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【摘要】新课程标准指出：数学文化是贯穿整个高中数学课程的重要内容之一，并要求将其渗透在每个模块或者专题中.本文主要通过几个例子探讨了在高中开设数学文化选修课程的教学设计途径，希望通过选修课程的开设引导学生去探索数学发展的历史轨迹，激发学生的学习趣味，提高学生的文化素养和创新能力。
【关键词】数学文化 选修课程 设计途径
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）19-0036-03
目前，新课程标准指出：数学文化是贯穿整个高中数学课程的重要内容之一，并要求将其渗透在每个模块或者专题中。数学文化建设，已经成为各国教师教育研究和培训工作者关心与讨论的热点。传统的教学模式：定义-定理-例题-习题，难以让学生热爱数学，并且禁锢了学生的创新意识。我们就需要在数学课程上给学生融入数学文化的相关知识。但是上课时间有限，我们不能系统的讲述，所以我们建议适当开设少学时的数学文化选修课程，使得学生在选修课堂上对于数学的发展历程，数学家的故事及数学分支等有所了解。接下来，本文就应用几个实例来探讨下高中数学文化选修课程的教学设计途径。
一、以历史为载体的教学设计
在数学教学中融入历史，带进人物，使得数学充满人情味。以历史为载体的教学可以在课堂上展示趣闻轶事，也可以注入历史材料，还可以将历史的发展过程作为我们选修课程本身的一部分，例如，数学史上的三次危机。本案例是在概率选修课程的导入部分。
【案例1】大样本一定能保证调查结论准确吗？ 1936年，美国《文学文摘》杂志根据1 000万用户和从该杂志订户所收回的意见。断言兰登将以370：1 61的优势在总统选举中击败罗斯福，但结果是：罗斯福当选了，《文学文摘》大丢面子，原因何在呢？
以众所周知的历史为载体，引发学生思考和讨论。讨论后的结论是：样本出了问题：1936年美国的电话普及率并不高，其次，该杂志订户也很有限，因此，1000万户的大样本仍然属于特殊群体，不具有代表性。
二、以探究为导向的教学设计
如果要学生学习科学的数学方法，体味数学的形成与变化过程，有什么方法比通过积极的探究更好呢？而且积极地探究也更能勾起学生学习与创新的欲望。本案例是针对高中轨迹章节的拓展选修内容。
【案例2】在轨迹的探究课堂上，老师提出这样的探究问题：平面内与两定点的距离之积为常数的动点P的轨迹。
生：以F1，F2所在直线为X轴，以线段F1F2的垂直平分线为Y轴建立平面直角坐标系；设|F1F2|=2c（c>0），再设动点P的坐标为P（x，y）
∵|MF1|·|MF2|=m，
两边平方，化简得：
x4+y4+2x2y2-2c2y2+c4-m2=0
当通过列式化简得到一个二元四次函数的时候，学生们遇到困惑不知道该如何进展下去，太难了，打算放弃。这时候老师却告诉大家：“别急，我们有办法”。
师：几何画板演示当c与m的大小发生改变时，我们一起欣赏会图形的变化。
在几何画板的帮助下，老师演绎出了伯努力双曲线，卡西尼卵形线的形成与变化。这个时候学生的眼里闪现的是惊喜和欣赏。原来数学这么神奇！
接下来就可以引导学生分析引起图形变化的因子，进而由图像的对称性进行参数的分类讨论，深层次探索“平面到两定点之和，之差，之比的轨迹”。既能巩固课堂所学知识，还能很好地培养学生的探索与创新意识。
三、以数学欣赏为切入点的教学设计
其实，对美与数学的探讨自古就有。开普勒认为：“数学是这个世界之美的原型。”著名的法国数学家、物理学家彭加勒说：“感觉数学的美，感觉数和形的调和，感觉几何学的优雅，这是所有数学家都知道的美感。”当然，数学文化的美学观也会对数学教育有着重要影响。本案例以欣赏图形的美和爱情故事的美来引导学生感受数与形相结合的数学思想。
【案例3】不解风情的真相：笛卡尔、公主与心形曲线的欣赏。
笛卡尔与克里斯汀公主美丽而哀伤的爱情故事深深地打动着我们的学生，而当年笛卡尔给公主的情书就是一个函数：r=a（1-sinθ）。这是一个极坐标形式的函数，其中a为参数，不同的取值可以得到不同的图像，当a<0，就是一个倒转的心形图，下面就是当a=1和a=-1时的图像。
