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【摘要】本文分析了高等数学教学的现状,阐述了高等数学教学中融入数学史的目的、意义、原则,提出了一种从数学史角度讲授高等数学的思路。
【关键词】数学史 现状及原因 目的 意义 原则 数学史角度
【中图分类号】C42 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)08-0008-02
1998年美国全国数学教师委员会在华盛顿召开“数学史在数学教学中的应用”的专题会议,提出要改变当前把数学讲成“静止的、一元的、现成的、无误的、永不变化”的学问,需要数学史与数学教育有机结合。他们认为数学教育课如果缺乏历史的观点,那么教育本身就失去了教育价值。如果在数学教学中融入数学史,从而揭示抽象的数学概念和方法的“庐山真面目”,便于学生对数学知识的理解,同时避免他们在学习的过程中走弯路。
1 高等数学教学的现状
诚如上述,现在的高等数学教学是现成的,不变化的,一直按照固定的教学过程“概念－定理－证明－例题－练习”五部曲的讲授模式来进行。对于刚从中学升到大学的大学生来说,从习惯的常量数学到全新的变量数学,这一深刻变化,需要迅速转变思维方式,理解掌握大量的概念和方法,而对于大多数缺乏思想准备的学生来说,只能疲于应付,导致出现了一些不如人意的状况:(1)学生对高等数学难以适应,逐渐失去了学习的兴趣和热情,部分学生甚至产生恐惧的心理;(2)课堂不活跃,气氛冷漠,对于教师提出的问题,几乎无人主动回答;(3)学生在学习中,只能把对数学知识的学习变成对基本概念、定理的死记硬背和生搬硬套。
当前高等数学的教学中出现的上述问题,究其原因,主要是:
(1)在应试教育的影响下,高等数学的教学偏重于数学的实用功能而忽视了高等数学的文化功能。教学中,极少运用数学史来启发和培养学生的思维能力,忽视了数学史对数学教育的价值,造成了数学史与数学教育的脱节。
(2)高等数学教材的局限。现行的教材既不是按照历史发展的顺序来讲,也不是按照难易程度来讲,而是按照逻辑的演绎编排的,例如,历史上先有积分,再是微分,后来发展了极限的概念,而教材是以极限为预备知识来讲微积分的,把难点提前,这样容易使学生产生困惑和误解。
(3)数学教师缺乏系统的数学史学习,对高等数学整体把握不够,导致了自身对概念和概念间的相互关系理解不透彻。
2 高等数学课程中融入数学史的意义
老一辈数学家徐利治说过,在数学教育中,应该帮助学生理解数学对象的现实意义,并从中锻炼如何从现实世界提炼数学对象的能力。高等数学课程中融入数学史知识能够帮助学生理解高等数学中概念的现实意义,掌握数学的精神、思想和方法,使他们具有一定的数学思维能力,善于运用所学知识分析和解决各种实际问题,提高数学修养。
数学史属于数学文化的范畴,在数学课堂上传授数学文化,这是教学的一种功能,故融入数学史在情理之中。
莱布尼兹说过:“没有什么比看到发明的源泉更重要的了,这比发明本身更有意义。”我们的教学应该是体现高等数学演化和发展的过程,这对学生更有启迪意义,可以使学生学到活生生的创造方法,有利于解决他们将要遇到的新问题。实践表明,融入数学史对调动大学生学习数学的自主行为、更好的理解数学,激发学习兴趣和培养人文素质有积极的意义。
3 高等数学教学中融入数学史的原则
第一,科学性和正确性的原则。这里指的是介绍数学史知识要本着实事求是的态度,选材准确有据,不可夸张;科学有效的组织教学体系与内容,合理的制定教学计划。
第二,因材施教的原则。这里因材施教指的是针对新形势下学生的不同层次、不同专业的特点,组织教学体系和内容,在与之相关的数学知识点切入恰当的数学史知识。
