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【摘 要】新课程标准关注在教学中培养学生的数学能力，而掌握基本的数学思想方法则是形成和发展学生能力的基础。在数学教学中注重数学思想方法的培养，不仅可以提高课堂教学效率，减轻学生负担，而且有利于提高学生的数学思维能力，培养其创新精神。而化归方法是最重要、应用最广泛的数学思想。本文将借助高中数学必修四第一、第三章及必修五第一章三角函数部分具体阐述化归方法在数学中的应用。
【关键词】化归 等价 非等价 三角函数
客观事物总是在不断变化的,并在一定条件下是会转化的。通过转化，将待解决的问题逐步转化为可解决的问题的思维方法，叫做等价与非等价化归，或称化归方法。化归思想是数学思想的核心，其内涵十分丰富：高维向低维的化归，陌生向熟悉的化归，复杂向简单的化归，抽象向直观的化归，多元向一元的化归，高次向低次的化归，未知向已知的化归，数与形的化归，一般与特殊的化归，动与静的化归，有限与无限的化归等等，在数学中无时不有，无处不在。
化归思想贯穿于各级各类数学教材的始终，贯穿于解题过程的始终，它是最重要、应用最广泛的数学思想。本文将着重介绍化归方法在三角函数中的应用。
现行普通高中课程标准试验教科书数学必修四第一章、第三章及必修五第一章三角函数的内容主要分为任意角的三角函数、两角和与差的三角函数、三角函数的图像和性质、解三角形四部分。总结这几章的学习内容和习题，我们会发现其中大量运用了化归思想，现概括成以下两个方面：
一、等价化归
所谓等价化归,就是在保持一个数学系统的条件下,把所讨论的数学问题中的有关命题或对象的表现形式做可逆的逻辑改变（即由A经过逻辑推理或演算可以推出B，反过来由B又可经逻辑推理或演算可以推出A）。以使所讨论的数学问题化归为我们熟悉的或容易处理的问题。
在三角函数部分，进行三角函数式的化简、求值、恒等变形和证明时，常常需要等价化归的思想，下面着重谈谈运用等价化归思想应遵循的几个原则：
1.把未知化归为已知。
三角函数部分，用到此思想最多的便是利用诱导公式把求任意角的三角函数值逐步化归成求锐角三角函数值。一般可以按下面的步骤进行：
例.求下列三角函数值:
（1）sinπ （２）cos(－π)
解：（１）sinπ=sin（2π－π）=sin（－π）=－
（2）cos(－π)=cos(－－3×2π)=cos=
2.把数化归为形。
代数是研究“数”的科学，几何则是研究“形”的科学；三角函数作为一种工具，两者兼而有之。代数与几何是对立的两个方面，二者在坐标系下统一了起来。
三角函数的解析式，我们称之为“数”，单位圆、直角三角形等理解为“形”。三角函数的图像可以直观地反映出三角函数的性质；反之，掌握了三角函数的性质，就能简捷地做出图像，两者是相辅相成的。三角函数的图像，可以看作“数”向“形”的一种转换，由于这一转换，可以使学生直观地认识三角函数的一些规律：如三角函数的定义域、值域（即图像在坐标平面上的伸展范围）；最大值、最小值（图像上的最高点、最低点）；奇偶性（图像关于原点或y轴对称）；单调性（图像的升降情况）；周期性（图像每隔一定距离形状相同）等。
把已知三角函数值求角化归为求[0,2π]上适合条件的角的集合，也是把数化归为形思想的典型应用。
例：解不等式：sinx＜-
解：在轴上过(0，－)的点C作x轴的平行线。交单位圆于Ａ、Ｂ两点。从图可见，在［0，2π］上，分别得交点π和π。∴其解集为｛π+2kπ＜x＜π+2kπ，k∈Z｝
与研究中学数学中各类函数一样，研究三角函数定义和性质所采用的基本方法就是把数化归为形。利用单位圆和三角函数图像表示任意角的三角函数值；在分析和解决有关比较三角函数值的大小、角的终边位置与三角函数值的符号关系、已知三角函数值求角、已知三角函数值的取值范围确定角的取值范围等问题中，单位圆和三角函数图像都可提供简捷、有效的思路和方法。
3.把对立化归为统一。
化归应朝着使待解决问题在条件和结论的表现形式上趋于和谐，在量、形、数关系方面趋于统一的方向进行。
