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一题多解、一题多变是数学教师在几何教学中常用的手段，它不仅有助于提高学生学习兴趣，活跃课堂气氛，更重要的是有助于开阔学生思维，能从多角度、多方位、多层次思考问题，把握问题的整体，即抓住它的基本特征，又能抓住它的细节和特殊因素，从而放开思路进行思考。著名的数学教育家G·波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。”因此，在课堂上抓好例题一题多解，一题多变的教学这一关无疑是培养学生良好思维能力的契机，那么，如何设计有效地例题教学策略使之发挥应有的功能，是一个值得我们探讨和努力地研究课题。
现就一题多解、一题多变例题的教学片段，谈谈自己的想法及反思 。
【课例】如图1所示：P是△ABC内一点， PE∥AB,PF∥AC,∠EPF=60°，求∠BMN+∠CNM
〖TPE:\教育图2010-07\王秋萍1.TIF，BP#〗〖TS(〗〖JZ〗〖HT6H〗图1〖TS)〗〖HT〗师：只知道一个角的大小，但有两个平行关系，如何求解？
生1：利用两直线平行，同旁内角互补
∠BMN=180°-∠MPE
∠CNM=180°-∠NPF
∠BMN＋∠CNM=180°-∠MPE+180°-∠NPF=180°+∠EPF=240°
师：很好，思路清晰，还有其他解法吗？
生2：利用两直线平行，同位角相等
∠BMN=∠EPN, ∠CNM=∠FPM
∠BMN+∠CNM=∠EPN+∠FPM=180°＋∠EPF=240°
生3：利用两直线平行，内错角相等
略。
师：再看一看，还有什么图形，还可能利用哪些几何结论？（图2）
〖TPE:\教育图2010-07\王秋萍2.TIF，BP#〗〖TS(〗〖JZ〗〖HT6H〗图2〖TS)〗〖HT〗生4：利用邻角、外角
∠CNM=∠A+∠AMN
∠BMN= 180°-∠AMN
∠BMN+∠CNM=180°+∠A,
延长EO交AC于K,得
∠A=∠EPF=60°，
即∠BMN+∠CNM=240°
生5：利用四边形内角和定理……
同学们轻松地说着自己的想法，课堂气氛轻松活跃，教师也满意学生的表现。
师：现在我们已经有了好几种解法，回顾解法。看看生4的解法，有何发现？
生6 ：∠A=∠EPF=60°，∠BMN与∠CNM都与∠AMN有关，假若知道∠AMN就好了，若∠AMN =20°，则∠BMN＋∠CNM=240°
师：这确实是一种快捷方法，通常我们叫它“特殊值代入法”。许多时候，我们利用它可以快速得到问题的答案，适合于填空题、选择题。不过它有一定的局限性，不能用作严格推理证明。你们能用一般方法证明∠BMN＋∠CNM=240°吗？
生7：令∠AMN=x，则∠BMN＝180°-x,
∠CNM=60°+x
∴∠BMN＋∠CNM=180°-x+60°+x=240°
师：非常好，这位同学的解法来源于对某角取特殊值的增加条件得来，具有一般的意义。大家再从生4的结论中仔细找找，你有何新发现？
生8：∠BMN＋∠CNM的结果与∠A有关，即只与∠EPF有关，∠BMN＋∠CNM=180°＋∠EPF
师：慧眼识英雄，从同学的各种解法中发现：在已知条件下，∠BMN＋∠CNM只与∠EPF有关，我们再想一想：（1）若点P可以在MN上移动，其他条件不变，∠BMN+∠CNM=？（2）若点P运动到AC边上时，其它条件不变，结论也成立吗？（3）若点P与点A重合时，结论还成立吗？分小组探讨，看看哪一小组最快解决问题？
解：（1）点P只要在MN上移动时，∠BMN+∠CNM=240°