第三,密切结合课本的原则。融入数学史,不应偏离课本,必须与教学目的要求保持一致,进行整体规划安排,做到有机结合,避免“喧宾夺主”。
第四,趣味性原则。数学本身是多姿多彩的,教学中应把数学讲的具有“人情味”,感染和启发学生,激发学习兴趣。
4 高等数学教学中融入数学史的一种思路
近年来,人们一致认为数学教学应该是揭示“知识发生过程”的教学,学生从中看到的是“原汁原味”的数学思维过程,真正理解了抽象的形式化推理体系背后所包含的丰富内涵。
一种揭示“知识发生过程”的思路是充分利用数学史所提供的生动素材,从中获得启发。美国著名数学史家M.克莱因坚信历史顺序是教学的指南,即从数学史角度讲解数学和组织数学教学体系和内容。这种教学思路的前提是讲授高等数学之初不对极限进行定义,而是描述性的定义,如“无限接近某一常数”这样的通俗语言。教学实践中,教师依据所讲内容结合有关数学史讲授。
(1)运用历史上出现过的实际问题或数学史知识来引入课题,并运用数学家原有的朴素想法或方法来解决相对简单的问题。它的基本过程是:
“数学史上出现的实际问题＋数学家原有的朴素想法或方法＋教学内容”
例如,关于积分的教学。积分的思想源于复杂图形的面积体积计算,故先提出一个求面积的实际问题:求由抛物线y=x2在[0,1]上所作成的曲边三角形的面积,这也是数学史上的问题,无法用初等方法求得。先回顾阿基米德用“穷竭法”解决圆的面积计算问题,他利用圆的内接正多边形和外切正多边形来推算,边数越多,圆和多边形就越接近。从圆心到多边形顶点的半径把多边形分成一个个三角形,也把圆分成一个个扇形,多边形的边数越多,三角形就越接近扇形,三角形的面积便近似与扇形的面积,各个三角形面积之和就近似于圆的面积,而且随着边数的增多,这种近似就越来越精确。阿基米德从最简单的6边形一直做到96边形,通过复杂的几何和不等式的方法,得到圆周率π是与之间,最早计算出了圆的面积。这样一个过程中,学生体会了“无限细分,无限求和”的微积分思想。接下来讲,计算面积其他的新方法,从修改穷竭法开始。回到开始提出的问题,穷竭法对于不同的曲线形面积,用不同的曲线去逼近,17世纪的数学家采用矩形去逼近。按下面的步骤来做:先把区间[0,1]三等分,算出抛物线下两个矩形的面积,记为S1,再把区间[0,1]四等分,抛物线下三个矩形的面积之和记为S2,继续这种做法,把区间[0,1]分成n等分,作出n-1个矩形,把它们的面积相加,面积和记为Sn,那么,如果n相当大,Sn就更精确接近所求图形的面积S,时,和就无限变小而接近与零,从而Sn就接近定数或者说极限是(17世纪极限过程还没有提出,当时的数学家是这样设想的)。最后,我们比较穷竭法与上述方法的异同:两种方法都是用直线形逼近曲线形,但在最后的步骤中存在重要差别,穷竭法用到间接证明的地方,而上述方法有直接取极限的思想,从而我们很自然的引出定积分的基本概念。
关于微积分基本定理的教学。莱布尼兹当时考虑的一个问题是:给定一条曲线,其纵坐标为y,求该曲线下的面积。接下来再看莱布尼兹最初解决的方法。他假设可以求出一条曲线,其纵坐标为z,使得
,即
这里意即z是y的一个原函数。于是原来曲线下的面积是:。假设曲线通过原点,莱布尼兹认识到这是将求积问题转化为求切线的问题,即:为了求出一条纵坐标为y的曲线下的面积,只需求出一条纵坐标为z的曲线,使其切线的斜率是。如果是在区间[a,b]上,由[0,b]上的面积减去[0,a]上的面积,便得到。这样一个论证是普遍的,于是得到了微积分基本定理:
其中F(x)是f(x)的一个原函数。
(2)引入概念时,介绍其产生的时代背景和历史演变。
