内容摘要:本文运用定性分析和分支的方法,研究了一类 系统在 条件下的全部奇点的性态,然后利用 分岔的理论证明了极限环的存在唯一性。
　　关键词:分支 极限环 全局结构
　　
　　1、引言
　　陈文登于1994年在文献[1]中对如下的系统：
　　 （1）
　　在 时进行了定性分析,得出系统(1)存在周期解的充分条件．本文主要研究当 时即考虑了如下微分系统
　　（2）
　　其中 .
　　容易验证,系统(2)在有限平面内有且只有一个奇点 .下面来具体判定系统(2)的奇点 的类型.
　　定理1：若 , ,则 为一阶稳定(不稳定)焦点量;若 ,则 为中心.
　　 证明：当 时,属于中心焦点型的判定问题.利用形式级数法容易求得其一阶焦点量。
　　 .当 时, 为一阶稳定(不稳定)焦点量;当 时,由于 所以由对称性原理知,此时 为中心.
　　定理2：当 时, 为焦点;当 时, 为退化结点;当 时, 为正规结点;当 时, 为不稳定(稳定)的奇点.
　　证明：因为 在全平面内为解析函数,由文献[2]的定理4.1和定理4.2知,本定理成立.
　　2、基本引理
　　引理1:(I) 若,则系统(4)有奇点
　　;若,则系统（4）有两个奇点;若,则系统（4）只有唯一的奇点;
　　(II) 若,则系统（4）只有唯一的奇点;
　　(III) 若,则系统（4）有奇点
　　;若,则系统（4）有两个奇点;若,则系统（4）只有唯一的奇点.
　　引理2： 为退化奇点.
　　证明：利用 方法来判定 的奇点类型.
　　对于系统（2）,由于在 点的 行列式为零, ,
　　,令 ,得 由于 所以 均为特殊方向.
　　 ，
　　故当 由 变到 时, 有正变到负,根据[3]的定理4.9知,角域 是第II型法域.当 由 变到 时, 有正变到负,根据[3]的定理4.9知,角域 是第II型法域.由(4)的第一个方程知,对一切常点 .在法域 内仅有一条正半轨进入奇点 ,在法域
　　内仅有一条负半轨进入奇点 .由系统(4)的第二个方程易见 为轨线,所以负向和正向进入奇点 点的轨线就分别是负、正半 轴。因此 是退化奇点（如图1）.证毕.
　　3、主要定理
　　定理1：若 ，则系统(2)没有极限环.
　　证明：若 ,则 为中心.若 或 不同时为零,令 ,则系统(2)化为
　　
　　 于是,所以定理成立.
　　定理2：若 则系统(2)存在唯一的稳定极限环 ,且当 时, 收缩趋于原点;当 时, 扩张,使其在 轴上投影之长趋于 ; 时, 是稳定的细焦点.
　　证明： 时, 是不稳定粗焦点.当 时, 是一阶稳定细焦点,由Hopf分叉理论,对于充分小的 系统(2)在 附近至少存在一个稳定的极限环 ,且 时, 趋于原点.
　　由[4]中定理2.5知,系统(2)的极限环 是唯一的.且对于系统(2),
　　 ,于是
　　 ,
　　故系统(2)构成关于参数 的旋转向量场; 是顺时针的正向稳定极限环,由旋转向量场理论,当 增大时, 单调扩大.
　　 ,
　　由于 是稳定极限环,故 而 故 时, 或 至少有一个不可能有界.证毕.
　　
　　参考文献
　　[1]陈文登.一类三次系统的分析[J].系统科学与数学,1994,14(4):301-308.
　　[2]叶彦谦.极限环论(第二版)[M].上海:上海科学技术出版社,1984.
　　[3]马知恩,周义仓.常微分方程定性与稳定性方法[M].北京:科学出版社, 2001.
　　[4]陆启韶,常微分方程的定性方法和分叉[M].北京:北京航空航天大学出版社,1989.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文