（2）若点P运动到AC边上时，这时P点与N点重合，PF与NC重合，∠BMN+∠CNM=∠BMN+∠CPM=∠BMN+∠EPM+∠CPE=240°
(3) 点P与点A重合时, 点E与点B重合, 点F与点C重合, ∠BMN+∠CNM=∠MAC+∠NAB=180°＋∠BAC=240°
〖TPE:\教育图2010-07\王秋萍3.TIF，BP#〗〖TS(〗〖JZ〗〖HT6H〗图3 图4〖TS)〗〖HT〗这样的思想方法与思路，的确是独具匠心，发人深省。反思这个教学片段，带给我许多思考和启发。
（1）《数学课程标准要求》以创新精神和实践能力为重点，改变过于重视知识传授的倾向，强调形成主动性的学习方式，有利于学生探究、创新能力的发展。而培养学生的创新精神是课程改革的核心目标之一。
创新的心理基础是创造性思维。创造性思维是主动地、独创地发现新事物、提出新见解、解决新问题的思维形式，它的思维活动的高级水平。数学思维作为一种特殊的思维形式，它是人脑和数学对象交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动，是数学思维的各种特性的综合表现。由于数学教学的重要目的在于培养学生数学思维能力，而创造性是数学思维的最根本、最核心的智力品质。因此，要提高学生的数学思维能力，完善人的数学思维的智力品质。培养学生的数学创造性思维能力是数学教学的一个重要任务和教育工作者研究的重要课题。在平时的教学中能借助一题多解，一题多变来培养学生多角度、多方位、多层次思考问题，也是对我们教师的创造性思维提出了要求。教师在教学过程中，能在求同证法中及时捕捉到激发学生求异的思维亮点，将学生思维从特殊引向一般，有助于提高学生的数学思维品质。同时教师能站在一题多解的“同”和“异”两个视角进行变式创新，无疑对学生的创新能力的培养有着潜移默化的作用的。因为变式是模仿和创新的中介，是创新的重要途径。变式学习要求学生重视“变式设问”，善于“变式思考”，敢于质疑，批判，勇于探索创新。若能启迪学生更换条件，考虑极端情况等多种角度去思索、探究，同时在吃透问题，把握问题实质的前提下，能够打破思维的定势，改变单一的思维方式，运用联想、想象、猜想、推想等尽量地拓展思路，从问题的各个角度、各个方面、各个层次进行或顺向、或逆向、或纵向、或横向的灵活而敏捷的思考，对于培养学生积累数学活动经验，形成数学知识网络，逐步提高创新意识和创新能力打下坚实基础。
（2）在新课改纲要中有明确指出，“在教学过程中，教师应尊重学生的人格，关注个体差异，满足不同学生的学习需要，创设能引导学生主动参与的教育环境，激发学生的学习积极性，培养学生掌握和运用知识的态度和能力，使每个学生都能得到充分的发展。”因此，如何更全面地了解学生，发现每个学生的独特性，并通过教学与评价促进学生在原有基础上的发展，是新课程实施中每一位教师必须思考和研究的问题。我国古代教育家、思想家孔子提出育人要“深其深，浅其浅，益其益，尊其尊”，即主张“因材施教，因人而异”。要承认差异，进行有差别有层次的教学，目的是“人人都出成绩，出自己的最优成绩”。 教师通过事先针对学生设计了不同思路和方法，使得处于不同水平的学生都能“摘到桃子”，获得成功的喜悦，这极大地优化了教师与学生的关系，从而提高师生合作、交流的效率；其次，教师在备课时要事先估计了可能出现的问题，并做了充分的准备，使得实际施教更有的放矢、目标明确、针对性强。总之，注重学生的差异性，不同层次的学生所想到和掌握的方法一定是不同的，问题的解决不是指答案的得到，而应指向方法的提炼与思维的形成。所以在问题解决的过程中，才需要寻求解决策略的多样性，这样既可以满足各个层次学生的学习需求，也能更好地拓展思路，调动生学习主动性。