在直角坐标里，y=1-sinx时一个太普通不过的函数，但是若将之看成极坐标函数，则得到一个非常漂亮的曲线，看来一个人的外表不重要，关键是看你站在什么位置，不同的位置将会有不同的价值体现。而且不要以为数学就是一堆公式，数学也很感性。
引申欣赏：不错的几个心形曲线：
（1）通过椭圆绘制的心形函数（图5）
你可以通过绘制两条椭圆并限制定义域的方法绘制。当然因为高中学生没有学习倾斜的椭圆，所以我们可以引导学生在选修课程上自己动手，通过对椭圆进行旋转和取值限制得到。
（2）通过单值函数合成的图像
这个方程下的图像（图6））非常完美，形状非常接近心目中的爱心图形，你可以将之看成两个单值函数图像的合成：
（3）随着信息的发展和对数学的探索，有人早就画出了3D版的心形图像
其实这些美丽的图片在网络上我们可以大量的查询到，将数与形结合起来，画图其实是一种简单的数学语言，体现了数量之间的关系，也能充分体现出数学的美。
四、以游戏为情境的教学设计
数学中的游戏能为学生动手，动脑，动口，多种感官参与学习活动创造更好的环境。在“趣”中学，在“赛”中练，调动学生的好奇心与求知欲望是设计游戏的目标。下面通过一个游戏设计引导学生进入斐波那契数列的学习中。 【案例4】师：首先请同学们做一个小游戏：十秒钟的加法
1+2+3+5+8+13+21+34+55+89=？（PPT展示）
师：十秒到！请问哪位同学能把你的答案和大家分享下？ 生A：231
师：很好！那我们再来一次。34+55+89+144+233+377+610+987+1597+2584=？
师：时间到！算出来的同学可以报下你的答案。生一片安静。
师：呵呵，数字有点大，计算难度增加。不过没关系，通过这节斐波那契数列选修课程的学习大家可以很容易找到他们的规律进行计算。
课程学习：兔子问题：假设理想状态下：一对大兔子每月生对小兔子，每对新生在出生一个月后又下崽，假若兔子不死亡。问：一对兔子一年能繁殖多少对兔子？
这个问题小学生也能慢慢算出来，但我们既然是高中生，就要有所突破。我们这里可以针对大兔子和小兔子对数列个表格：
可以得到共有兔子144对。
高中生不仅仅要填数，而且要找规律，这就是数学素养。
规律：1 每个月的小兔子数=上个月的大兔子数
2 每个月的大兔子数=上个月大兔子数+上个月小兔子数
3 每个月的大兔子数=前两个月的大兔子数的和
这个就是斐波那契数列的规律。由这个规律，我们可以得到一个二阶递推公式：
Fn表示n个月的兔子对数。
当然由这个公式可以推导出很多规律，计算能力远远超过小学生水平，而且会有更多更丰富的内容在里面。
然后引导学生研究斐波那契数列在各个领域的奇妙之处。
（1）自然界中的斐波那契数列。
（2）斐波那契数列与黄金比例。
（3）证券投资的艾略特“波浪理论”。
（4）斐波那契数列与股市时间。
五、以未知领域探索为依托的教学设计
在欧美大片中，我们经常看到这样的镜头：通过眼睛或者指纹，可以打开安全系统智能大门。智能识别系统在高中生眼里还是充满了神秘感。利用学生的好奇心可以引发对数学本质与用途的思考。智能识别系统有人脸识别，虹膜识别，掌纹识别，指纹识别，还有笔迹鉴定等。这里以笔者比较熟悉的水印识别为例，引领学生走进数学的广泛应用中。
【例5】对着灯光，我们可以看到100元钞票里有隐藏的毛主席头像，这就是钞票中的防伪标识之一—水印。那么水印是怎么嵌进去的呢？它在多媒体数字产品中又如何证明产权所有呢？我们用简单的图例与流程引导大家分析。当然在这里我们需要先了解任意的图像甚至我们的人脸，手掌都是可以用一个数字的矩阵表示的，我们的操作都是在这样的原理上进行
的。
接下来将置乱后的水印嵌入到原始载体的2级分解图的系数中，进行还原，可以得到加水印的图片（e），这张图片不仅仅能再次提取出水印，而且具有很强的抗攻击性，既在网络上传播时，被别人剪切，压缩，锐化，加噪音后依然可以使用我们手中的密码提取出水印，证明版权，或者防伪。如图所
示：
其实这类应用在医学，天文，音乐处理等很广泛。甚至我们每个人都用过的手机中的美图秀秀都是类似原理。
六、结束语
伯金斯教授和加德纳教授认为：尽管获得和保存知识是教育的重要目标，但只有当学习者在理解的基础上内化这些知识时，知识才能真正成为他自己的知识。数学文化选修课程突出数学文化渗透，注重知识理解，引导学生探究，欣赏数学之美，穿插历史，开阔视野，让学生更亲近数学。
参考文献：
[1]葛斌华.《数学文化漫谈》[M]，经济科学出版社：2009-10
