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【摘 要】数学是思维的科学，数学活动经验很大程度上体现为“思维的经验”。“三角形的面积”一课的教学实践指出，有效的思考需要直观基础，需要问题驱动，更需要互动交流。教学中，拓展问题思考的空间有助于引导学生积极主动地展开思维活动，从而为获得“思维经验”创造更有利的条件。
【关键词】问题空间 思维经验 三角形的面积
“三角形面积”是人教版五年级上册“多边形的面积”单元的教学内容。根据教材的编排，本节课是在学习了平行四边形面积计算之后展开教学的。后者不仅为三角形的面积计算打下了认知基础，更奠定了思维基础，即“化归”思想。感悟“化归”思想是平面图形面积计算这个教学板块主要的教学价值所在，而实现“化归”的主要手段则是动手实践。如平行四边形就是通过“剪拼”转化为长方形，进而推导出面积计算公式；而三角形、梯形面积公式的推导则主要通过“拼组”，即将两个同样的三角形（梯形）拼成一个等底等高的平行四边形（如图1）。
如果仅以知识技能的掌握为目的，这样的操作活动是直观的，也是有效的。但从思维经验积累和思维能力发展的角度看，如果三节课的活动设计始终停留在动手操作层面，则体现出一定的局限性。我们有必要逐步加强数学活动的思维介入，让学生在更富挑战性的问题引领下积极主动地展开思维活动，为汲取“思维经验”创造更有利的条件。基于这样的考虑，在本节课的教学中我们在学习材料和活动形式上进行了调整，力图给予学生更大的探索和思考的空间。
一、思考需要直观基础
【教学片段】
在下图长方形和平行四边形中分别画一个面积最大的三角形。
反馈（如图2）：
讨论中，多数学生认为长方形中①号三角形是最大的，②号与③号存在争议；而平行四边形中则认为④号、⑤号都是面积最大的三角形。
师：既然②号和③号的画法有争议，我们暂时不讨论。请看其他三幅图，这些三角形的面积与原图有什么关系？
生：这些图中的三角形面积正好是原图的一半，因为两个三角形（阴影部分与空白部分）一样大。
【思考】
从反馈的情况看，绝大多数学生都能画出正确的图形。但我们必须认识到这些只是学生未经逻辑分析的直观判断，其中学生在面积学习过程中所获得的经验（对平面图形大小的直观感悟）起着很重要的作用。换句话说，学生知道这样画出来的三角形面积是最大的，但并不知道为什么。这从随后的课堂争论中可见一斑，很多学生并不认同②号和③号三角形是长方形中面积最大的三角形。即便如此，这里的猜想和操作还是很有价值的。一方面它充分暴露了学情，便于我们把握教学的起点；另一方面则为进一步探索三角形面积计算积累了方法和经验。
二、思考需要问题驱动
【教学片段】
能否求出下面各三角形的面积？试一试。
反馈一（如图3.1～3.2）：
生：把①号三角形中间剪开，拼成一个长方形（图3.1）。长方形的长是6cm，宽是高的一半，面积是6×2=12（cm2）。三角形与它的面积相等，也是12cm2。
生2：画一条底边的垂线，得到一个大长方形（图3.2），面积是6×4=24（cm2）。三角形面积正好是长方形的一半，24÷2=12（cm2）。
反馈二（如图4.1～4.2）：
生：在②号三角形左右两边各画一条底边的垂线，就得到一个长方形（图4.1），面积是24cm2。三角形的面积是它的一半，6×4÷2=12（cm2）。
师：三角形的面积是这个长方形的一半吗？
生：是的。把它看成两个小长方形，左边三角形占了一半，右边也是一半，合起来三角形面积正好是大长方形面积的一半。
生：先画一条平行线，这样就得到一个平行四边形（图4.2），它的底和高和三角形是一样的，面积是6×4=24（cm2）。而三角形的面积是平行四边形的一半，24÷2=12（cm2）。
反馈三（如图5）：
生：这两种方法是一样的，都是先画一条平行线，得到一个平行四边形，面积是6×4=24（cm2）。三角形的面积为24÷2=12（cm2）。
师：回顾刚才的思考过程，我们用什么办法算出了三角形的面积？
生：把三角形先看成长方形或者平行四边形。
师：长方形是特殊的平行四边形。平行四边形与原三角形有什么关系？
