题，检测学生做题情况。通过前测发现同学们不理解用二分法求函数零点近似值的原理，所以求零点时，都一味用公式求根或用图象求交点横坐标，硬算硬求。遇到高次方程时，同学们不知道求根公式也不知道如何因式分解，都束手无策。说明同学们对之前所学内容掌握良好，可对二分法的内容感到很陌生，不懂用二分法求函数零点近似解的原理，甚至不知道为什么要求近似解。这些都说明二分法的教学是很必要的。
4.教学实践
观察四个函数图象，说出各自零点。学生回答既快又准为二分法学习做好了准备。
第一个函数图象经过x轴时，函数值符号发生了变化，由负到正、由正到负、由负到正。即在零点左右两端，函数值符号相反。这样的零点叫变号零点。第二个函数图象经过x轴时，函数值符号没有发生变化，都为正。即在零点左右两端，函数值符号相同。这样的零点叫不变号零点。
现在学个定理：如果函数y=f（x）在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两端点处的函数值异号，即f（a）f（b）<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即在区间[a，b]上存在一点x，使得f（x）=0。此定理是用二分法求函数零点近似解的原理，要深刻掌握。
定理讲解重点在：是a到b的闭区间，不是开区间；图象是不间断的，也就是连续不断的，没有断点；函数值异号，从负到正或从正到负都行，只要保证一负一正；至少有一个，指最少能找到1个，也可能多于1个。
学了这个重要定理，下面就学习本节课的精髓--二分法。
例：求函数f（x）=x3+x2-2x-2的一个正实数零点（精确到0.1）
题中求高次函数零点得先找到一个闭区间，且保证在其端点函数值异号。在确定闭区间时需注意，尽量让区间端点取整数，区间长度尽可能短。要求正实数零点，得在正半轴上找，即闭区间两个端点都要为正。分析到这，大家想想怎样确定这个闭区间？最简单的做法是往里面代数，只要代出一负一正就行。代1进去f（1）<0代2进去f（2）>0正好一负一正，端点函数值异号，故找到[1，2]。
找到[1，2]后，就要在闭区间上找正实数零点。在[1，2]里找实数往式子里代，只要带进去后式子等于零，零点就找到了，就是代入的那个数。但在[1，2]上，虽然区间长度很短，只有一个单位，可就是这一个单位的区间长度，却包含了大量的实数，像1.1，1.2，1.01，1.001等等不计其数。若恰巧试出函数值等于零的x值，自然好，但要倒霉的话，可能几天几夜也试不出函数值等于零的x值。
所以引入一种新的方法--二分法。所谓二分法，通俗点说就是一分为二的方法，即把区间长度一分为二，取中点的方法。代中点进去，若函数值恰好等于零，就成功找到了零点，若函数值不等于零，接下来确定零点在前半个区间内还是后半个区间内，这样把区间缩短了一半，再在小区间里继续用二分法找零点。这样一来就十分快捷，计算量大大降低，计算效率大大提高。二分法可快速缩短区间长度，更快逼近零点所在范围，从而快速找到零点近似值。
现在就用二分法求零点。
取[1，2]的中点1.5，求f（1.5）的值，f（1.5）=1.53+1.52-2×1.5-2=0.625>0f（x）≠0接下来判断零点在[1，1.5]内还是在[1.5，2]内，f（1）=-2<0f（1.5）=0.625>0一负一正，异号，零点在[1，1.5]内，区间缩短了一半，接下来在[1，1.5]内找零点。同理，取[1，1.5]中点1.25，f（1.25）<0，f（1.25）≠0f（1.25）<0f（1.5）>0异号，零点在[1.25，1.5]内。取[1.25，1.5]中点1.375，f（1.375）<0，f（1.375）≠0f（1.375）<0f（1.5）>0异号，零点在[1.375，1.5]内。取[1.375，1.5]中点1.4375，f（1.4375）>0f（1.375）<0f（1.4375）>0异号，零点在[1.375，1.4375]内。
算到什么时候结束？本题要求精确到0.1，当闭区间两个端点精确到0.1时相等，即左端点等于右端点时，就可停止了，这个数就是函数零点近似值。1.375精确到0.1是1.4，1.4375精确到0.1是1.4，故1.4就是所求零点近似值。
最后想想，用本定理求得的零点属于什么类型？在闭区间两端点处函数值异号，f（a）f（b）<0，是变号零点，故用本定理求出的都是变号零点。
5.进行课后小测
同学们能很好完成检测小卷中的基本题型，但对于较难题目，像含字母参数的题，还不是特别熟练，不知道如何带入，不明白字母也能做区间端点，说明同学们还需多做练习来巩固所学二分法知识，从而提高自身研究问题的能力。
关键词：函数零点；二分法；教学测量；统计分析
【中图分类号】G633.6
1.研究此问题的方法
针对本节课设计难度适当的题目作为前测和后测。首先通过前测小卷，对学生所需预备知识的掌握情况进行研究，为拟定教学计划做铺垫。接着研究教材内容及知识点编写顺序，进行教育教学。然后通过后测小卷作为反馈进行统计与分析，研究教师教学过程、学生学习心理及学习能力。最后，得出结果撰写论文。
2.为何使用二分法求函数零点近似值