[2]吴军.《数学之美》[M]，人民邮电出版社：2012-5
[3]孙魁.《身边的数学》[M]，中国林业出版社：2004-1
[4]何晴艳.《基于不可分小波及经验模式分解的水印算法研究》[D]，硕士论文：2008-5
【关键词】数学文化 选修课程 设计途径
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）19-0036-03
目前，新课程标准指出：数学文化是贯穿整个高中数学课程的重要内容之一，并要求将其渗透在每个模块或者专题中。数学文化建设，已经成为各国教师教育研究和培训工作者关心与讨论的热点。传统的教学模式：定义-定理-例题-习题，难以让学生热爱数学，并且禁锢了学生的创新意识。我们就需要在数学课程上给学生融入数学文化的相关知识。但是上课时间有限，我们不能系统的讲述，所以我们建议适当开设少学时的数学文化选修课程，使得学生在选修课堂上对于数学的发展历程，数学家的故事及数学分支等有所了解。接下来，本文就应用几个实例来探讨下高中数学文化选修课程的教学设计途径。
一、以历史为载体的教学设计
在数学教学中融入历史，带进人物，使得数学充满人情味。以历史为载体的教学可以在课堂上展示趣闻轶事，也可以注入历史材料，还可以将历史的发展过程作为我们选修课程本身的一部分，例如，数学史上的三次危机。本案例是在概率选修课程的导入部分。
【案例1】大样本一定能保证调查结论准确吗？ 1936年，美国《文学文摘》杂志根据1 000万用户和从该杂志订户所收回的意见。断言兰登将以370：1 61的优势在总统选举中击败罗斯福，但结果是：罗斯福当选了，《文学文摘》大丢面子，原因何在呢？
以众所周知的历史为载体，引发学生思考和讨论。讨论后的结论是：样本出了问题：1936年美国的电话普及率并不高，其次，该杂志订户也很有限，因此，1000万户的大样本仍然属于特殊群体，不具有代表性。
二、以探究为导向的教学设计
如果要学生学习科学的数学方法，体味数学的形成与变化过程，有什么方法比通过积极的探究更好呢？而且积极地探究也更能勾起学生学习与创新的欲望。本案例是针对高中轨迹章节的拓展选修内容。
【案例2】在轨迹的探究课堂上，老师提出这样的探究问题：平面内与两定点的距离之积为常数的动点P的轨迹。
生：以F1，F2所在直线为X轴，以线段F1F2的垂直平分线为Y轴建立平面直角坐标系；设|F1F2|=2c（c>0），再设动点P的坐标为P（x，y）
∵|MF1|·|MF2|=m，
两边平方，化简得：
x4+y4+2x2y2-2c2y2+c4-m2=0
当通过列式化简得到一个二元四次函数的时候，学生们遇到困惑不知道该如何进展下去，太难了，打算放弃。这时候老师却告诉大家：“别急，我们有办法”。
师：几何画板演示当c与m的大小发生改变时，我们一起欣赏会图形的变化。
在几何画板的帮助下，老师演绎出了伯努力双曲线，卡西尼卵形线的形成与变化。这个时候学生的眼里闪现的是惊喜和欣赏。原来数学这么神奇！
接下来就可以引导学生分析引起图形变化的因子，进而由图像的对称性进行参数的分类讨论，深层次探索“平面到两定点之和，之差，之比的轨迹”。既能巩固课堂所学知识，还能很好地培养学生的探索与创新意识。
三、以数学欣赏为切入点的教学设计
其实，对美与数学的探讨自古就有。开普勒认为：“数学是这个世界之美的原型。”著名的法国数学家、物理学家彭加勒说：“感觉数学的美，感觉数和形的调和，感觉几何学的优雅，这是所有数学家都知道的美感。”当然，数学文化的美学观也会对数学教育有着重要影响。本案例以欣赏图形的美和爱情故事的美来引导学生感受数与形相结合的数学思想。
【案例3】不解风情的真相：笛卡尔、公主与心形曲线的欣赏。
笛卡尔与克里斯汀公主美丽而哀伤的爱情故事深深地打动着我们的学生，而当年笛卡尔给公主的情书就是一个函数：r=a（1-sinθ）。这是一个极坐标形式的函数，其中a为参数，不同的取值可以得到不同的图像，当a<0，就是一个倒转的心形图，下面就是当a=1和a=-1时的图像。
在直角坐标里，y=1-sinx时一个太普通不过的函数，但是若将之看成极坐标函数，则得到一个非常漂亮的曲线，看来一个人的外表不重要，关键是看你站在什么位置，不同的位置将会有不同的价值体现。而且不要以为数学就是一堆公式，数学也很感性。
引申欣赏：不错的几个心形曲线：
（1）通过椭圆绘制的心形函数（图5）
