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教学案例：
在一次校级教研活动中，一位教师执教了苏教版教材“圆的周长”一课。在教学过程中，教师组织学生四人一组进行合作，通过动手测量、计算来探索圆周长与直径的关系。在学生操作、计算的基础上，师生进行了以下的交流。
师：大约在2000多年前，我国古代的数学著作《周髀算经》中就有“周三径一”的记载，你能说说“周三径一”这句话的意思吗？
生1：“周三径一”这句话是说圆的周长是直径的3倍。
师：“周三径一”是古人的研究成果。下面，请同学们交流一下刚才自己测量、计算的结果。
生2：我测得一个圆的直径是1厘米，周长是3.14厘米，得出周长是直径的3.14倍。
生3：我测得一个瓶盖的直径是3厘米，周长是9.42厘米，得出周长也是直径的3.14倍。
生4：我测得一个圆的直径是6厘米，周长是18.9厘米，得出周长是直径的3.15倍。
……
师：通过大家刚才的测量和计算，你发现圆的周长和直径之间有什么关系呢？
生5：通过实验，我发现圆的周长总是直径的3倍多一些。
（教师在此基础上揭示圆周率的意义，并逐步引导学生推导出圆的周长计算公式）
诊断分析：
上述教学中，虽然学生进行了动手操作，但不难看出学生的操作是虚假的、无效的，不仅不利于学生的进一步认知，而且对学生数学素养的发展也是无益的。分析上述教学中的操作过程，不难发现存在以下问题。
1.价值引导的缺乏
从上述教学中可以看出，学生对圆的周长与直径的倍数关系（圆周率）不是一无所知的，之所以会出现与圆周率相近的结果，是因为他们已经知道圆周率是多少。学生“测量”出来的数据明显是刻意“制造”出来应付老师的，因为用普通的直尺测量时，以厘米为单位，是无论如何测量不出精确到两位小数的数值。不仅如此，学生似乎为避免让教师看出数据是制造出来的，还“制造”出周长是直径的3.15倍的数据。教师也许发现了其中存在的问题，但并没有根据课堂生成进行灵活调控。或许在教师看来，得到圆周长与直径的倍数关系并推导出圆的周长计算公式才是这一课的教学重点，操作只是教学的点缀。因此，学生虚假的操作，与师生未能充分认识操作的价值有很大关系。
2.操作指导的缺失
虽然学生已经掌握了用直尺测量线段长度的方法，但测量像圆周这样曲线的长度还是第一次。因此，在学生测量之前，教师有必要进行方法的指导，强调测量的要求。如上述教学中，学生出现虚假的测量数据，不排除部分学生因不会操作而索性走“捷径”的情况。另外，学生在操作过程中，教师如果及时巡视，一定会了解到学生操作中存在的问题，就能及时地进行方法指导，从而避免教学中出现的问题。
3.操作评价的偏颇
上述教学中，也许教师为了课堂教学能顺利进行，对学生“制造”出来的数据采取了默认的态度。教师对这种故意制造出来的实验结果，如果不能及时地否定或制止，其后果是严重的，不仅影响了学生对操作活动科学性、必要性的认识，更不利于学生形成严谨、求实的学习态度，甚至会影响学生健康人格的发展。
那么，教师该如何引导学生进行操作？怎样充分发挥操作的价值？笔者认为，有效的操作必须做到以下几点。
一、价值引导，让学生想操作
《数学课程标准》明确指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手操作、自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式。”因此，教师要充分认识操作活动对学生学习的价值，教学中尽量为学生提供从事数学活动和交流的机会，促使他们在自主探究的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。正如美国华盛顿国立图书馆墙上写的三句话：“我听见了，但可能忘记；我看见了，就可能记住；我做过了，便真正理解了。”只有让学生通过对各种材料的操作、分析和思考，调动多种感官参与学习活动，才能帮助他们形成准确的表象，进而建立概念，探究规律。同时，教师还要让学生明白，实际测量是允许有一定误差的。只有让学生明白了操作的意义和价值，才会使学生自觉操作、认真操作、真实操作。
二、策略指导，让学生会操作
小学生的动手操作能力比较弱，需要教师在教学中加以指导和帮助。如上述教学中，学生对测量圆的周长是有一定困难的，需要教师对圆周长的测量方法作出具体的指导：用绕线方法测量时，强调绕线要贴紧圆周，并剪去多余部分；用滚动方法测量时，强调从0刻度开始，并在圆上作出明显的标志，要滚动到此标志再次指向直尺上的刻度为止，且滚动时圆周不能滑动。学生只有掌握了正确的操作方法才能操作、才会操作，为探究学习提供有力的保障。
三、科学评价，让学生真操作
在操作过程中，教师要深入到学生之中，了解学生操作活动的真实情况，为操作活动的总结与评价积累第一手资料。教师要客观地对待学生操作活动的结果，对误差较大的操作结果要帮助他们寻找原因，指出改正的方法；对“制造”的虚假数据，要旗帜鲜明地予以否定，并帮助他们端正认识。教师应充分发挥评价的激励和调控作用，及时、客观地评价学生的操作结果、操作态度等，帮助学生形成良好的行为习惯和价值取向。