（3）精心备好一节课，是上好一节课的基础。例题的价值是由例题所包含的思维含量决定的，教师的作用在于对题目思维含量认识到位后构建有效的教学形式。在平时的教学中，可能因为时间、精力、教学习惯等原因就例题而讲例题，如果对一些内涵和外延比较丰富的题目不作适当引伸、拓展组织教学，很多学生的学习会处于“知其然而不知所以然”的状况，对知识的掌握缺乏系统性，很难对付“能力立意”试题。因此，在平时教学中，有必要提倡以“一题多变”的形式组织教学，从“变”中总结解题方法，从“变”中发现解题规律，从“变”中发现“不变”，引导学生多思多想，养成在学中求异，学中求变的习惯，使学生学一道题，会一类题，加深对问题实质的理解和掌握，增强应变能力，建构知识的条理性和系统性。但教师也不能不论什么题，“逢题必变”，结果“变”出来的一些问题没有实际意义，给人有一种“东施效颦”的感觉，这反而给学生的学习增加负担，影响教学效果。因此要做好“一题多变”，首先要做好选“题”工作，这要求教师课外要做足功夫，通过博览群书，钻研教材中的典型例题、习题，新的课程标准、考纲等内容，然后精心挑选题目，认真比较、总结、反思和探索，才能在课堂上，站在全局的高度上去把握相关的数学知识，做到有针对性和实效性，这正如宋朝大文学家苏轼的名言“博观而约取，厚积而薄发”。
总之，要做好“变”字文章，发挥例题的增值功能。“变”是“一题多变”的关键和核心，“变”的精髓和价值在于求证“为何要变”、“如何去变”的过程，让学生在问题的认知、探索、发现、设计、解决、创造等全过程、全方位、深层次的主体性、实质性的参与，并从中获得对问题的深刻理解，不断促进解决新问题的能力的生成和积聚，达到认知能力的本质提高，形成一种积极、主动、探究的高效学习方式，真正成为学习的主人。因此借助“一题多解，一题多变”培养学生依照研究的对象所提供的信息，沿着不同的方向去思考，对信息和条件加以重新组合，探求多种解决方案或新途径的思维形式这是我们教师任重道远的任务。也是一个值得我们探讨和努力地研究课题。
收稿日期：2011-06-29
现就一题多解、一题多变例题的教学片段，谈谈自己的想法及反思 。
【课例】如图1所示：P是△ABC内一点， PE∥AB,PF∥AC,∠EPF=60°，求∠BMN+∠CNM
〖TPE:\教育图2010-07\王秋萍1.TIF，BP#〗〖TS(〗〖JZ〗〖HT6H〗图1〖TS)〗〖HT〗师：只知道一个角的大小，但有两个平行关系，如何求解？
生1：利用两直线平行，同旁内角互补
∠BMN=180°-∠MPE
∠CNM=180°-∠NPF
∠BMN＋∠CNM=180°-∠MPE+180°-∠NPF=180°+∠EPF=240°
师：很好，思路清晰，还有其他解法吗？
生2：利用两直线平行，同位角相等
∠BMN=∠EPN, ∠CNM=∠FPM
∠BMN+∠CNM=∠EPN+∠FPM=180°＋∠EPF=240°
生3：利用两直线平行，内错角相等
略。
师：再看一看，还有什么图形，还可能利用哪些几何结论？（图2）
〖TPE:\教育图2010-07\王秋萍2.TIF，BP#〗〖TS(〗〖JZ〗〖HT6H〗图2〖TS)〗〖HT〗生4：利用邻角、外角
∠CNM=∠A+∠AMN
∠BMN= 180°-∠AMN
∠BMN+∠CNM=180°+∠A,
延长EO交AC于K,得
∠A=∠EPF=60°，
即∠BMN+∠CNM=240°
生5：利用四边形内角和定理……
同学们轻松地说着自己的想法，课堂气氛轻松活跃，教师也满意学生的表现。