今天学生理解上的困惑,也是历史上思想困惑的“重演”,认清知识的源和历史的演变是非常有启发意义的。例如,关于微分和积分教学。微积分是数学史上的伟大创造,是由牛顿和莱布尼兹创立的,微积分的创立的思想来源于古希腊的求积术,但直接动力却源于当时的社会生产实践的需求,如:求瞬时速度;光的折射和反射的角度,需要求出光线在入射点的切线或法线;行星离开太阳的最短和最远的距离(函数的最大值和最小值问题);行星在已知时间内移动的距离(求曲线的长)等,正是这些问题的探讨导致了微积分的产生。微积分创立之初,没有严密的定义其基本概念,引起许多人的批评,如无穷小被牛顿和莱布尼兹认为它有时为零,可以忽略不计,有时又不为零,受到英国大主教贝克莱的攻击,认为无穷小是“幽灵”,其后欧拉和拉格朗日等数学家试图建立微积分的基础,作出了一定的贡献,但都没有成功,在微积分创立150年后,才由波尔查诺、柯西、维尔斯特拉斯进行了分析严密化的工作,建立了微积分的基础。
(3)介绍有关内容的有关情节和数学家的故事。
有趣的情节会自然而然的印入脑海,数学家的故事使高等数学“人情味”实足,如刘徽、祖冲之、牛顿、莱布尼兹的故事能有效的激发学生学习的兴趣。
探讨将数学史与高等数学教学有机结合,有许多现实的问题,如,现有的教材需要从新编排,课程内容的具体安排,怎样进行考核评估,如何兼顾有限的课时和增加的内容,这需要大学数学教师在实践中不断探索,逐步完善。
参考文献
[1] 徐利治论数学方法学[M].山东:山东教育出版社,2000,663-673.
[2] 陈跃.从历史的角度来讲微积分[J].高等数学研究.第八卷第六期:47-50.
[3] M.克莱因,朱学贤等译.[M]上海:上海科技出版社.2002,49-50,59-60.
[4] 李文林.数学史概论(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2002,168-170.思想人员.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键词】数学史 现状及原因 目的 意义 原则 数学史角度
【中图分类号】C42 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)08-0008-02
1998年美国全国数学教师委员会在华盛顿召开“数学史在数学教学中的应用”的专题会议,提出要改变当前把数学讲成“静止的、一元的、现成的、无误的、永不变化”的学问,需要数学史与数学教育有机结合。他们认为数学教育课如果缺乏历史的观点,那么教育本身就失去了教育价值。如果在数学教学中融入数学史,从而揭示抽象的数学概念和方法的“庐山真面目”,便于学生对数学知识的理解,同时避免他们在学习的过程中走弯路。
1 高等数学教学的现状
诚如上述,现在的高等数学教学是现成的,不变化的,一直按照固定的教学过程“概念－定理－证明－例题－练习”五部曲的讲授模式来进行。对于刚从中学升到大学的大学生来说,从习惯的常量数学到全新的变量数学,这一深刻变化,需要迅速转变思维方式,理解掌握大量的概念和方法,而对于大多数缺乏思想准备的学生来说,只能疲于应付,导致出现了一些不如人意的状况:(1)学生对高等数学难以适应,逐渐失去了学习的兴趣和热情,部分学生甚至产生恐惧的心理;(2)课堂不活跃,气氛冷漠,对于教师提出的问题,几乎无人主动回答;(3)学生在学习中,只能把对数学知识的学习变成对基本概念、定理的死记硬背和生搬硬套。
当前高等数学的教学中出现的上述问题,究其原因,主要是:
(1)在应试教育的影响下,高等数学的教学偏重于数学的实用功能而忽视了高等数学的文化功能。教学中,极少运用数学史来启发和培养学生的思维能力,忽视了数学史对数学教育的价值,造成了数学史与数学教育的脱节。
