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[摘要]通过一道例题的多种证明方法，对高等数学习题课教学中如何充分发挥例题的启发功能和复习作用，提高例题解析质量和习题课教学效果作了一些探索。
[关键词]不等式 证明 教学方法
在高等数学的教学过程中，常常会遇到一题多解的现象[1]，在习题课上，通过对这类例题的分析、求解，不但可以使学生对所用到的知识、方法进行复习，加以巩固，加深对高等数学课程的了解，培养对数学学习的兴趣；同时对学生综合分析问题、解决问题能力的提高，对培养学生思维的灵活性和广阔性都有重要影响。现在通过证明不等式 来对高等数学中微分的应用部分的教学进行探讨。
证法1 设，则
所以 当 时， 单减，而
由此推得
令 ，即有
证法2 设 ，则
所以 当 时， 单增，而
由此推得对任意给定的x有 ，即
令 ，即有
证法3 设f(t)=1n(1+t)，对x＞0有f(t)在[0,x]上连续，在(0,x)内可导，
由Lagrange中值定理 知，至少存在一个
使得
又因为 ， 所以
令 ，即有
证法4 设f(t)=1n(1+t)，对x＞0有f(t)在 上连续，在 内可导，
由Lagrange中值定理 知，至少存在一个
使得
又因为 所以
令 ，即有
证法5 设f(t)=1nt，对x＞0有f(t)在[1,1+x]上连续，在(1,1+x)内可导，
由Lagrange中值定理 知，至少存在一个
使得
又因为 所以
令 ，即有
证法6 设f(t)=1nt，对x＞0有f(t)在 上连续，在 内可导，
由Lagrange中值定理 知，至少存在一个
使得
又因为 所以
令 ，即有
证法7 设f(t)=1nt，对x＞0有f(t)在[x,1+x]上连续，在(x,1+x)内可导，
由Lagrange中值定理 知，至少存在一个
使得
又因为 ， ，所以 ，
即
令 ，即有
证法8 因为 ，数列 为单调增加有界
数列，且有 ，
所以对任意给定的n，有
两边取对数可得 ，即
证法9 因为1n(1+x)的Maclaurin公式为
，其中ξ在0与x之间，
对x＞0，当n=1时有
在上式中 取 ，即有
证法10 设f(t)=1n(1+t)，g(t)=t，
对x＞0有f(t)、g(t)在[0,x]上连续，在(0,x)内可导，且g′(t)=1≠0
由Cauchy中值定理 知，至少存在一个ξ∈(0,x)
使得
所以
令 ，即有
证法11 设f(t)=1nt，g(t)=t，
对x＞0有f(t)、g(t)在[1,1+x]上连续，在(1,1+x)内可导，且g′(t)=1≠0
由Cauchy中值定理 知，至少存在一个ξ∈(1,1+x)
使得
所以
令 ，即有
证法12 设f(t)=1nt，g(t)=t，
对x＞0有f(t)、g(t)在[x,1+x]上连续，在(x,1+x)内可导，且g′(t)=1≠0
由Cauchy中值定理 知，至少存在一个ξ∈(x,1+x)
使得
所以 ，即
令 ，即有
此外设f(t)=1n(1+t)，g(t)=t，在 上；设f(t)
=1nt，g(t)=t在 上利用Cauchy中值定理都可得到相同的结果
从以上各种证明方法分析：证法1和证法2是利用函数的单调性[1]，但由于选择的函数不同，证明过程截然不同；证法3、4、5、6、7都是利用Lagrange中值定理[1]，但选择的函数和区间又各不相同；证法10、11、12是选择了不同的函数和区间，利用Cauchy中值定理[1]证明的，其思路与利用Lagrange中值定理证明相仿；证法8用到了数列的单调与其极限的关系，重要极限以及对数运算；证法9则是利用了Maclaurin公式[2][3]。本题从不同角度出发运用了多种方法作了简单的证明，分析各个证明方法之间的联系与差别，把不同的知识内容结合在一起，通过证明，使学生不但掌握了不等式的证明方法，同时对证明时所用到的知识、方法进行了复习，加深了记忆和理解，也增强了学生解题的灵活性。
一题多证能够使学生开阔视野，巩固知识，对培養学生多角度分析、解决问题的能力，激发学生灵感、培养创新意识，提高学生学习兴趣有着重要作用，这对于高等数学教学中方式方法的选择也是一个重要启示。在讨论习题时，一题多解是拓宽学生思维、培养学生从不同的角度思考问题的重要途径，是开发智力、培养能力的有效方法，因此，在高等数学的教学过程中，通过多种解法的探讨，可以促使学生展开思维，广泛联想，同时也有利于学生对基础知识、基本方法的掌握；通过对各种方法的比较，增强学生的求简意识、优化意识，对培养学生思维的发散性、广阔性和灵活性都是十分有益的。
[参考文献]
[1]同济大学数学系，高等数学[M]，北京：高等教育出版社，2007
[2]周占杰，一个积分题的多种解法[J]，辽宁师专学报，2006（9）
[3]封希媛，一例概率题的一题多解[J]，青海大学学报，2006（2）
（作者单位：郑州轻工业学院数学与信息科学系）