生：它们的底相等，高也相等，平行四边形面积是原三角形的2倍。
师：谁能概括一下三角形的面积计算方法？
生：三角形面积=底×高÷2。
师：这里的“底×高”算出的是谁的面积？
生：与这个三角形底相等，高也相等的平行四边形的面积。
【思考】
教学中，有效的问题设计决定了学生思维的开阔性与深刻性。“呈现三类不同的三角形并计算它们的面积”，这样的问题不仅指向明确，而且颇具挑战性。但从反馈的情况看，大多数学生都能积极主动地展开思考并顺利解决了问题。其主要原因在于学生在前面操作活动中所获得的直观感知为这里的思考奠定了坚实的基础。正因为学生建立了三角形与长方形、平行四边形之间的联系，使得这里的“化归”自然而然（事实上是作了逆向思考，即将三角形还原成长方形或平行四边形）。当然，在这个过程中学习材料的呈现方式也起到了减缓坡度、指引思考方向的作用，如“将三个三角形置于一组平行线内”“三类三角形先后次序的安排”等。值得注意的是，有了问题的驱动，“化归”已不再是操作活动的目的，而仅仅是解决问题的一种手段。
三、思考需要互动交流
【教学片段】
1.“三角形面积=底×高÷2”是否适用于计算任意三角形的面积？
生：我觉得可以。三角形按角分类只有三种情况：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。这里的三个三角形包括了所有情况。 生：不管怎样的三角形，都可以画两条平行线使它变成一个平行四边形，所以三角形的面积都可以这样计算。
生：我发现画两条平行线其实就是画了一个一模一样的倒着放的三角形，两个三角形拼成了一个平行四边形。所以“底×高”算出来的就是两个三角形的面积，再除以2就行了。
【思考】
尽管学生已经初步掌握了三角形面积计算的方法，但前面所讨论的仅仅是个例。由个例到一般，需要运用归纳思维展开合情推理。因而，这里的讨论是必要的。更重要的是，结合问题的讨论引发空间想象，进而完善公式推导过程，这使得学生的思维更为深刻，体验也更为充分。
【教学片段】
2.图中的三角形（见前文图2）是不是长方形内最大的三角形？
师：刚才同学们对图②和图③有争议，现在再来看一看它们是图中最大的三角形吗？
生：图②和图③也是长方形中最大的三角形，它们的面积跟图①是一样的，都是长方形面积的一半。
生：也可以这样看，因为三角形的面积与它的底和高有关，这里几幅图中三角形的底和高都已经是最大的了，所以虽然形状不一样，但是面积肯定都是最大的。
师：那么除了这里的几种画法，还可以怎么画？
生：只要选一条边作三角形的底，另一个顶点在对边，这样的三角形面积就是最大的。
【思考】
这个问题的讨论是利用现场生成的资源展开的。学生之前对图②和图③是不是长方形内面积最大的三角形存在质疑，是因为这个结果是“看”出来的。在掌握了三角形面积计算的方法之后再次讨论这个问题，就不再是一种直观判断，而是一种逻辑思考。教学中展开这样的思辨活动有助于将学生的思考引向深入。
【教学片段】
3.右图是一个梯形，你能在图中找到几对面积相等的三角形？
生：三角形ABC和BCD的面积相等，因为它们的底都是BC，高也相等，所以面积相等。
师：我们可以说这是两个“等底等高”的三角形，所以它们面积相等。还有吗？
生：三角形ABD和三角形ACD的面积也是相等的，它们也是“等底等高”。
生：我感觉三角形ABO和三角形CDO的面积也是相等的。
师：这两个三角形也是“等底等高”吗？
生：它们不是“等底等高”，但是因为三角形ABD和三角形ACD的面积相等，只要它们同时减去三角形AOD的面积，剩下的面积就相等了。
师：有没有听明白他的意思？还有什么方法也能证明这两个三角形是相等的？
生：用三角形ABC和三角形BCD也能证明，它们都减去三角形BOC的面积，余下的面积相等。
【思考】
这个问题具有一定的拓展性。在问题的讨论中涉及两个层次：第一层次主要是利用“等底等高”来判断面积相等的三角形；第二层次（梯形蝴蝶定理）则要用到几何推理。找到面积相等的三角形并说明面积相等的理由，这是一个思维水平不断深入的过程。结合教学内容适当引入合适的学习材料加以拓展，对于积累“思维经验”而言也不失为是一条有效的途径。