(2)高等数学教材的局限。现行的教材既不是按照历史发展的顺序来讲,也不是按照难易程度来讲,而是按照逻辑的演绎编排的,例如,历史上先有积分,再是微分,后来发展了极限的概念,而教材是以极限为预备知识来讲微积分的,把难点提前,这样容易使学生产生困惑和误解。
(3)数学教师缺乏系统的数学史学习,对高等数学整体把握不够,导致了自身对概念和概念间的相互关系理解不透彻。
2 高等数学课程中融入数学史的意义
老一辈数学家徐利治说过,在数学教育中,应该帮助学生理解数学对象的现实意义,并从中锻炼如何从现实世界提炼数学对象的能力。高等数学课程中融入数学史知识能够帮助学生理解高等数学中概念的现实意义,掌握数学的精神、思想和方法,使他们具有一定的数学思维能力,善于运用所学知识分析和解决各种实际问题,提高数学修养。
数学史属于数学文化的范畴,在数学课堂上传授数学文化,这是教学的一种功能,故融入数学史在情理之中。
莱布尼兹说过:“没有什么比看到发明的源泉更重要的了,这比发明本身更有意义。”我们的教学应该是体现高等数学演化和发展的过程,这对学生更有启迪意义,可以使学生学到活生生的创造方法,有利于解决他们将要遇到的新问题。实践表明,融入数学史对调动大学生学习数学的自主行为、更好的理解数学,激发学习兴趣和培养人文素质有积极的意义。
3 高等数学教学中融入数学史的原则
第一,科学性和正确性的原则。这里指的是介绍数学史知识要本着实事求是的态度,选材准确有据,不可夸张;科学有效的组织教学体系与内容,合理的制定教学计划。
第二,因材施教的原则。这里因材施教指的是针对新形势下学生的不同层次、不同专业的特点,组织教学体系和内容,在与之相关的数学知识点切入恰当的数学史知识。
第三,密切结合课本的原则。融入数学史,不应偏离课本,必须与教学目的要求保持一致,进行整体规划安排,做到有机结合,避免“喧宾夺主”。
第四,趣味性原则。数学本身是多姿多彩的,教学中应把数学讲的具有“人情味”,感染和启发学生,激发学习兴趣。
4 高等数学教学中融入数学史的一种思路
近年来,人们一致认为数学教学应该是揭示“知识发生过程”的教学,学生从中看到的是“原汁原味”的数学思维过程,真正理解了抽象的形式化推理体系背后所包含的丰富内涵。
一种揭示“知识发生过程”的思路是充分利用数学史所提供的生动素材,从中获得启发。美国著名数学史家M.克莱因坚信历史顺序是教学的指南,即从数学史角度讲解数学和组织数学教学体系和内容。这种教学思路的前提是讲授高等数学之初不对极限进行定义,而是描述性的定义,如“无限接近某一常数”这样的通俗语言。教学实践中,教师依据所讲内容结合有关数学史讲授。
(1)运用历史上出现过的实际问题或数学史知识来引入课题,并运用数学家原有的朴素想法或方法来解决相对简单的问题。它的基本过程是:
“数学史上出现的实际问题＋数学家原有的朴素想法或方法＋教学内容”
例如,关于积分的教学。积分的思想源于复杂图形的面积体积计算,故先提出一个求面积的实际问题:求由抛物线y=x2在[0,1]上所作成的曲边三角形的面积,这也是数学史上的问题,无法用初等方法求得。先回顾阿基米德用“穷竭法”解决圆的面积计算问题,他利用圆的内接正多边形和外切正多边形来推算,边数越多,圆和多边形就越接近。从圆心到多边形顶点的半径把多边形分成一个个三角形,也把圆分成一个个扇形,多边形的边数越多,三角形就越接近扇形,三角形的面积便近似与扇形的面积,各个三角形面积之和就近似于圆的面积,而且随着边数的增多,这种近似就越来越精确。阿基米德从最简单的6边形一直做到96边形,通过复杂的几何和不等式的方法,得到圆周率π是与之间,最早计算出了圆的面积。这样一个过程中,学生体会了“无限细分,无限求和”的微积分思想。