对于三角函数部分的证明题目，面对众多的三角公式和纷繁的结构，学生普遍感到无从入手，不知道该用哪个公式，通过什么途径，去实现一边到另一边的化归。应该运用对立统一的原则进行指导，消除对立，力争统一来找入手点。一般方法是化异名为同名、化异角为同角、化异次为同次、化切为弦等，其实质均是“统一”的思想。
例：已知f(sinx)=sin2006x，求f(cosx)的值。
分析：已知是f(sinx)，而目标是f(cosx)，那么就首先应把cosx转换成sinx，这就要找出它们之间的内在联系：cosx=sin(-x)，是求证可以向已知转换。
解：f(cosx)＝f［sin（-x）＝sin［2006（－x）］=sin（1003π－2006x）=sin（π－2006x）=sin2006x
分析上述解题思维过程，将元素（sinx，cosx）统一即将条件与结论统一是关键。其实，回顾一下中学数学学习，很多内容是遵循着统一性原则的：如分式的加减运算要统一为同分母的分式加减运算；不同底的对数式运算常通过换底公式统一为同底数的对数来运算；三角诱导公式的重要作用就是实现三角式的和谐统一等等。所以，统一性原则是等价化归的一项重要原则。
4.把复杂化归为简单。
在化归中尽量把复杂的问题或条件通过分解转化成简单的问题或条件，往往可以收到事半功倍的效果。
例：锐角△ABC中，求证sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC
分析：本题看来似乎很简单，但从整体上解答比较难于入手。由三个角的和为π，以及三角函数间的转化关系，我们可以把三个参数（A、B、C）转化为两个参数，以达到化归的目的。
证明：∵△ABC为锐角三角形
∴A+B=π－C＞,A＞－B，即0＜－B＜A＜
依正弦函數在［0，］上的增减性知：sinA＞sin（－B）=cosB
同理：sinB＞cosC，sinC＞cosA
三式相加即得：sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC
5.把问题模式化归为联想模式。
联想，特别是相似联想，是实现化归的重要途径。所谓“相似联想”，就是将面临的问题，从它的数、式和形的某一方面特点与我们已熟知的某种模式加以联想和比较，并设法从新模式（问题中的模式）转化为旧模式，并按旧模式来解决。下面举例加以说明：
例：已知x＞0，y＞0，z＞0，
求证：+≥
分析：由题目的结构形式，联想余弦定理，将=看成两边分别是x、y，其夹角为60?觷 的三角形，应为第三边。由此，便联想到构造几何图形。如右图，在平面上任选一点P，作∠APB=∠BPC=60?觷 ，设PA=x，PB=y，PC=z，由余弦定理知，AB=，BC=，AC=，在△ABC中，由两边之和大于第三边知，原不等式成立。
通过以上例题的分析可知，相似性联想成功的关键在于发现两类对象之间的相似性特征，相似特征的得到需要借助对讨论对象结构敏锐的观察力。在日常教学中，注意结合教学内容，创设问题情境，引导学生积极联想，既可有效地调动学生的兴趣，又能培养学生思维的创造性。
二、不等价化归
化归如同“翻译”，把同一问题用不同“语言”在不同的思维水平上反映出来。如果是等价化归，即“翻译”全真，那么所得到的解即原问题的解。如果是非等价化归，则“翻译”部分“失真”，对于“失真”部分必须另作处理，才能获得原问题的全部解。
例：设0＜α1＜α2＜……＜αn＜，其中n≥2，求证：
tana1＜＜tanαn
分析：由于变元较多，难于下手，先退为二元考虑，即
0＜α1＜α2＜，求证：tana1＜＜tanα2
只要证＜＜就行，这是不难办到的。
∵0＜α1＜α2＜，
∴0＜sinα1＜sinα2，cosα1＞cosα2＞0
∴0＜2sinα1＜sinα1+sinα2＜2sinα2，
2cosα1＞cosα1+cosα2＞2cosα2＞0
故＜＜
即tana1＜＜tanαn
这样就开启了原题证明的诀窍。证明从略。
注：对有些涉及自然数n的这类“多元”问题，有时也可以用数学归纳法来解，这里就不举例了。