师：现在我们已经有了好几种解法，回顾解法。看看生4的解法，有何发现？
生6 ：∠A=∠EPF=60°，∠BMN与∠CNM都与∠AMN有关，假若知道∠AMN就好了，若∠AMN =20°，则∠BMN＋∠CNM=240°
师：这确实是一种快捷方法，通常我们叫它“特殊值代入法”。许多时候，我们利用它可以快速得到问题的答案，适合于填空题、选择题。不过它有一定的局限性，不能用作严格推理证明。你们能用一般方法证明∠BMN＋∠CNM=240°吗？
生7：令∠AMN=x，则∠BMN＝180°-x,
∠CNM=60°+x
∴∠BMN＋∠CNM=180°-x+60°+x=240°
师：非常好，这位同学的解法来源于对某角取特殊值的增加条件得来，具有一般的意义。大家再从生4的结论中仔细找找，你有何新发现？
生8：∠BMN＋∠CNM的结果与∠A有关，即只与∠EPF有关，∠BMN＋∠CNM=180°＋∠EPF
师：慧眼识英雄，从同学的各种解法中发现：在已知条件下，∠BMN＋∠CNM只与∠EPF有关，我们再想一想：（1）若点P可以在MN上移动，其他条件不变，∠BMN+∠CNM=？（2）若点P运动到AC边上时，其它条件不变，结论也成立吗？（3）若点P与点A重合时，结论还成立吗？分小组探讨，看看哪一小组最快解决问题？
解：（1）点P只要在MN上移动时，∠BMN+∠CNM=240°
（2）若点P运动到AC边上时，这时P点与N点重合，PF与NC重合，∠BMN+∠CNM=∠BMN+∠CPM=∠BMN+∠EPM+∠CPE=240°
(3) 点P与点A重合时, 点E与点B重合, 点F与点C重合, ∠BMN+∠CNM=∠MAC+∠NAB=180°＋∠BAC=240°
〖TPE:\教育图2010-07\王秋萍3.TIF，BP#〗〖TS(〗〖JZ〗〖HT6H〗图3 图4〖TS)〗〖HT〗这样的思想方法与思路，的确是独具匠心，发人深省。反思这个教学片段，带给我许多思考和启发。
（1）《数学课程标准要求》以创新精神和实践能力为重点，改变过于重视知识传授的倾向，强调形成主动性的学习方式，有利于学生探究、创新能力的发展。而培养学生的创新精神是课程改革的核心目标之一。
创新的心理基础是创造性思维。创造性思维是主动地、独创地发现新事物、提出新见解、解决新问题的思维形式，它的思维活动的高级水平。数学思维作为一种特殊的思维形式，它是人脑和数学对象交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动，是数学思维的各种特性的综合表现。由于数学教学的重要目的在于培养学生数学思维能力，而创造性是数学思维的最根本、最核心的智力品质。因此，要提高学生的数学思维能力，完善人的数学思维的智力品质。培养学生的数学创造性思维能力是数学教学的一个重要任务和教育工作者研究的重要课题。在平时的教学中能借助一题多解，一题多变来培养学生多角度、多方位、多层次思考问题，也是对我们教师的创造性思维提出了要求。教师在教学过程中，能在求同证法中及时捕捉到激发学生求异的思维亮点，将学生思维从特殊引向一般，有助于提高学生的数学思维品质。同时教师能站在一题多解的“同”和“异”两个视角进行变式创新，无疑对学生的创新能力的培养有着潜移默化的作用的。因为变式是模仿和创新的中介，是创新的重要途径。变式学习要求学生重视“变式设问”，善于“变式思考”，敢于质疑，批判，勇于探索创新。若能启迪学生更换条件，考虑极端情况等多种角度去思索、探究，同时在吃透问题，把握问题实质的前提下，能够打破思维的定势，改变单一的思维方式，运用联想、想象、猜想、推想等尽量地拓展思路，从问题的各个角度、各个方面、各个层次进行或顺向、或逆向、或纵向、或横向的灵活而敏捷的思考，对于培养学生积累数学活动经验，形成数学知识网络，逐步提高创新意识和创新能力打下坚实基础。