接下来讲,计算面积其他的新方法,从修改穷竭法开始。回到开始提出的问题,穷竭法对于不同的曲线形面积,用不同的曲线去逼近,17世纪的数学家采用矩形去逼近。按下面的步骤来做:先把区间[0,1]三等分,算出抛物线下两个矩形的面积,记为S1,再把区间[0,1]四等分,抛物线下三个矩形的面积之和记为S2,继续这种做法,把区间[0,1]分成n等分,作出n-1个矩形,把它们的面积相加,面积和记为Sn,那么,如果n相当大,Sn就更精确接近所求图形的面积S,时,和就无限变小而接近与零,从而Sn就接近定数或者说极限是(17世纪极限过程还没有提出,当时的数学家是这样设想的)。最后,我们比较穷竭法与上述方法的异同:两种方法都是用直线形逼近曲线形,但在最后的步骤中存在重要差别,穷竭法用到间接证明的地方,而上述方法有直接取极限的思想,从而我们很自然的引出定积分的基本概念。
关于微积分基本定理的教学。莱布尼兹当时考虑的一个问题是:给定一条曲线,其纵坐标为y,求该曲线下的面积。接下来再看莱布尼兹最初解决的方法。他假设可以求出一条曲线,其纵坐标为z,使得
,即
这里意即z是y的一个原函数。于是原来曲线下的面积是:。假设曲线通过原点,莱布尼兹认识到这是将求积问题转化为求切线的问题,即:为了求出一条纵坐标为y的曲线下的面积,只需求出一条纵坐标为z的曲线,使其切线的斜率是。如果是在区间[a,b]上,由[0,b]上的面积减去[0,a]上的面积,便得到。这样一个论证是普遍的,于是得到了微积分基本定理:
其中F(x)是f(x)的一个原函数。
(2)引入概念时,介绍其产生的时代背景和历史演变。
今天学生理解上的困惑,也是历史上思想困惑的“重演”,认清知识的源和历史的演变是非常有启发意义的。例如,关于微分和积分教学。微积分是数学史上的伟大创造,是由牛顿和莱布尼兹创立的,微积分的创立的思想来源于古希腊的求积术,但直接动力却源于当时的社会生产实践的需求,如:求瞬时速度;光的折射和反射的角度,需要求出光线在入射点的切线或法线;行星离开太阳的最短和最远的距离(函数的最大值和最小值问题);行星在已知时间内移动的距离(求曲线的长)等,正是这些问题的探讨导致了微积分的产生。微积分创立之初,没有严密的定义其基本概念,引起许多人的批评,如无穷小被牛顿和莱布尼兹认为它有时为零,可以忽略不计,有时又不为零,受到英国大主教贝克莱的攻击,认为无穷小是“幽灵”,其后欧拉和拉格朗日等数学家试图建立微积分的基础,作出了一定的贡献,但都没有成功,在微积分创立150年后,才由波尔查诺、柯西、维尔斯特拉斯进行了分析严密化的工作,建立了微积分的基础。
(3)介绍有关内容的有关情节和数学家的故事。
有趣的情节会自然而然的印入脑海,数学家的故事使高等数学“人情味”实足,如刘徽、祖冲之、牛顿、莱布尼兹的故事能有效的激发学生学习的兴趣。
探讨将数学史与高等数学教学有机结合,有许多现实的问题,如,现有的教材需要从新编排,课程内容的具体安排,怎样进行考核评估,如何兼顾有限的课时和增加的内容,这需要大学数学教师在实践中不断探索,逐步完善。
参考文献
[1] 徐利治论数学方法学[M].山东:山东教育出版社,2000,663-673.
[2] 陈跃.从历史的角度来讲微积分[J].高等数学研究.第八卷第六期:47-50.
[3] M.克莱因,朱学贤等译.[M]上海:上海科技出版社.2002,49-50,59-60.
[4] 李文林.数学史概论(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2002,168-170.思想人员.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”