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【摘 要】新课标将模型思想作为十个核心概念之一提了出来，明确指出了模型思想的基本理念和价值。就“解决问题的策略”的教学来说，可以从生活问题→数学问题、数学问题→数学模型、数学模型→数学问题、数学问题→生活问题四个方面着手，帮助学生体会和理解数学与外部世界的联系，提升其数学素养。
【关键词】模型思想 教育价值 培养策略 解决问题的策略
《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了十个核心概念，模型思想即为其中之一。模型思想的基本内涵是什么？其教育价值体现在哪些方面？小学数学教学中如何让学生感悟模型思想？本文试图结合“解决问题的策略”的教学谈一些认识。
一、模型思想的基本含义
史宁中教授认为，义务教育阶段数学课程的基本思想主要有三个，即抽象思想、模型思想和推理思想。数学模型是“用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构”。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等来表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。在小学阶段，新课标明确指出了模型思想的基本理念和重要意义。这不仅表明了数学的应用价值，也明确了建立模型是数学应用和解决问题的核心。
二、教学中渗透模型思想的价值分析
在小学数学教学中渗透模型思想，具有哪些教育价值呢？首先，有利于学生认识数学的本质。数学是研究数量关系和空间形式的科学，通过建立和求解数学模型，能帮助学生从具体到抽象、从现象到本质地认识数学。其次，有利于学生解决实际问题。数学来源于生活又应用于生活，通过渗透模型思想，可以让学生进一步了解数学与生活的联系，增强其应用数学的意识。再次，有利于发展学生的思维能力。数学反映了人们缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求，模型思想的感悟过程，其实就是学生的数学思维动态发展的过程。
三、培养学生数学模型思想的策略探寻
1.从生活问题到数学问题。
数学家华罗庚曾说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”这是华老对数学与生活之间关系的精彩描述。生活中处处有数学，数学教学要从学生的生活经验和已有知识水平出发，联系生活学数学。
【案例1】《解决问题的策略：倒推》课堂引入
从学生熟悉的生活现象入手，提问：（1）去科技馆怎样走？（2）原路返回该怎样走？（3）去的路线与返回的路线有什么关系？（4）这种思考问题的方法有什么特点？
上述教学片段，从参观科技馆这一生活现象引入，让学生联系学习过的方向和线路图的相关知识，在思考和解决“如何原路返回”这一问题的过程中初步感知倒推策略。这样引入新知，充分调动了学生原有认知领域中的相关旧知（方向、线路图、格数）和生活经验，符合学生的认知特点，有利于他们为新课继续探索倒推策略做好心理准备。
2.从数学问题到数学模型。
建立数学模型是沟通实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁。提出和发现数学问题之后，如何帮助学生建立数学模型呢？这就需要让学生用数学的语言、符号、思想和方法逐步建立数学模型。
【案例2】《解决问题的策略：一一列举》建模过程
教师出示例题：王大叔用18根1米长的栅栏围成一个长方形羊圈，有多少种不同的围法？接着提问：（1）由“18根1米长的栅栏”你想到长方形的什么？（2）长方形的周长与长方形的长和宽之间是什么关系？（3）可以用什么方法来一一列举呢？（4）算出每个长方形的面积，并比较它们的长、宽和面积，你有什么发现？
上述案例呈现例题之后，让学生分析题意，初步产生“一一列举”的需求，然后让学生自主探索，经历策略的形成过程，再通过交流汇报和展示归纳，理解一一列举策略的本质。尤其是在学生自主探索的过程中，教者不断追问，将学生的思维引向深入，使学生的认知逐步结构化。在建立数学模型的过程中，需要学生运用数学语言和符号分析问题，也需要让学生在建立数学模型的同时获得结构化的理解。因此，建立数学模型的过程，需要让学生充分经历、体验和探索，以获得对模型的丰富、深刻的认识。
3.从数学模型到数学问题。