4.这节课你学了什么？你是怎么学的？
生：今天学习了三角形的面积计算方法，三角形的面积=底×高÷2。
师：回忆一下，我们是通过什么办法得到了这个计算公式的？
生：画两条平行线把三角形转化成一个“等底等高”的平行四边形，平行四边形的面积除以2就得到了三角形的面积。
师：那我们再回忆一下前面平行四边形的面积公式又是怎么得到的？
生：把平行四边形转化成长方形。
师：是的，“转化”是一种很重要的数学思想。但同样是“转化”，它们有什么区别吗？
生：平行四边形转化成长方形面积是不变的，但三角形转化成平行四边形，面积要扩大2倍。
师：三角形转化成平行四边形，其面积一定要扩大2倍吗？
生：也可以不变的。但是面积不变的话，那么底或者高就要缩小到原来的一半。
学习过程的回顾与反思对于“思维经验”的积累是极其重要的。“经验”是需要交流和分享的，而交流的过程恰恰是“经验”积累的“固化”过程。也就是说，在学习活动中所获得的感性层面的体验需要借助语言的描述逐步积淀下来成为相对稳定的认知状态，这就是“经验”的积累。与此同时，从上述讨论中我们还可以看到通过联系与比较，前后获得的“经验”还可以链接、整合，融会贯通。因此，对于课堂小结我们绝不能走过场，也不能仅仅停留在“学了什么”，而更应关注“怎么学的”。
综上，由于“思维经验”具有综合性、内隐性的特征，使得我们难以像知识技能那样分门别类地展开教学。但正如史宁中教授所说，“如果能设计出好的教学方案，一定能够成为‘帮助学生积累数学思维经验’的有效载体”。这就需要我们在课堂上坚持以生为本、以学为本，尽可能创造条件引导学生主动参与学习、积极展开思考，从而获得更为丰富的感悟与体验。并且，这绝非一朝一夕之功，而是一个长期的累积过程。
参考文献：
[1]史宁中. 基本概念与运算法则[M].北京：高等教育出版社，2013（5）.
[2]张奠宙，等.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2009（1）.
[3]宋健泳，范新林. 经历图形认知过程 积累思维活动经验——以“平面图形的认识”教学为例[J].教学月刊·小学版（数学），2015（9）.
（浙江省湖州市凤凰小学 313000）
【关键词】问题空间 思维经验 三角形的面积
“三角形面积”是人教版五年级上册“多边形的面积”单元的教学内容。根据教材的编排，本节课是在学习了平行四边形面积计算之后展开教学的。后者不仅为三角形的面积计算打下了认知基础，更奠定了思维基础，即“化归”思想。感悟“化归”思想是平面图形面积计算这个教学板块主要的教学价值所在，而实现“化归”的主要手段则是动手实践。如平行四边形就是通过“剪拼”转化为长方形，进而推导出面积计算公式；而三角形、梯形面积公式的推导则主要通过“拼组”，即将两个同样的三角形（梯形）拼成一个等底等高的平行四边形（如图1）。
如果仅以知识技能的掌握为目的，这样的操作活动是直观的，也是有效的。但从思维经验积累和思维能力发展的角度看，如果三节课的活动设计始终停留在动手操作层面，则体现出一定的局限性。我们有必要逐步加强数学活动的思维介入，让学生在更富挑战性的问题引领下积极主动地展开思维活动，为汲取“思维经验”创造更有利的条件。基于这样的考虑，在本节课的教学中我们在学习材料和活动形式上进行了调整，力图给予学生更大的探索和思考的空间。
一、思考需要直观基础
【教学片段】
在下图长方形和平行四边形中分别画一个面积最大的三角形。
反馈（如图2）：
讨论中，多数学生认为长方形中①号三角形是最大的，②号与③号存在争议；而平行四边形中则认为④号、⑤号都是面积最大的三角形。
师：既然②号和③号的画法有争议，我们暂时不讨论。请看其他三幅图，这些三角形的面积与原图有什么关系？
生：这些图中的三角形面积正好是原图的一半，因为两个三角形（阴影部分与空白部分）一样大。
【思考】