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
[关键词]不等式 证明 教学方法
在高等数学的教学过程中，常常会遇到一题多解的现象[1]，在习题课上，通过对这类例题的分析、求解，不但可以使学生对所用到的知识、方法进行复习，加以巩固，加深对高等数学课程的了解，培养对数学学习的兴趣；同时对学生综合分析问题、解决问题能力的提高，对培养学生思维的灵活性和广阔性都有重要影响。现在通过证明不等式 来对高等数学中微分的应用部分的教学进行探讨。
证法1 设，则
所以 当 时， 单减，而
由此推得
令 ，即有
证法2 设 ，则
所以 当 时， 单增，而
由此推得对任意给定的x有 ，即
令 ，即有
证法3 设f(t)=1n(1+t)，对x＞0有f(t)在[0,x]上连续，在(0,x)内可导，
由Lagrange中值定理 知，至少存在一个
使得
又因为 ， 所以
令 ，即有
证法4 设f(t)=1n(1+t)，对x＞0有f(t)在 上连续，在 内可导，
由Lagrange中值定理 知，至少存在一个
使得
又因为 所以
令 ，即有
证法5 设f(t)=1nt，对x＞0有f(t)在[1,1+x]上连续，在(1,1+x)内可导，
由Lagrange中值定理 知，至少存在一个
使得
又因为 所以
令 ，即有
证法6 设f(t)=1nt，对x＞0有f(t)在 上连续，在 内可导，
由Lagrange中值定理 知，至少存在一个
使得
又因为 所以
令 ，即有
证法7 设f(t)=1nt，对x＞0有f(t)在[x,1+x]上连续，在(x,1+x)内可导，
由Lagrange中值定理 知，至少存在一个
使得
又因为 ， ，所以 ，
即
令 ，即有
证法8 因为 ，数列 为单调增加有界
数列，且有 ，
所以对任意给定的n，有
两边取对数可得 ，即
证法9 因为1n(1+x)的Maclaurin公式为
，其中ξ在0与x之间，
对x＞0，当n=1时有
在上式中 取 ，即有
证法10 设f(t)=1n(1+t)，g(t)=t，
对x＞0有f(t)、g(t)在[0,x]上连续，在(0,x)内可导，且g′(t)=1≠0
由Cauchy中值定理 知，至少存在一个ξ∈(0,x)
使得
所以
令 ，即有
证法11 设f(t)=1nt，g(t)=t，
对x＞0有f(t)、g(t)在[1,1+x]上连续，在(1,1+x)内可导，且g′(t)=1≠0
由Cauchy中值定理 知，至少存在一个ξ∈(1,1+x)
使得
所以
令 ，即有
证法12 设f(t)=1nt，g(t)=t，
对x＞0有f(t)、g(t)在[x,1+x]上连续，在(x,1+x)内可导，且g′(t)=1≠0
由Cauchy中值定理 知，至少存在一个ξ∈(x,1+x)
使得
所以 ，即
令 ，即有
此外设f(t)=1n(1+t)，g(t)=t，在 上；设f(t)
=1nt，g(t)=t在 上利用Cauchy中值定理都可得到相同的结果
从以上各种证明方法分析：证法1和证法2是利用函数的单调性[1]，但由于选择的函数不同，证明过程截然不同；证法3、4、5、6、7都是利用Lagrange中值定理[1]，但选择的函数和区间又各不相同；证法10、11、12是选择了不同的函数和区间，利用Cauchy中值定理[1]证明的，其思路与利用Lagrange中值定理证明相仿；证法8用到了数列的单调与其极限的关系，重要极限以及对数运算；证法9则是利用了Maclaurin公式[2][3]。本题从不同角度出发运用了多种方法作了简单的证明，分析各个证明方法之间的联系与差别，把不同的知识内容结合在一起，通过证明，使学生不但掌握了不等式的证明方法，同时对证明时所用到的知识、方法进行了复习，加深了记忆和理解，也增强了学生解题的灵活性。
一题多证能够使学生开阔视野，巩固知识，对培養学生多角度分析、解决问题的能力，激发学生灵感、培养创新意识，提高学生学习兴趣有着重要作用，这对于高等数学教学中方式方法的选择也是一个重要启示。在讨论习题时，一题多解是拓宽学生思维、培养学生从不同的角度思考问题的重要途径，是开发智力、培养能力的有效方法，因此，在高等数学的教学过程中，通过多种解法的探讨，可以促使学生展开思维，广泛联想，同时也有利于学生对基础知识、基本方法的掌握；通过对各种方法的比较，增强学生的求简意识、优化意识，对培养学生思维的发散性、广阔性和灵活性都是十分有益的。
[参考文献]
[1]同济大学数学系，高等数学[M]，北京：高等教育出版社，2007
[2]周占杰，一个积分题的多种解法[J]，辽宁师专学报，2006（9）
[3]封希媛，一例概率题的一题多解[J]，青海大学学报，2006（2）
（作者单位：郑州轻工业学院数学与信息科学系）
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”