你可以通过绘制两条椭圆并限制定义域的方法绘制。当然因为高中学生没有学习倾斜的椭圆，所以我们可以引导学生在选修课程上自己动手，通过对椭圆进行旋转和取值限制得到。
（2）通过单值函数合成的图像
这个方程下的图像（图6））非常完美，形状非常接近心目中的爱心图形，你可以将之看成两个单值函数图像的合成：
（3）随着信息的发展和对数学的探索，有人早就画出了3D版的心形图像
其实这些美丽的图片在网络上我们可以大量的查询到，将数与形结合起来，画图其实是一种简单的数学语言，体现了数量之间的关系，也能充分体现出数学的美。
四、以游戏为情境的教学设计
数学中的游戏能为学生动手，动脑，动口，多种感官参与学习活动创造更好的环境。在“趣”中学，在“赛”中练，调动学生的好奇心与求知欲望是设计游戏的目标。下面通过一个游戏设计引导学生进入斐波那契数列的学习中。 【案例4】师：首先请同学们做一个小游戏：十秒钟的加法
1+2+3+5+8+13+21+34+55+89=？（PPT展示）
师：十秒到！请问哪位同学能把你的答案和大家分享下？ 生A：231
师：很好！那我们再来一次。34+55+89+144+233+377+610+987+1597+2584=？
师：时间到！算出来的同学可以报下你的答案。生一片安静。
师：呵呵，数字有点大，计算难度增加。不过没关系，通过这节斐波那契数列选修课程的学习大家可以很容易找到他们的规律进行计算。
课程学习：兔子问题：假设理想状态下：一对大兔子每月生对小兔子，每对新生在出生一个月后又下崽，假若兔子不死亡。问：一对兔子一年能繁殖多少对兔子？
这个问题小学生也能慢慢算出来，但我们既然是高中生，就要有所突破。我们这里可以针对大兔子和小兔子对数列个表格：
可以得到共有兔子144对。
高中生不仅仅要填数，而且要找规律，这就是数学素养。
规律：1 每个月的小兔子数=上个月的大兔子数
2 每个月的大兔子数=上个月大兔子数+上个月小兔子数
3 每个月的大兔子数=前两个月的大兔子数的和
这个就是斐波那契数列的规律。由这个规律，我们可以得到一个二阶递推公式：
Fn表示n个月的兔子对数。
当然由这个公式可以推导出很多规律，计算能力远远超过小学生水平，而且会有更多更丰富的内容在里面。
然后引导学生研究斐波那契数列在各个领域的奇妙之处。
（1）自然界中的斐波那契数列。
（2）斐波那契数列与黄金比例。
（3）证券投资的艾略特“波浪理论”。
（4）斐波那契数列与股市时间。
五、以未知领域探索为依托的教学设计
在欧美大片中，我们经常看到这样的镜头：通过眼睛或者指纹，可以打开安全系统智能大门。智能识别系统在高中生眼里还是充满了神秘感。利用学生的好奇心可以引发对数学本质与用途的思考。智能识别系统有人脸识别，虹膜识别，掌纹识别，指纹识别，还有笔迹鉴定等。这里以笔者比较熟悉的水印识别为例，引领学生走进数学的广泛应用中。
【例5】对着灯光，我们可以看到100元钞票里有隐藏的毛主席头像，这就是钞票中的防伪标识之一—水印。那么水印是怎么嵌进去的呢？它在多媒体数字产品中又如何证明产权所有呢？我们用简单的图例与流程引导大家分析。当然在这里我们需要先了解任意的图像甚至我们的人脸，手掌都是可以用一个数字的矩阵表示的，我们的操作都是在这样的原理上进行
的。
接下来将置乱后的水印嵌入到原始载体的2级分解图的系数中，进行还原，可以得到加水印的图片（e），这张图片不仅仅能再次提取出水印，而且具有很强的抗攻击性，既在网络上传播时，被别人剪切，压缩，锐化，加噪音后依然可以使用我们手中的密码提取出水印，证明版权，或者防伪。如图所
示：
其实这类应用在医学，天文，音乐处理等很广泛。甚至我们每个人都用过的手机中的美图秀秀都是类似原理。
六、结束语
伯金斯教授和加德纳教授认为：尽管获得和保存知识是教育的重要目标，但只有当学习者在理解的基础上内化这些知识时，知识才能真正成为他自己的知识。数学文化选修课程突出数学文化渗透，注重知识理解，引导学生探究，欣赏数学之美，穿插历史，开阔视野，让学生更亲近数学。
参考文献：
[1]葛斌华.《数学文化漫谈》[M]，经济科学出版社：2009-10
[2]吴军.《数学之美》[M]，人民邮电出版社：2012-5
[3]孙魁.《身边的数学》[M]，中国林业出版社：2004-1
[4]何晴艳.《基于不可分小波及经验模式分解的水印算法研究》[D]，硕士论文：2008-5