论文部分内容阅读
摘要：思辨能力是数学学习的一种重要能力，学生思辨能力的培养，能引导数学思维的发展，有效促进其分析能力和推理能力，对学业及将来事业的发展具有极其重要的影响。小学生学习数学经常通过数形结合进行思辨，但小学生的年龄特点决定着他们缺乏丰富的空间想象能力、联结推理能力。而几何画板这个软件就能很好地化静为动，化抽象为直观，实现思维可视，有助于培养思辨能力。本文试图通过几何画板有效解决“三角形等积变形”图形问题，探究挖掘知识本源，运用系列习题培育学生思辨能力，从而寻找到提升小学生高阶思维能力的有效途径。
关键词：寻根溯源;思辨能力;几何画板;路径
“数学是一门研究数量关系和空间形式的科学”，从这一概念中就可以看出数与形对于数学学习的重要性，而数学又是一门高度抽象、逻辑严密的学科，自然就造成了对部分知识的学习困难，无法很好地进行数形结合、联结知识的本质进行思辨，众多的教学难点，导致学生学习困难，信心不足，甚至谈“数”色变，害怕数学。而随着信息技术的发展，数学教学中能够有机地融合现代信息技术，使得数与形能恰到好处地进行结合，进而生动地呈现、质疑，激发学生的空间想象、猜测和推理，最后得到实证，降低理解难度，突破教学难点，提高学生学习数学的信心和兴趣。运用这一路径，有效地培养学生的数学思辨能力，提升高阶思维能力。
一、屡做屡错，原因何在
在平时的教学中，下面这样的习题在反复练习中，错误并没有减少，形式稍有改变，学生就照错不误。
求下图中阴影部分的面积。
学生为什么会屡做屡错？经笔者分析原因就在于以下几个方面。
（一）课堂教学形式少
课堂教学中，很多教师往往都是凭借经验在进行教学。没有对学生进行精准分析，没有合理运用现代教学手段丰富学习素材和学习方式，就会出现与学生之间的断层。因理解不深刻，记忆不鲜明，经过一段时间的沉淀后就无法灵活调用知识进行合理的运用。
（二）习题设计缺联系
教学新知以后的练习巩固，往往是用教材所提供的习题进行单一练习，缺少对练习的深入分析，挖掘知识之间的前后联系。缺少对练习题进行重整、拓展和联系，只是单纯的题教，而不是类教，因此达不到举一反三、举三反一、系统联合、綜合运用的效果。
（三）知识整理少结构
教师往往忽视整理的作用，只让学生在练习过程中以错纠错，忽视对知识的梳理，作结构化的系统认识，不能用整体的眼光去看知识点，学生学到的知识零碎，杂乱又无序，一到用时就无从下手。去杂乱无序的抽屉和去整洁有序的抽屉中寻找作业本一样，结果可想而知。
二、利用几何画板培养思辨能力
在教学中我常常思考：如何教学才能降低孩子学习理解的难度，让学生获得鲜明的感知，再进行有效的联结，有序系统的整理，从而帮助学生更深刻地理解与记忆，灵活运用所学知识解决相应的数学问题，培养学生的数学思辨能力，进而提高学生的高阶思维能力。
（一）研究的源起
《课程标准（2011年版）》中指出：“数学的发展过程标明，再抽象的数学结论总能找到相对直观的表征和解释。运用直观手段是数学研究的重要方式，更应成为我们处理和组织课堂内容的重要方式。数学知识的形成依赖于直观，数学知识的确立依赖于推理。”
不“思”难以启智，不“辨”难以明理，而几何画板的一些功能，能很好地帮助学生进行猜想、操作、验证，化抽象为直观，化想象为现实，有效地培养学生的思辨能力。
（二）概念的界定
1.“几何画板”
几何画板（The Geometer’s Sketchpad）软件是由美国Key Curriculum Press公司制作并出版的优秀教育软件，可以做出各种各样的几何图形，是适用于数学教学的软件平台。
2.“思辨能力”
思考辨析能力，是一种抽象思维能力。“思”指的是分析、推理、判断等思维活动;“辨”指的是对问题的情况、类别、原理等进行辨别分析。