从反馈的情况看，绝大多数学生都能画出正确的图形。但我们必须认识到这些只是学生未经逻辑分析的直观判断，其中学生在面积学习过程中所获得的经验（对平面图形大小的直观感悟）起着很重要的作用。换句话说，学生知道这样画出来的三角形面积是最大的，但并不知道为什么。这从随后的课堂争论中可见一斑，很多学生并不认同②号和③号三角形是长方形中面积最大的三角形。即便如此，这里的猜想和操作还是很有价值的。一方面它充分暴露了学情，便于我们把握教学的起点；另一方面则为进一步探索三角形面积计算积累了方法和经验。
二、思考需要问题驱动
【教学片段】
能否求出下面各三角形的面积？试一试。
反馈一（如图3.1～3.2）：
生：把①号三角形中间剪开，拼成一个长方形（图3.1）。长方形的长是6cm，宽是高的一半，面积是6×2=12（cm2）。三角形与它的面积相等，也是12cm2。
生2：画一条底边的垂线，得到一个大长方形（图3.2），面积是6×4=24（cm2）。三角形面积正好是长方形的一半，24÷2=12（cm2）。
反馈二（如图4.1～4.2）：
生：在②号三角形左右两边各画一条底边的垂线，就得到一个长方形（图4.1），面积是24cm2。三角形的面积是它的一半，6×4÷2=12（cm2）。
师：三角形的面积是这个长方形的一半吗？
生：是的。把它看成两个小长方形，左边三角形占了一半，右边也是一半，合起来三角形面积正好是大长方形面积的一半。
生：先画一条平行线，这样就得到一个平行四边形（图4.2），它的底和高和三角形是一样的，面积是6×4=24（cm2）。而三角形的面积是平行四边形的一半，24÷2=12（cm2）。
反馈三（如图5）：
生：这两种方法是一样的，都是先画一条平行线，得到一个平行四边形，面积是6×4=24（cm2）。三角形的面积为24÷2=12（cm2）。
师：回顾刚才的思考过程，我们用什么办法算出了三角形的面积？
生：把三角形先看成长方形或者平行四边形。
师：长方形是特殊的平行四边形。平行四边形与原三角形有什么关系？
生：它们的底相等，高也相等，平行四边形面积是原三角形的2倍。
师：谁能概括一下三角形的面积计算方法？
生：三角形面积=底×高÷2。
师：这里的“底×高”算出的是谁的面积？
生：与这个三角形底相等，高也相等的平行四边形的面积。
【思考】
教学中，有效的问题设计决定了学生思维的开阔性与深刻性。“呈现三类不同的三角形并计算它们的面积”，这样的问题不仅指向明确，而且颇具挑战性。但从反馈的情况看，大多数学生都能积极主动地展开思考并顺利解决了问题。其主要原因在于学生在前面操作活动中所获得的直观感知为这里的思考奠定了坚实的基础。正因为学生建立了三角形与长方形、平行四边形之间的联系，使得这里的“化归”自然而然（事实上是作了逆向思考，即将三角形还原成长方形或平行四边形）。当然，在这个过程中学习材料的呈现方式也起到了减缓坡度、指引思考方向的作用，如“将三个三角形置于一组平行线内”“三类三角形先后次序的安排”等。值得注意的是，有了问题的驱动，“化归”已不再是操作活动的目的，而仅仅是解决问题的一种手段。
三、思考需要互动交流
【教学片段】
1.“三角形面积=底×高÷2”是否适用于计算任意三角形的面积？
生：我觉得可以。三角形按角分类只有三种情况：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。这里的三个三角形包括了所有情况。 生：不管怎样的三角形，都可以画两条平行线使它变成一个平行四边形，所以三角形的面积都可以这样计算。
生：我发现画两条平行线其实就是画了一个一模一样的倒着放的三角形，两个三角形拼成了一个平行四边形。所以“底×高”算出来的就是两个三角形的面积，再除以2就行了。
【思考】
尽管学生已经初步掌握了三角形面积计算的方法，但前面所讨论的仅仅是个例。由个例到一般，需要运用归纳思维展开合情推理。因而，这里的讨论是必要的。更重要的是，结合问题的讨论引发空间想象，进而完善公式推导过程，这使得学生的思维更为深刻，体验也更为充分。
【教学片段】
2.图中的三角形（见前文图2）是不是长方形内最大的三角形？
师：刚才同学们对图②和图③有争议，现在再来看一看它们是图中最大的三角形吗？
生：图②和图③也是长方形中最大的三角形，它们的面积跟图①是一样的，都是长方形面积的一半。