化归方法着眼于揭示实际，实现转化，在迁移转换中求得问题的解。我们在解决众多的数学问题时，总是把它们化归为已解决了的问题而求解的。可见，化归方法在数学解题方法中占据着极为重要的地位。
（山东青岛一中；266002）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】化归 等价 非等价 三角函数
客观事物总是在不断变化的,并在一定条件下是会转化的。通过转化，将待解决的问题逐步转化为可解决的问题的思维方法，叫做等价与非等价化归，或称化归方法。化归思想是数学思想的核心，其内涵十分丰富：高维向低维的化归，陌生向熟悉的化归，复杂向简单的化归，抽象向直观的化归，多元向一元的化归，高次向低次的化归，未知向已知的化归，数与形的化归，一般与特殊的化归，动与静的化归，有限与无限的化归等等，在数学中无时不有，无处不在。
化归思想贯穿于各级各类数学教材的始终，贯穿于解题过程的始终，它是最重要、应用最广泛的数学思想。本文将着重介绍化归方法在三角函数中的应用。
现行普通高中课程标准试验教科书数学必修四第一章、第三章及必修五第一章三角函数的内容主要分为任意角的三角函数、两角和与差的三角函数、三角函数的图像和性质、解三角形四部分。总结这几章的学习内容和习题，我们会发现其中大量运用了化归思想，现概括成以下两个方面：
一、等价化归
所谓等价化归,就是在保持一个数学系统的条件下,把所讨论的数学问题中的有关命题或对象的表现形式做可逆的逻辑改变（即由A经过逻辑推理或演算可以推出B，反过来由B又可经逻辑推理或演算可以推出A）。以使所讨论的数学问题化归为我们熟悉的或容易处理的问题。
在三角函数部分，进行三角函数式的化简、求值、恒等变形和证明时，常常需要等价化归的思想，下面着重谈谈运用等价化归思想应遵循的几个原则：
1.把未知化归为已知。
三角函数部分，用到此思想最多的便是利用诱导公式把求任意角的三角函数值逐步化归成求锐角三角函数值。一般可以按下面的步骤进行：
例.求下列三角函数值:
（1）sinπ （２）cos(－π)
解：（１）sinπ=sin（2π－π）=sin（－π）=－
（2）cos(－π)=cos(－－3×2π)=cos=
2.把数化归为形。
代数是研究“数”的科学，几何则是研究“形”的科学；三角函数作为一种工具，两者兼而有之。代数与几何是对立的两个方面，二者在坐标系下统一了起来。
三角函数的解析式，我们称之为“数”，单位圆、直角三角形等理解为“形”。三角函数的图像可以直观地反映出三角函数的性质；反之，掌握了三角函数的性质，就能简捷地做出图像，两者是相辅相成的。三角函数的图像，可以看作“数”向“形”的一种转换，由于这一转换，可以使学生直观地认识三角函数的一些规律：如三角函数的定义域、值域（即图像在坐标平面上的伸展范围）；最大值、最小值（图像上的最高点、最低点）；奇偶性（图像关于原点或y轴对称）；单调性（图像的升降情况）；周期性（图像每隔一定距离形状相同）等。
把已知三角函数值求角化归为求[0,2π]上适合条件的角的集合，也是把数化归为形思想的典型应用。
例：解不等式：sinx＜-
解：在轴上过(0，－)的点C作x轴的平行线。交单位圆于Ａ、Ｂ两点。从图可见，在［0，2π］上，分别得交点π和π。∴其解集为｛π+2kπ＜x＜π+2kπ，k∈Z｝
与研究中学数学中各类函数一样，研究三角函数定义和性质所采用的基本方法就是把数化归为形。利用单位圆和三角函数图像表示任意角的三角函数值；在分析和解决有关比较三角函数值的大小、角的终边位置与三角函数值的符号关系、已知三角函数值求角、已知三角函数值的取值范围确定角的取值范围等问题中，单位圆和三角函数图像都可提供简捷、有效的思路和方法。
3.把对立化归为统一。
化归应朝着使待解决问题在条件和结论的表现形式上趋于和谐，在量、形、数关系方面趋于统一的方向进行。
对于三角函数部分的证明题目，面对众多的三角公式和纷繁的结构，学生普遍感到无从入手，不知道该用哪个公式，通过什么途径，去实现一边到另一边的化归。应该运用对立统一的原则进行指导，消除对立，力争统一来找入手点。一般方法是化异名为同名、化异角为同角、化异次为同次、化切为弦等，其实质均是“统一”的思想。