几何画板以数学为根本，以“动态几何”为特色来表现图形内在规律，帮助实现思维可视，使我们在重视直观的同时，使学生的思辨能力得到发展。
（三）实施的路径
《课程标准（2011年版）》指出：“把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。”“几何画板”软件的合理使用使其成为现实提供有力的路径。下面试从三角形等积变形的教学中，几何画板的具体运用来探寻学生思辨能力培养的实施路径。
教学总路径：
整个知识的架构分起始课、练习课、拓展课三课时进行。用这样的三个课时，进行知识之间的联结，梳理知识的脉络，明晰知识的本质。在解决问题的过程中不断提高学生的思辨能力，从基础到拓展，层层深入，抽丝剥茧，抓住实质以不变应万变，使学生的高阶思维能力得到不断地发展。
1.跟进练习课，提升“认知”
三角形等积变形的本质是底和高相等，乘积相等，其实质仍是“平行线间的距离处处相等”。与之相关的练习，学生最早接触的是平行四边形在平行线间的变化。以往的教学中只能运用画一画、或者用课件展示一下移动的过程。但几何画板不仅仅能体现画的过程和移动的过程，更是把高的变化与数结合起来，实现一个推理、验证的实验过程，从而对这一实质有更深刻的认识。
路径一：练习课教学思路
练习课中设计平行线间的平行四边形、梯形、三角形中的相关练习，让学生体会到高相等，底相等，面积也相等：图形的变化中，底不变，高是平行线间的距离，而平行线间的距离处处相等。
平行线间的平行四边形：
先观察，比较下面两个图形面积的大小。（见图4） 指名回答。
请同学们想办法用事实来说话！
测量出数据，计算一下。
发现了什么？为什么呢？
对，平行线间的距离处处相等。请看：（几何画板进行直观演示）
你看到了什么？
是的，像这样在平行线间的平行四边形，同底等高。同底等高的平行四边形面积相等，也就是说等底等高的平行四边形面积相等。
平行线间的梯形：
请计算下面这三个梯形的面积（方格边长1厘米）。
你发现了什么？
三个梯形的面积相等。
为什么呢？
高相等（高的概念、平行线间的距离处处相等），底相等（上底加下底的和相等），积相等。
还可以进行拖动进行变换进行验证，调整上下底的数据，但是保持上下底之和始终相等，加深对等积变形本质的理解。
而在学习三角形面积之后紧跟着做相似的练习，再次巩固等积变形的“实质”。
请同学们计算下图中三角形的面积。（见图7）
交流反馈。
他们想得对吗？有同学还有困难，请看：（几何画板动态演示）
现在，你知道了吗？
你能比较下图中两个三角形的面积吗？
等底等高三角形面积相等，两个面积相等的三角形减去同一个三角形。
利用几何画板拖曳功能，用不同的颜色进行标注、对比，真正让学生在思辨中联系、架构，进而提升对等底等高等面积的理解——平行线间的距离处处相等。
2.补充拓展课，思辨“本质”
有了前面的起始课和练习课的认识，更进一步设计项目学习。通过项目学习把所学的知识通过思辨内化为技能，达到深度学习和理解。
路径二：拓展课教学思路（见图11）
拓展课中，通过尝试、回溯与变式这三个练习环节，让学生辨析本质，判断、联系沟通各练习，使学生能对复杂的练习，去伪存真，挖掘其数学实质，从而正确地解决问题。
尝试——寻真求是
请同学们独立练习：
交流反馈进行回顾：平行线间的距离处处相等，等底等高的三角形面积相等。用几何画板对学生的想法进行说明。（见图13）
回溯——格物致知
拖动点L、M、N，使它们慢慢重合，观察面积的变化，感受形状在变，面积不变。并分析原因。
变式——思变思辨
再次尝试求出同样的两个正方形中构成的不同三角形的面积：（见图15）
四人小组讨论交流。