数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，就是将数学理论知识应用于实际问题的过程。更为重要的是，在建立模型、形成新的数学知识的过程中，有利于学生体会到数学与大自然和社会的天然联系。
【案例3】《解决问题的策略：倒推》教学片段
学生独立填写答案，然后汇报交流，明确策略要点：从右往左倒推时，原来是减法就变成加法，原来是加法就变成减法，原来是乘法就变成除法，原来是除法就变成乘法，即倒推的计算与顺向的计算是互逆关系。
上述案例中，在学生初步建立了“倒推”的数学模型（已知现在，要求原来）后，教师没有让学生运用倒推策略去解决生活问题，而是出示了两道数学问题，让学生直接运用倒推策略进行推算。这样的设计，有利于学生掌握倒推策略的思维特征，为他们后面解决生活问题打下了方法基础。
4.从数学问题到生活问题。
荷兰数学家弗赖登塔尔指出：“数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实。”数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。数学学习的最终目的是使学生能运用所学的数学知识去解决问题，尤其是一些简单的生活问题。
【案例4】《解决问题的策略：转化》生活应用
（1）基本应用。教师：刚才回顾了以前学习过程中经历“转化”的一些例子。我们在生活中也常常要用到这一策略。如何用转化的策略求一张纸的厚度、一枚硬币的体积、一个灯泡的容积？
（2）灵活应用。出示：有16支足球队参加比赛，比赛采用单场淘汰制，一共要进行多少场比赛才能产生冠军？如果不画图，有更简便的计算方法吗？
上述案例中，对转化策略的实际应用分层次进行了有针对性的设计。在实践应用环节，呈现了一些适合学生探究的生活问题。这些鲜活的素材，一方面丰富了学生对转化策略的认知，培养了他们应用转化策略的能力；另一方面使学生体验到生活与数学的密切联系，增强了学生学习数学的信心。
当然，从“解决问题的策略”的教学的角度来探索学生模型思想的培养只是一个视角。在数学教学中，更需要在数与代数、图形与几何、统计与概率等领域进行有机的渗透。另外，学生的数学模型思想的培养是一个长期的过程，教师应有意识地捕捉教学契机，采用适当的方法促进学生数学模型思想的形成和发展，促进其良好数学素养的养成。
注：本文获2013年江苏省“教海探航”征文特等奖
（作者单位：江苏省苏州工业园区星海小学）
【关键词】模型思想 教育价值 培养策略 解决问题的策略
《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了十个核心概念，模型思想即为其中之一。模型思想的基本内涵是什么？其教育价值体现在哪些方面？小学数学教学中如何让学生感悟模型思想？本文试图结合“解决问题的策略”的教学谈一些认识。
一、模型思想的基本含义
史宁中教授认为，义务教育阶段数学课程的基本思想主要有三个，即抽象思想、模型思想和推理思想。数学模型是“用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构”。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等来表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。在小学阶段，新课标明确指出了模型思想的基本理念和重要意义。这不仅表明了数学的应用价值，也明确了建立模型是数学应用和解决问题的核心。
二、教学中渗透模型思想的价值分析
在小学数学教学中渗透模型思想，具有哪些教育价值呢？首先，有利于学生认识数学的本质。数学是研究数量关系和空间形式的科学，通过建立和求解数学模型，能帮助学生从具体到抽象、从现象到本质地认识数学。其次，有利于学生解决实际问题。数学来源于生活又应用于生活，通过渗透模型思想，可以让学生进一步了解数学与生活的联系，增强其应用数学的意识。再次，有利于发展学生的思维能力。数学反映了人们缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求，模型思想的感悟过程，其实就是学生的数学思维动态发展的过程。
三、培养学生数学模型思想的策略探寻
1.从生活问题到数学问题。
数学家华罗庚曾说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”这是华老对数学与生活之间关系的精彩描述。生活中处处有数学，数学教学要从学生的生活经验和已有知识水平出发，联系生活学数学。