（2）在新课改纲要中有明确指出，“在教学过程中，教师应尊重学生的人格，关注个体差异，满足不同学生的学习需要，创设能引导学生主动参与的教育环境，激发学生的学习积极性，培养学生掌握和运用知识的态度和能力，使每个学生都能得到充分的发展。”因此，如何更全面地了解学生，发现每个学生的独特性，并通过教学与评价促进学生在原有基础上的发展，是新课程实施中每一位教师必须思考和研究的问题。我国古代教育家、思想家孔子提出育人要“深其深，浅其浅，益其益，尊其尊”，即主张“因材施教，因人而异”。要承认差异，进行有差别有层次的教学，目的是“人人都出成绩，出自己的最优成绩”。 教师通过事先针对学生设计了不同思路和方法，使得处于不同水平的学生都能“摘到桃子”，获得成功的喜悦，这极大地优化了教师与学生的关系，从而提高师生合作、交流的效率；其次，教师在备课时要事先估计了可能出现的问题，并做了充分的准备，使得实际施教更有的放矢、目标明确、针对性强。总之，注重学生的差异性，不同层次的学生所想到和掌握的方法一定是不同的，问题的解决不是指答案的得到，而应指向方法的提炼与思维的形成。所以在问题解决的过程中，才需要寻求解决策略的多样性，这样既可以满足各个层次学生的学习需求，也能更好地拓展思路，调动生学习主动性。
（3）精心备好一节课，是上好一节课的基础。例题的价值是由例题所包含的思维含量决定的，教师的作用在于对题目思维含量认识到位后构建有效的教学形式。在平时的教学中，可能因为时间、精力、教学习惯等原因就例题而讲例题，如果对一些内涵和外延比较丰富的题目不作适当引伸、拓展组织教学，很多学生的学习会处于“知其然而不知所以然”的状况，对知识的掌握缺乏系统性，很难对付“能力立意”试题。因此，在平时教学中，有必要提倡以“一题多变”的形式组织教学，从“变”中总结解题方法，从“变”中发现解题规律，从“变”中发现“不变”，引导学生多思多想，养成在学中求异，学中求变的习惯，使学生学一道题，会一类题，加深对问题实质的理解和掌握，增强应变能力，建构知识的条理性和系统性。但教师也不能不论什么题，“逢题必变”，结果“变”出来的一些问题没有实际意义，给人有一种“东施效颦”的感觉，这反而给学生的学习增加负担，影响教学效果。因此要做好“一题多变”，首先要做好选“题”工作，这要求教师课外要做足功夫，通过博览群书，钻研教材中的典型例题、习题，新的课程标准、考纲等内容，然后精心挑选题目，认真比较、总结、反思和探索，才能在课堂上，站在全局的高度上去把握相关的数学知识，做到有针对性和实效性，这正如宋朝大文学家苏轼的名言“博观而约取，厚积而薄发”。
总之，要做好“变”字文章，发挥例题的增值功能。“变”是“一题多变”的关键和核心，“变”的精髓和价值在于求证“为何要变”、“如何去变”的过程，让学生在问题的认知、探索、发现、设计、解决、创造等全过程、全方位、深层次的主体性、实质性的参与，并从中获得对问题的深刻理解，不断促进解决新问题的能力的生成和积聚，达到认知能力的本质提高，形成一种积极、主动、探究的高效学习方式，真正成为学习的主人。因此借助“一题多解，一题多变”培养学生依照研究的对象所提供的信息，沿着不同的方向去思考，对信息和条件加以重新组合，探求多种解决方案或新途径的思维形式这是我们教师任重道远的任务。也是一个值得我们探讨和努力地研究课题。
收稿日期：2011-06-29