论文部分内容阅读
摘要:数学中的三类函数:指数函数、对数函数和幂函数相互间的联系十分密切,灵活运用三者间的联系能够相互转化,触类旁通,化繁为简,快捷解答相关习题。
关键词:指数函数 对数函数 幂函数 相互联系
数学中的指数函数与对数函数、幂函数间的联系是比较密切的,在解答有关习题时,可以相互转化,触类旁通,化繁为简,目的是为了能够探索出一条容易掌握规律、正确无误的解题捷径。
一、三类函数的性质特征
1.指数函数y=f(x)=ax(a>0,且a≠1)是以常数a为底,指数x为自变量,幂为函数的一种函数。
2.对数函数y=f(x)=logax(a>0,且a≠1)是以常数a为底,真数(幂)x为自变量,对数为函数的函数。
注:因为现行教材对于指数函数和对数函数的定义域、值域以及单调性描述得十分清楚,这里就不再累赘了。
3.幂函数y=f(x)=xα(α∈R)是以指数α为常数,底数x为自变量,幂为函数的一种函数,幂函数的情况要比指数函数对数函数复杂得多,它的定义域、值域、单调性、奇偶性完全取决于α值,即完全由常数α确定。当α>0时,幂函数的图像在第一象限内是增函数;当α<0时,幂函数在第一象限内是减函数,但幂函数都经过(1,1)点。
二、三种函数的相关联系
1.因为引入分数指数幂后,乘方、开方这一对互逆运算就统一成幂运算,所以,从指数函数与幂函数的书写形式上看都属于幂运算,若需要比较某两个以上幂的大小时,可以根据指数或幂函数的单调性比较它们的大小。
2.对数函数与指数函数是一对互为反函数,它们的图像关于直线y=x对称,指数函数的定义域就是对数函数的值域,指数函数的值域恰好就是对数函数的定义域,这就是零和负数没有对数的根本原因。
3.幂函数与指数函数相通的重要条件是:x>0且x≠1。幂函数与对数函数没有直接的联系,但可以通过指数函数作为桥梁和纽带去研究相关习题。
三、三种函数有关习题的探索
例1 比较下列幂的大小。
例3 比较下列对数函数的大小。
(1)log21.5与log31.5; (2)log20.6与log30.6;
(3)log0.32与log0.22; (4)log0.30.8与log0.20.8。
分析:真数相同,底数不同的对数比较可借助图像,既方便又快捷。x=1可将对数函数的图像分成两部分,它的右侧的图像又被x轴分成上下两部分,x轴上方,越靠近x轴的图像所对应的函数解析式中的a值越大;x轴下方,越靠近x轴的图像所对应的函数解析式中的a值越小。当然,也可用其他方法判定。
解:(1)log21.5>log31.5(如图1);
(2)log20.6 (3)log0.32 (4)log0.30.8>log0.20.8(如图4)。
点评:探索几个底数不同的对数函数的图像在第一象限的分布规律可作y=l(l>0),使这条直线与图像相交,从左到右,先交的图像对应的函数式中的a值小,后交的a值大。
点评:1.同底而不同指数的几个幂比较大小,可用指数函数的单调性比较。
2.探索几个指数不同的幂函数图像在第一象限的分布规律是:作x=1,在它的右边越靠近x轴的图像所对应函数式中的α值越小,y=1下方的图像所对应函数式子中α值为负数,y=1上方的图像所对应的函数式子中α值为正数,越靠近y=1的图像所对应的函数式中的α值越小。
参考文献:
[1] 贺进军、周洁,《高中数学精讲精练》,南京师范大学出版社发行,1997年5月
[2] 烟学敏、刘玉翘,《中学数学解题精典》,人民日报出版社,1993年3月
关键词:指数函数 对数函数 幂函数 相互联系
数学中的指数函数与对数函数、幂函数间的联系是比较密切的,在解答有关习题时,可以相互转化,触类旁通,化繁为简,目的是为了能够探索出一条容易掌握规律、正确无误的解题捷径。
一、三类函数的性质特征
1.指数函数y=f(x)=ax(a>0,且a≠1)是以常数a为底,指数x为自变量,幂为函数的一种函数。
2.对数函数y=f(x)=logax(a>0,且a≠1)是以常数a为底,真数(幂)x为自变量,对数为函数的函数。
注:因为现行教材对于指数函数和对数函数的定义域、值域以及单调性描述得十分清楚,这里就不再累赘了。
3.幂函数y=f(x)=xα(α∈R)是以指数α为常数,底数x为自变量,幂为函数的一种函数,幂函数的情况要比指数函数对数函数复杂得多,它的定义域、值域、单调性、奇偶性完全取决于α值,即完全由常数α确定。当α>0时,幂函数的图像在第一象限内是增函数;当α<0时,幂函数在第一象限内是减函数,但幂函数都经过(1,1)点。
二、三种函数的相关联系
1.因为引入分数指数幂后,乘方、开方这一对互逆运算就统一成幂运算,所以,从指数函数与幂函数的书写形式上看都属于幂运算,若需要比较某两个以上幂的大小时,可以根据指数或幂函数的单调性比较它们的大小。
2.对数函数与指数函数是一对互为反函数,它们的图像关于直线y=x对称,指数函数的定义域就是对数函数的值域,指数函数的值域恰好就是对数函数的定义域,这就是零和负数没有对数的根本原因。
3.幂函数与指数函数相通的重要条件是:x>0且x≠1。幂函数与对数函数没有直接的联系,但可以通过指数函数作为桥梁和纽带去研究相关习题。
三、三种函数有关习题的探索
例1 比较下列幂的大小。
例3 比较下列对数函数的大小。
(1)log21.5与log31.5; (2)log20.6与log30.6;
(3)log0.32与log0.22; (4)log0.30.8与log0.20.8。
分析:真数相同,底数不同的对数比较可借助图像,既方便又快捷。x=1可将对数函数的图像分成两部分,它的右侧的图像又被x轴分成上下两部分,x轴上方,越靠近x轴的图像所对应的函数解析式中的a值越大;x轴下方,越靠近x轴的图像所对应的函数解析式中的a值越小。当然,也可用其他方法判定。
解:(1)log21.5>log31.5(如图1);
(2)log20.6
点评:探索几个底数不同的对数函数的图像在第一象限的分布规律可作y=l(l>0),使这条直线与图像相交,从左到右,先交的图像对应的函数式中的a值小,后交的a值大。
点评:1.同底而不同指数的几个幂比较大小,可用指数函数的单调性比较。
2.探索几个指数不同的幂函数图像在第一象限的分布规律是:作x=1,在它的右边越靠近x轴的图像所对应函数式中的α值越小,y=1下方的图像所对应函数式子中α值为负数,y=1上方的图像所对应的函数式子中α值为正数,越靠近y=1的图像所对应的函数式中的α值越小。
参考文献:
[1] 贺进军、周洁,《高中数学精讲精练》,南京师范大学出版社发行,1997年5月
[2] 烟学敏、刘玉翘,《中学数学解题精典》,人民日报出版社,1993年3月