学生在画板上操作，尝试自己的想法。
重点指导第一个图形：
图中为什么要画这条虚线？
为什么两条对角线是平行的？
请继续研究：
你还能有其它的变化吗？
通过这节课的变式拓展，唤起学生的知识储备，灵活地运用“平行线之间的距离处处相等”这一知识源探索图形的变化及特点。
在这个内容的教学中，先挖掘出“本源”，然后在各起始课中利用几何画板“化静为动”，生动地进行理解与联系，帮助学生辨析高的本质。在不断地探究中打开学生的思路，辨析问题实质，延伸思维触角，灵活运用图形知识解决问题，高强度地培养空间想象能力，有效发展学生思辨能力。
三、收获与期望
《课标》指出：“作为课程的数学内容在充分展示它独有的抽象性的同时，还要考虑到学生学习数学的可接受性和心理适应性。因此，采用恰当的直观性手段就显得很有必要。”
本文试图让大家感受到几何画板的动图功能对于数学教学的辅助作用。借助几何画板的“动点”帮助学生在聚焦知識“本源”、提升“认知”、思辨“本质”的过程中，在有效解决图形问题的教学路径中让学生经历解决复杂问题的全过程。问题即使再复杂，但只要能思辨问题的实质，抓住本质，就能去伪存真，灵活地运用所学的知识进行联系与沟通，通过数形结合、化静为动等手段，找到正确的解决方法。从而有效地培养学生的数学思辨能力，提升学生的问题解决能力，发展学生的高阶思维。
当然，在实际操作过程中存在的问题肯定也很多，还需要我们更深入地思考与研究。笔者只是试图通过本文“几何画板”培养学生数学思辨能力，提升小学生高阶思维能力的路径探究，抛砖引玉，让更多的数学教师参与到几何画板与数学教学深度融合的研究中来，开发和完善更多的动图功能，让现代信息技术更好地为数学教学服务，与时俱进！
参考文献：
[1]郑久安，冀前前.信息技术与小学数学整合教学探索——以图形与几何教学为例[J/OL].中国教育技术装备：1-3[2019-11-04]
[2]翟珊. 动态几何软件在小学数学教学中的应用现状与对策研究[D].河南大学，2019.
[3]史宁中.数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012：68.
关键词：寻根溯源;思辨能力;几何画板;路径
“数学是一门研究数量关系和空间形式的科学”，从这一概念中就可以看出数与形对于数学学习的重要性，而数学又是一门高度抽象、逻辑严密的学科，自然就造成了对部分知识的学习困难，无法很好地进行数形结合、联结知识的本质进行思辨，众多的教学难点，导致学生学习困难，信心不足，甚至谈“数”色变，害怕数学。而随着信息技术的发展，数学教学中能够有机地融合现代信息技术，使得数与形能恰到好处地进行结合，进而生动地呈现、质疑，激发学生的空间想象、猜测和推理，最后得到实证，降低理解难度，突破教学难点，提高学生学习数学的信心和兴趣。运用这一路径，有效地培养学生的数学思辨能力，提升高阶思维能力。
一、屡做屡错，原因何在
在平时的教学中，下面这样的习题在反复练习中，错误并没有减少，形式稍有改变，学生就照错不误。
求下图中阴影部分的面积。
学生为什么会屡做屡错？经笔者分析原因就在于以下几个方面。
（一）课堂教学形式少
课堂教学中，很多教师往往都是凭借经验在进行教学。没有对学生进行精准分析，没有合理运用现代教学手段丰富学习素材和学习方式，就会出现与学生之间的断层。因理解不深刻，记忆不鲜明，经过一段时间的沉淀后就无法灵活调用知识进行合理的运用。
（二）习题设计缺联系
教学新知以后的练习巩固，往往是用教材所提供的习题进行单一练习，缺少对练习的深入分析，挖掘知识之间的前后联系。缺少对练习题进行重整、拓展和联系，只是单纯的题教，而不是类教，因此达不到举一反三、举三反一、系统联合、綜合运用的效果。
