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【摘要】探究性数学活动是数学课堂教学的巩固与延伸，它关注学生经历习得的过程、表达自我思考的过程，重视学生思维的参与度，带领学生积极探索理性层次的数学知识，在调查、操作、互动中不断加深数学思想方法的理解。它可以是生活探究、实践探究、预习探究，通过充分探究与实践，让不同层次的学生发现自我的能力，提升学习数学的兴趣，增强数学学习的信心，在各自的起点上获得最优发展。
【关键词】探究 数感 空间感 数学思想
《义务教育数学课程标准（2011年版）》特别指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”课堂教学是学生经历自主探索、动手实践的一个重要平台，但有时候一些探索与实践在一堂课上往往无法深入操作与体会，为了满足学生好奇、好玩的天性，教师可以根据教学目标，联系实际生活，设计富有情趣的探究性活动，让学生在充满乐趣、充满挑战的数学活动中学习数学、理解数学，给予每个学生自由表达的空间，让他们大胆地去探索与实践，切实提高学生的思维力，培养学生解决问题的能力。
一、生活探究：蕴含丰富的数感
1.编一编
假期，布置编题大赛的游戏，要求学生留心假期中经历过的活动，比如：逛街、做灯笼、放烟花、吃肯德基、下棋……然后请大家把活动中遇到的数学问题记录下来，开学第一堂课全班交流，一起解决，比比谁的问题最有价值。
例如：
生1：一个礼花，每排有6个孔，有4排，一共有几个孔？
生2：鞭炮1元4盒，我用了2元钱，谁知道我买了几盒鞭炮？
生3：我和妈妈玩跳棋，先跳到7，又抛到6，现在我可以跳到几？
生4：今天是8月10日，暑假作业我已经做到48页，还有8页没做，暑假作业一共有几页？
生5：去无锡吃肯德基，买了3对鸡翅，用去21元，每对鸡翅几元？
……
又如：课前调查全家人的年龄（以下表为例）。
[爷爷 奶奶 爸爸 妈妈 我 60岁 57岁 32岁 30岁 8岁 ]
任意比较两个人的年龄，学生会用“大一些，小一些，大很多，小很多”来描述一家人的年龄情况。
将教材中的数学知识与学生熟悉的生活情境有机地联系起来，从学生自身以及蕴含丰富信息的周围世界出发，丰富了学生对数概念的理解。
2.找一找
在学习苏教版数学二年级下册“分米和毫米”一课后，笔者让学生找一找、量一量身边长度是1分米、1毫米的物體。学生经过操作、调查，对1分米、1毫米有了更深刻的了解。如：发现可乐瓶、光明牛奶瓶高约1分米;眼镜框宽约1分米;木梳上的齿、磁卡电话的厚度约1毫米，铅笔芯的直径约1毫米……
学习了苏教版数学三年级上册“千克和克”一课后，笔者让学生到商店去找一找1千克的物品拎一拎，找一找几十克或几百克的物品掂一掂，感受不同的重量。
在找、拎、掂的过程中，学生们对长度单位、计量单位有了自己的体会，印象深刻。
3.玩一玩
苏教版数学四年级上册“升与毫升”一课的内容，对于计量单位学生可以说是欠缺生活经验的，为了增加学生的感性认识，笔者除了布置学生调查并记录家庭或超市中哪些物品是用毫升作单位的，各是多少毫升，哪些物品是用升作单位的，各是多少升外，还布置了两个操作活动，第一，想办法量家里洗碗池和浴缸的容量，第二，制作100毫升的量器（学生任选一项完成）。在此之前，笔者利用量杯给每个学生灌了一升水。（学生课前预先带来了大瓶）
学生回去想办法完成任务后，在课堂上兴奋地介绍各自的做法。
生1：一个热水瓶的容量大约是2升，我灌了大约14瓶，我家的洗碗池的容量大约是28升。
生2：我用2升的饮料瓶盛量浴缸，量了56次，浴缸的容量大约是112升。
生3：我先用一升的瓶子量出脸盆的容量是5升，再用这个脸盆盛水量浴缸，先放了7盆水，大约35升，这时水大约占浴缸的1/4，那么由此可知，浴缸的容量大约是140升。