生：也可以这样看，因为三角形的面积与它的底和高有关，这里几幅图中三角形的底和高都已经是最大的了，所以虽然形状不一样，但是面积肯定都是最大的。
师：那么除了这里的几种画法，还可以怎么画？
生：只要选一条边作三角形的底，另一个顶点在对边，这样的三角形面积就是最大的。
【思考】
这个问题的讨论是利用现场生成的资源展开的。学生之前对图②和图③是不是长方形内面积最大的三角形存在质疑，是因为这个结果是“看”出来的。在掌握了三角形面积计算的方法之后再次讨论这个问题，就不再是一种直观判断，而是一种逻辑思考。教学中展开这样的思辨活动有助于将学生的思考引向深入。
【教学片段】
3.右图是一个梯形，你能在图中找到几对面积相等的三角形？
生：三角形ABC和BCD的面积相等，因为它们的底都是BC，高也相等，所以面积相等。
师：我们可以说这是两个“等底等高”的三角形，所以它们面积相等。还有吗？
生：三角形ABD和三角形ACD的面积也是相等的，它们也是“等底等高”。
生：我感觉三角形ABO和三角形CDO的面积也是相等的。
师：这两个三角形也是“等底等高”吗？
生：它们不是“等底等高”，但是因为三角形ABD和三角形ACD的面积相等，只要它们同时减去三角形AOD的面积，剩下的面积就相等了。
师：有没有听明白他的意思？还有什么方法也能证明这两个三角形是相等的？
生：用三角形ABC和三角形BCD也能证明，它们都减去三角形BOC的面积，余下的面积相等。
【思考】
这个问题具有一定的拓展性。在问题的讨论中涉及两个层次：第一层次主要是利用“等底等高”来判断面积相等的三角形；第二层次（梯形蝴蝶定理）则要用到几何推理。找到面积相等的三角形并说明面积相等的理由，这是一个思维水平不断深入的过程。结合教学内容适当引入合适的学习材料加以拓展，对于积累“思维经验”而言也不失为是一条有效的途径。
4.这节课你学了什么？你是怎么学的？
生：今天学习了三角形的面积计算方法，三角形的面积=底×高÷2。
师：回忆一下，我们是通过什么办法得到了这个计算公式的？
生：画两条平行线把三角形转化成一个“等底等高”的平行四边形，平行四边形的面积除以2就得到了三角形的面积。
师：那我们再回忆一下前面平行四边形的面积公式又是怎么得到的？
生：把平行四边形转化成长方形。
师：是的，“转化”是一种很重要的数学思想。但同样是“转化”，它们有什么区别吗？
生：平行四边形转化成长方形面积是不变的，但三角形转化成平行四边形，面积要扩大2倍。
师：三角形转化成平行四边形，其面积一定要扩大2倍吗？
生：也可以不变的。但是面积不变的话，那么底或者高就要缩小到原来的一半。
学习过程的回顾与反思对于“思维经验”的积累是极其重要的。“经验”是需要交流和分享的，而交流的过程恰恰是“经验”积累的“固化”过程。也就是说，在学习活动中所获得的感性层面的体验需要借助语言的描述逐步积淀下来成为相对稳定的认知状态，这就是“经验”的积累。与此同时，从上述讨论中我们还可以看到通过联系与比较，前后获得的“经验”还可以链接、整合，融会贯通。因此，对于课堂小结我们绝不能走过场，也不能仅仅停留在“学了什么”，而更应关注“怎么学的”。
综上，由于“思维经验”具有综合性、内隐性的特征，使得我们难以像知识技能那样分门别类地展开教学。但正如史宁中教授所说，“如果能设计出好的教学方案，一定能够成为‘帮助学生积累数学思维经验’的有效载体”。这就需要我们在课堂上坚持以生为本、以学为本，尽可能创造条件引导学生主动参与学习、积极展开思考，从而获得更为丰富的感悟与体验。并且，这绝非一朝一夕之功，而是一个长期的累积过程。
参考文献：
[1]史宁中. 基本概念与运算法则[M].北京：高等教育出版社，2013（5）.
[2]张奠宙，等.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2009（1）.
[3]宋健泳，范新林. 经历图形认知过程 积累思维活动经验——以“平面图形的认识”教学为例[J].教学月刊·小学版（数学），2015（9）.
（浙江省湖州市凤凰小学 313000）