（三）知识整理少结构
教师往往忽视整理的作用，只让学生在练习过程中以错纠错，忽视对知识的梳理，作结构化的系统认识，不能用整体的眼光去看知识点，学生学到的知识零碎，杂乱又无序，一到用时就无从下手。去杂乱无序的抽屉和去整洁有序的抽屉中寻找作业本一样，结果可想而知。
二、利用几何画板培养思辨能力
在教学中我常常思考：如何教学才能降低孩子学习理解的难度，让学生获得鲜明的感知，再进行有效的联结，有序系统的整理，从而帮助学生更深刻地理解与记忆，灵活运用所学知识解决相应的数学问题，培养学生的数学思辨能力，进而提高学生的高阶思维能力。
（一）研究的源起
《课程标准（2011年版）》中指出：“数学的发展过程标明，再抽象的数学结论总能找到相对直观的表征和解释。运用直观手段是数学研究的重要方式，更应成为我们处理和组织课堂内容的重要方式。数学知识的形成依赖于直观，数学知识的确立依赖于推理。”
不“思”难以启智，不“辨”难以明理，而几何画板的一些功能，能很好地帮助学生进行猜想、操作、验证，化抽象为直观，化想象为现实，有效地培养学生的思辨能力。
（二）概念的界定
1.“几何画板”
几何画板（The Geometer’s Sketchpad）软件是由美国Key Curriculum Press公司制作并出版的优秀教育软件，可以做出各种各样的几何图形，是适用于数学教学的软件平台。
2.“思辨能力”
思考辨析能力，是一种抽象思维能力。“思”指的是分析、推理、判断等思维活动;“辨”指的是对问题的情况、类别、原理等进行辨别分析。
几何画板以数学为根本，以“动态几何”为特色来表现图形内在规律，帮助实现思维可视，使我们在重视直观的同时，使学生的思辨能力得到发展。
（三）实施的路径
《课程标准（2011年版）》指出：“把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。”“几何画板”软件的合理使用使其成为现实提供有力的路径。下面试从三角形等积变形的教学中，几何画板的具体运用来探寻学生思辨能力培养的实施路径。
教学总路径：
整个知识的架构分起始课、练习课、拓展课三课时进行。用这样的三个课时，进行知识之间的联结，梳理知识的脉络，明晰知识的本质。在解决问题的过程中不断提高学生的思辨能力，从基础到拓展，层层深入，抽丝剥茧，抓住实质以不变应万变，使学生的高阶思维能力得到不断地发展。
1.跟进练习课，提升“认知”
三角形等积变形的本质是底和高相等，乘积相等，其实质仍是“平行线间的距离处处相等”。与之相关的练习，学生最早接触的是平行四边形在平行线间的变化。以往的教学中只能运用画一画、或者用课件展示一下移动的过程。但几何画板不仅仅能体现画的过程和移动的过程，更是把高的变化与数结合起来，实现一个推理、验证的实验过程，从而对这一实质有更深刻的认识。
路径一：练习课教学思路
练习课中设计平行线间的平行四边形、梯形、三角形中的相关练习，让学生体会到高相等，底相等，面积也相等：图形的变化中，底不变，高是平行线间的距离，而平行线间的距离处处相等。
平行线间的平行四边形：
先观察，比较下面两个图形面积的大小。（见图4） 指名回答。
请同学们想办法用事实来说话！
测量出数据，计算一下。
发现了什么？为什么呢？
对，平行线间的距离处处相等。请看：（几何画板进行直观演示）
你看到了什么？
是的，像这样在平行线间的平行四边形，同底等高。同底等高的平行四边形面积相等，也就是说等底等高的平行四边形面积相等。
平行线间的梯形：
请计算下面这三个梯形的面积（方格边长1厘米）。
你发现了什么？
三个梯形的面积相等。
为什么呢？
高相等（高的概念、平行线间的距离处处相等），底相等（上底加下底的和相等），积相等。