在一次校级教研活动中，一位教师执教了苏教版教材“圆的周长”一课。在教学过程中，教师组织学生四人一组进行合作，通过动手测量、计算来探索圆周长与直径的关系。在学生操作、计算的基础上，师生进行了以下的交流。
师：大约在2000多年前，我国古代的数学著作《周髀算经》中就有“周三径一”的记载，你能说说“周三径一”这句话的意思吗？
生1：“周三径一”这句话是说圆的周长是直径的3倍。
师：“周三径一”是古人的研究成果。下面，请同学们交流一下刚才自己测量、计算的结果。
生2：我测得一个圆的直径是1厘米，周长是3.14厘米，得出周长是直径的3.14倍。
生3：我测得一个瓶盖的直径是3厘米，周长是9.42厘米，得出周长也是直径的3.14倍。
生4：我测得一个圆的直径是6厘米，周长是18.9厘米，得出周长是直径的3.15倍。
……
师：通过大家刚才的测量和计算，你发现圆的周长和直径之间有什么关系呢？
生5：通过实验，我发现圆的周长总是直径的3倍多一些。
（教师在此基础上揭示圆周率的意义，并逐步引导学生推导出圆的周长计算公式）
诊断分析：
上述教学中，虽然学生进行了动手操作，但不难看出学生的操作是虚假的、无效的，不仅不利于学生的进一步认知，而且对学生数学素养的发展也是无益的。分析上述教学中的操作过程，不难发现存在以下问题。
1.价值引导的缺乏
从上述教学中可以看出，学生对圆的周长与直径的倍数关系（圆周率）不是一无所知的，之所以会出现与圆周率相近的结果，是因为他们已经知道圆周率是多少。学生“测量”出来的数据明显是刻意“制造”出来应付老师的，因为用普通的直尺测量时，以厘米为单位，是无论如何测量不出精确到两位小数的数值。不仅如此，学生似乎为避免让教师看出数据是制造出来的，还“制造”出周长是直径的3.15倍的数据。教师也许发现了其中存在的问题，但并没有根据课堂生成进行灵活调控。或许在教师看来，得到圆周长与直径的倍数关系并推导出圆的周长计算公式才是这一课的教学重点，操作只是教学的点缀。因此，学生虚假的操作，与师生未能充分认识操作的价值有很大关系。
2.操作指导的缺失
虽然学生已经掌握了用直尺测量线段长度的方法，但测量像圆周这样曲线的长度还是第一次。因此，在学生测量之前，教师有必要进行方法的指导，强调测量的要求。如上述教学中，学生出现虚假的测量数据，不排除部分学生因不会操作而索性走“捷径”的情况。另外，学生在操作过程中，教师如果及时巡视，一定会了解到学生操作中存在的问题，就能及时地进行方法指导，从而避免教学中出现的问题。
3.操作评价的偏颇
上述教学中，也许教师为了课堂教学能顺利进行，对学生“制造”出来的数据采取了默认的态度。教师对这种故意制造出来的实验结果，如果不能及时地否定或制止，其后果是严重的，不仅影响了学生对操作活动科学性、必要性的认识，更不利于学生形成严谨、求实的学习态度，甚至会影响学生健康人格的发展。
那么，教师该如何引导学生进行操作？怎样充分发挥操作的价值？笔者认为，有效的操作必须做到以下几点。
一、价值引导，让学生想操作
《数学课程标准》明确指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手操作、自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式。”因此，教师要充分认识操作活动对学生学习的价值，教学中尽量为学生提供从事数学活动和交流的机会，促使他们在自主探究的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。正如美国华盛顿国立图书馆墙上写的三句话：“我听见了，但可能忘记；我看见了，就可能记住；我做过了，便真正理解了。”只有让学生通过对各种材料的操作、分析和思考，调动多种感官参与学习活动，才能帮助他们形成准确的表象，进而建立概念，探究规律。同时，教师还要让学生明白，实际测量是允许有一定误差的。只有让学生明白了操作的意义和价值，才会使学生自觉操作、认真操作、真实操作。
二、策略指导，让学生会操作
小学生的动手操作能力比较弱，需要教师在教学中加以指导和帮助。如上述教学中，学生对测量圆的周长是有一定困难的，需要教师对圆周长的测量方法作出具体的指导：用绕线方法测量时，强调绕线要贴紧圆周，并剪去多余部分；用滚动方法测量时，强调从0刻度开始，并在圆上作出明显的标志，要滚动到此标志再次指向直尺上的刻度为止，且滚动时圆周不能滑动。学生只有掌握了正确的操作方法才能操作、才会操作，为探究学习提供有力的保障。
三、科学评价，让学生真操作
在操作过程中，教师要深入到学生之中，了解学生操作活动的真实情况，为操作活动的总结与评价积累第一手资料。教师要客观地对待学生操作活动的结果，对误差较大的操作结果要帮助他们寻找原因，指出改正的方法；对“制造”的虚假数据，要旗帜鲜明地予以否定，并帮助他们端正认识。教师应充分发挥评价的激励和调控作用，及时、客观地评价学生的操作结果、操作态度等，帮助学生形成良好的行为习惯和价值取向。