若函数是高次的，求不出方程根不好因式分解又画不出图像怎么办？有人想到往函数里代数，一直代到函数值为零，此时所代数值就是函数的零点。可这样一来计算量就太大了，因为在有限的区间内，实数的个数是无限的。若恰巧试出函数值为零的x值，自然好，可要倒霉的话，也许几天几夜也试不出函数值为零的x值。所以要引入二分法。二分法可快速缩短区间长度，更快逼近零点所在的范围，从而快速找到零点近似值。用二分法求函数零点近似值十分快捷，计算量大大降低，计算效率大大提高。
3.进行课前小测
课前给学生出几道求函数零点的题，检测学生做题情况。通过前测发现同学们不理解用二分法求函数零点近似值的原理，所以求零点时，都一味用公式求根或用图象求交点横坐标，硬算硬求。遇到高次方程时，同学们不知道求根公式也不知道如何因式分解，都束手无策。说明同学们对之前所学内容掌握良好，可对二分法的内容感到很陌生，不懂用二分法求函数零点近似解的原理，甚至不知道为什么要求近似解。这些都说明二分法的教学是很必要的。
4.教学实践
观察四个函数图象，说出各自零点。学生回答既快又准为二分法学习做好了准备。
第一个函数图象经过x轴时，函数值符号发生了变化，由负到正、由正到负、由负到正。即在零点左右两端，函数值符号相反。这样的零点叫变号零点。第二个函数图象经过x轴时，函数值符号没有发生变化，都为正。即在零点左右两端，函数值符号相同。这样的零点叫不变号零点。
现在学个定理：如果函数y=f（x）在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两端点处的函数值异号，即f（a）f（b）<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即在区间[a，b]上存在一点x，使得f（x）=0。此定理是用二分法求函数零点近似解的原理，要深刻掌握。
定理讲解重点在：是a到b的闭区间，不是开区间；图象是不间断的，也就是连续不断的，没有断点；函数值异号，从负到正或从正到负都行，只要保证一负一正；至少有一个，指最少能找到1个，也可能多于1个。
学了这个重要定理，下面就学习本节课的精髓--二分法。
例：求函数f（x）=x3+x2-2x-2的一个正实数零点（精确到0.1）
题中求高次函数零点得先找到一个闭区间，且保证在其端点函数值异号。在确定闭区间时需注意，尽量让区间端点取整数，区间长度尽可能短。要求正实数零点，得在正半轴上找，即闭区间两个端点都要为正。分析到这，大家想想怎样确定这个闭区间？最简单的做法是往里面代数，只要代出一负一正就行。代1进去f（1）<0代2进去f（2）>0正好一负一正，端点函数值异号，故找到[1，2]。
找到[1，2]后，就要在闭区间上找正实数零点。在[1，2]里找实数往式子里代，只要带进去后式子等于零，零点就找到了，就是代入的那个数。但在[1，2]上，虽然区间长度很短，只有一个单位，可就是这一个单位的区间长度，却包含了大量的实数，像1.1，1.2，1.01，1.001等等不计其数。若恰巧试出函数值等于零的x值，自然好，但要倒霉的话，可能几天几夜也试不出函数值等于零的x值。
所以引入一种新的方法--二分法。所谓二分法，通俗点说就是一分为二的方法，即把区间长度一分为二，取中点的方法。代中点进去，若函数值恰好等于零，就成功找到了零点，若函数值不等于零，接下来确定零点在前半个区间内还是后半个区间内，这样把区间缩短了一半，再在小区间里继续用二分法找零点。这样一来就十分快捷，计算量大大降低，计算效率大大提高。二分法可快速缩短区间长度，更快逼近零点所在范围，从而快速找到零点近似值。
现在就用二分法求零点。
取[1，2]的中点1.5，求f（1.5）的值，f（1.5）=1.53+1.52-2×1.5-2=0.625>0f（x）≠0接下来判断零点在[1，1.5]内还是在[1.5，2]内，f（1）=-2<0f（1.5）=0.625>0一负一正，异号，零点在[1，1.5]内，区间缩短了一半，接下来在[1，1.5]内找零点。同理，取[1，1.5]中点1.25，f（1.25）<0，f（1.25）≠0f（1.25）<0f（1.5）>0异号，零点在[1.25，1.5]内。取[1.25，1.5]中点1.375，f（1.375）<0，f（1.375）≠0f（1.375）<0f（1.5）>0异号，零点在[1.375，1.5]内。取[1.375，1.5]中点1.4375，f（1.4375）>0f（1.375）<0f（1.4375）>0异号，零点在[1.375，1.4375]内。
算到什么时候结束？本题要求精确到0.1，当闭区间两个端点精确到0.1时相等，即左端点等于右端点时，就可停止了，这个数就是函数零点近似值。1.375精确到0.1是1.4，1.4375精确到0.1是1.4，故1.4就是所求零点近似值。
最后想想，用本定理求得的零点属于什么类型？在闭区间两端点处函数值异号，f（a）f（b）<0，是变号零点，故用本定理求出的都是变号零点。
5.进行课后小测
同学们能很好完成检测小卷中的基本题型，但对于较难题目，像含字母参数的题，还不是特别熟练，不知道如何带入，不明白字母也能做区间端点，说明同学们还需多做练习来巩固所学二分法知识，从而提高自身研究问题的能力。