还可以进行拖动进行变换进行验证，调整上下底的数据，但是保持上下底之和始终相等，加深对等积变形本质的理解。
而在学习三角形面积之后紧跟着做相似的练习，再次巩固等积变形的“实质”。
请同学们计算下图中三角形的面积。（见图7）
交流反馈。
他们想得对吗？有同学还有困难，请看：（几何画板动态演示）
现在，你知道了吗？
你能比较下图中两个三角形的面积吗？
等底等高三角形面积相等，两个面积相等的三角形减去同一个三角形。
利用几何画板拖曳功能，用不同的颜色进行标注、对比，真正让学生在思辨中联系、架构，进而提升对等底等高等面积的理解——平行线间的距离处处相等。
2.补充拓展课，思辨“本质”
有了前面的起始课和练习课的认识，更进一步设计项目学习。通过项目学习把所学的知识通过思辨内化为技能，达到深度学习和理解。
路径二：拓展课教学思路（见图11）
拓展课中，通过尝试、回溯与变式这三个练习环节，让学生辨析本质，判断、联系沟通各练习，使学生能对复杂的练习，去伪存真，挖掘其数学实质，从而正确地解决问题。
尝试——寻真求是
请同学们独立练习：
交流反馈进行回顾：平行线间的距离处处相等，等底等高的三角形面积相等。用几何画板对学生的想法进行说明。（见图13）
回溯——格物致知
拖动点L、M、N，使它们慢慢重合，观察面积的变化，感受形状在变，面积不变。并分析原因。
变式——思变思辨
再次尝试求出同样的两个正方形中构成的不同三角形的面积：（见图15）
四人小组讨论交流。
学生在画板上操作，尝试自己的想法。
重点指导第一个图形：
图中为什么要画这条虚线？
为什么两条对角线是平行的？
请继续研究：
你还能有其它的变化吗？
通过这节课的变式拓展，唤起学生的知识储备，灵活地运用“平行线之间的距离处处相等”这一知识源探索图形的变化及特点。
在这个内容的教学中，先挖掘出“本源”，然后在各起始课中利用几何画板“化静为动”，生动地进行理解与联系，帮助学生辨析高的本质。在不断地探究中打开学生的思路，辨析问题实质，延伸思维触角，灵活运用图形知识解决问题，高强度地培养空间想象能力，有效发展学生思辨能力。
三、收获与期望
《课标》指出：“作为课程的数学内容在充分展示它独有的抽象性的同时，还要考虑到学生学习数学的可接受性和心理适应性。因此，采用恰当的直观性手段就显得很有必要。”
本文试图让大家感受到几何画板的动图功能对于数学教学的辅助作用。借助几何画板的“动点”帮助学生在聚焦知識“本源”、提升“认知”、思辨“本质”的过程中，在有效解决图形问题的教学路径中让学生经历解决复杂问题的全过程。问题即使再复杂，但只要能思辨问题的实质，抓住本质，就能去伪存真，灵活地运用所学的知识进行联系与沟通，通过数形结合、化静为动等手段，找到正确的解决方法。从而有效地培养学生的数学思辨能力，提升学生的问题解决能力，发展学生的高阶思维。
当然，在实际操作过程中存在的问题肯定也很多，还需要我们更深入地思考与研究。笔者只是试图通过本文“几何画板”培养学生数学思辨能力，提升小学生高阶思维能力的路径探究，抛砖引玉，让更多的数学教师参与到几何画板与数学教学深度融合的研究中来，开发和完善更多的动图功能，让现代信息技术更好地为数学教学服务，与时俱进！
参考文献：
[1]郑久安，冀前前.信息技术与小学数学整合教学探索——以图形与几何教学为例[J/OL].中国教育技术装备：1-3[2019-11-04]
[2]翟珊. 动态几何软件在小学数学教学中的应用现状与对策研究[D].河南大学，2019.
[3]史宁中.数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012：68.