【案例1】《解决问题的策略：倒推》课堂引入
从学生熟悉的生活现象入手，提问：（1）去科技馆怎样走？（2）原路返回该怎样走？（3）去的路线与返回的路线有什么关系？（4）这种思考问题的方法有什么特点？
上述教学片段，从参观科技馆这一生活现象引入，让学生联系学习过的方向和线路图的相关知识，在思考和解决“如何原路返回”这一问题的过程中初步感知倒推策略。这样引入新知，充分调动了学生原有认知领域中的相关旧知（方向、线路图、格数）和生活经验，符合学生的认知特点，有利于他们为新课继续探索倒推策略做好心理准备。
2.从数学问题到数学模型。
建立数学模型是沟通实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁。提出和发现数学问题之后，如何帮助学生建立数学模型呢？这就需要让学生用数学的语言、符号、思想和方法逐步建立数学模型。
【案例2】《解决问题的策略：一一列举》建模过程
教师出示例题：王大叔用18根1米长的栅栏围成一个长方形羊圈，有多少种不同的围法？接着提问：（1）由“18根1米长的栅栏”你想到长方形的什么？（2）长方形的周长与长方形的长和宽之间是什么关系？（3）可以用什么方法来一一列举呢？（4）算出每个长方形的面积，并比较它们的长、宽和面积，你有什么发现？
上述案例呈现例题之后，让学生分析题意，初步产生“一一列举”的需求，然后让学生自主探索，经历策略的形成过程，再通过交流汇报和展示归纳，理解一一列举策略的本质。尤其是在学生自主探索的过程中，教者不断追问，将学生的思维引向深入，使学生的认知逐步结构化。在建立数学模型的过程中，需要学生运用数学语言和符号分析问题，也需要让学生在建立数学模型的同时获得结构化的理解。因此，建立数学模型的过程，需要让学生充分经历、体验和探索，以获得对模型的丰富、深刻的认识。
3.从数学模型到数学问题。
数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，就是将数学理论知识应用于实际问题的过程。更为重要的是，在建立模型、形成新的数学知识的过程中，有利于学生体会到数学与大自然和社会的天然联系。
【案例3】《解决问题的策略：倒推》教学片段
学生独立填写答案，然后汇报交流，明确策略要点：从右往左倒推时，原来是减法就变成加法，原来是加法就变成减法，原来是乘法就变成除法，原来是除法就变成乘法，即倒推的计算与顺向的计算是互逆关系。
上述案例中，在学生初步建立了“倒推”的数学模型（已知现在，要求原来）后，教师没有让学生运用倒推策略去解决生活问题，而是出示了两道数学问题，让学生直接运用倒推策略进行推算。这样的设计，有利于学生掌握倒推策略的思维特征，为他们后面解决生活问题打下了方法基础。
4.从数学问题到生活问题。
荷兰数学家弗赖登塔尔指出：“数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实。”数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。数学学习的最终目的是使学生能运用所学的数学知识去解决问题，尤其是一些简单的生活问题。
【案例4】《解决问题的策略：转化》生活应用
（1）基本应用。教师：刚才回顾了以前学习过程中经历“转化”的一些例子。我们在生活中也常常要用到这一策略。如何用转化的策略求一张纸的厚度、一枚硬币的体积、一个灯泡的容积？
（2）灵活应用。出示：有16支足球队参加比赛，比赛采用单场淘汰制，一共要进行多少场比赛才能产生冠军？如果不画图，有更简便的计算方法吗？
上述案例中，对转化策略的实际应用分层次进行了有针对性的设计。在实践应用环节，呈现了一些适合学生探究的生活问题。这些鲜活的素材，一方面丰富了学生对转化策略的认知，培养了他们应用转化策略的能力；另一方面使学生体验到生活与数学的密切联系，增强了学生学习数学的信心。
当然，从“解决问题的策略”的教学的角度来探索学生模型思想的培养只是一个视角。在数学教学中，更需要在数与代数、图形与几何、统计与概率等领域进行有机的渗透。另外，学生的数学模型思想的培养是一个长期的过程，教师应有意识地捕捉教学契机，采用适当的方法促进学生数学模型思想的形成和发展，促进其良好数学素养的养成。
注：本文获2013年江苏省“教海探航”征文特等奖
（作者单位：江苏省苏州工业园区星海小学）