例：已知f(sinx)=sin2006x，求f(cosx)的值。
分析：已知是f(sinx)，而目标是f(cosx)，那么就首先应把cosx转换成sinx，这就要找出它们之间的内在联系：cosx=sin(-x)，是求证可以向已知转换。
解：f(cosx)＝f［sin（-x）＝sin［2006（－x）］=sin（1003π－2006x）=sin（π－2006x）=sin2006x
分析上述解题思维过程，将元素（sinx，cosx）统一即将条件与结论统一是关键。其实，回顾一下中学数学学习，很多内容是遵循着统一性原则的：如分式的加减运算要统一为同分母的分式加减运算；不同底的对数式运算常通过换底公式统一为同底数的对数来运算；三角诱导公式的重要作用就是实现三角式的和谐统一等等。所以，统一性原则是等价化归的一项重要原则。
4.把复杂化归为简单。
在化归中尽量把复杂的问题或条件通过分解转化成简单的问题或条件，往往可以收到事半功倍的效果。
例：锐角△ABC中，求证sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC
分析：本题看来似乎很简单，但从整体上解答比较难于入手。由三个角的和为π，以及三角函数间的转化关系，我们可以把三个参数（A、B、C）转化为两个参数，以达到化归的目的。
证明：∵△ABC为锐角三角形
∴A+B=π－C＞,A＞－B，即0＜－B＜A＜
依正弦函數在［0，］上的增减性知：sinA＞sin（－B）=cosB
同理：sinB＞cosC，sinC＞cosA
三式相加即得：sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC
5.把问题模式化归为联想模式。
联想，特别是相似联想，是实现化归的重要途径。所谓“相似联想”，就是将面临的问题，从它的数、式和形的某一方面特点与我们已熟知的某种模式加以联想和比较，并设法从新模式（问题中的模式）转化为旧模式，并按旧模式来解决。下面举例加以说明：
例：已知x＞0，y＞0，z＞0，
求证：+≥
分析：由题目的结构形式，联想余弦定理，将=看成两边分别是x、y，其夹角为60?觷 的三角形，应为第三边。由此，便联想到构造几何图形。如右图，在平面上任选一点P，作∠APB=∠BPC=60?觷 ，设PA=x，PB=y，PC=z，由余弦定理知，AB=，BC=，AC=，在△ABC中，由两边之和大于第三边知，原不等式成立。
通过以上例题的分析可知，相似性联想成功的关键在于发现两类对象之间的相似性特征，相似特征的得到需要借助对讨论对象结构敏锐的观察力。在日常教学中，注意结合教学内容，创设问题情境，引导学生积极联想，既可有效地调动学生的兴趣，又能培养学生思维的创造性。
二、不等价化归
化归如同“翻译”，把同一问题用不同“语言”在不同的思维水平上反映出来。如果是等价化归，即“翻译”全真，那么所得到的解即原问题的解。如果是非等价化归，则“翻译”部分“失真”，对于“失真”部分必须另作处理，才能获得原问题的全部解。
例：设0＜α1＜α2＜……＜αn＜，其中n≥2，求证：
tana1＜＜tanαn
分析：由于变元较多，难于下手，先退为二元考虑，即
0＜α1＜α2＜，求证：tana1＜＜tanα2
只要证＜＜就行，这是不难办到的。
∵0＜α1＜α2＜，
∴0＜sinα1＜sinα2，cosα1＞cosα2＞0
∴0＜2sinα1＜sinα1+sinα2＜2sinα2，
2cosα1＞cosα1+cosα2＞2cosα2＞0
故＜＜
即tana1＜＜tanαn
这样就开启了原题证明的诀窍。证明从略。
注：对有些涉及自然数n的这类“多元”问题，有时也可以用数学归纳法来解，这里就不举例了。
化归方法着眼于揭示实际，实现转化，在迁移转换中求得问题的解。我们在解决众多的数学问题时，总是把它们化归为已解决了的问题而求解的。可见，化归方法在数学解题方法中占据着极为重要的地位。
（山东青岛一中；266002）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文