生4：找一个瓶子，贴上纸条，用喝咳嗽药水的量杯量出10毫升水，倒入瓶子，在纸条上画上记号，再反复倒水，依次做记号：20毫升、30毫升……100毫升。
学习的过程是经历再创造的过程，而不是纯粹的模仿和纯粹的记忆。学生们会利用课堂上学过的较小容器的容量来测量生活中较大物体的容量，他们还会用估计的方法进行合情推理，也会灵活运用身边的材料制作新的量器。在乐此不疲玩水的过程中，他们玩出了数感，对毫升、升的具体量有了更深的理解，对生活中一些容器的容积有了一定的感知。
调查、搜集、操作，将数学与生活实践活动相结合，将数学与周围生活相联系，引导学生积极主动地发掘、探索生活中所蕴含的大量的数学信息，使学生的数感越来越丰富，认知越来越全面，思维越来越开阔。
二、实践探究：体悟生动的空间感
1.亲手做一做
学习苏教版数学一年级上册“认识物体”一课，笔者要求学生在课前从家里找出了形状分别为长方体、正方体、圆柱体、球体的物体，在课堂上与同学分享交流对物体的认识。随后，笔者要求学生回家试着用纸制作出这些物体，比比谁的手更灵巧。
第二天，学生带来了自己制作的物体。
生1：我做了长方体。我是剪出6个面，再黏起来的。
生2：我做了一个长方体，一个正方体。我先画好6个面，再折起来黏住的。 生3：我先用泡沫塑料剪出长方体、正方体、然后在外面黏上彩色纸。
生4：我把纸卷起来黏住边，然后剪两个圆装上去，成了圆柱体。
看着学生们制作的一个个并不十分精致，却粗拙得可爱的“作品”，笔者被深深地折服了。
探究性数学活动促使学生把所学的知识综合运用到生活中去，通过动手实践，制作出了长方体、正方体、圆柱体，“作品”不精致，却诠释了他们对物体最生动的认识，最形象的理解。
2.动脑画一画
如苏教版数学六年级下册总复习第96页“动手做”（见图1），这样的题目在总复习阶段，除了让学生熟练地计算长方体的表面积外，更应该让每个学生都能在空间想象、思维能力上有一个质的提升，而这离不开学生的动脑画，画得越丰富，空间观念越强，思辨力越深刻。于是笔者请同学测量了班级内的肥皂包装盒，确定长、宽、高分别为10㎝、6㎝、4㎝，然后要求学生课后画直观图，并不少于6种。以下是学生的作品（图2～图5）。
新课程标准关于核心概念“几何直观”对学生提出的要求是：能运用图形形象地描述问题，利用直观来思考。几何直观有时能使问题变得更简明。通过动手画，可以化抽象为形象，可以借助图形来描述和分析问题。学生们的作品，展现了他们各自不同的思维特点：有的学生能有序地思考，先画一层的，再画两层的;也有学生考虑周全，一丝不苟地把全部可能画出来了;还有的学生根据自己的生活经验，有选择性地列举了几种可能，包括一层、两层、三层、四层、六层的。笔者展示了十几个学生的作品，最后以图5学生的作品为例，请学生们观察、分析其中表面积最少的作品，思考怎样包装既美观又节省材料。学生们联系直观图与数据，发现当长、宽、高三个数据比较接近，占地面积相对较小的情况下，包装美观而且省料。
就这样，学生在学到知识、获得体验的同时，他们的动手实践能力得到了提高，情商、智商也相应得到了发展。这正是探究性数学活动的最终目的：帮助学生加深对知识的理解，发现自我的能力，增强学习数学、应用数学的兴趣与信心，培养创新意识和实践创造能力。
三、预习探究：分享自己的数学思想
1.用自己的思考理解算理
學习苏教版数学六年级上册“分数乘分数”一课，笔者要求学生预习探究：第一，了解分数乘分数的计算方法。第二，想办法证明计算方法的合理性。上课时，学生们有了各自不同的表现。以下是4个同学的证明（见图6～图9）：
生1是分别将分数扩大2倍和4倍转化成整数，然后再除以8，得数不变。（运用了转化思想以及积不变规律。）
生2是根据分数乘法的意义，即将[]×[]解释为几个几分之几相加，并结合图理解，思路清晰，数形结合。
生3是用纸折出了[]，然后再将[]平均分成了3份，涂了其中的2份，表示[]×[]。
生4是用了画一画、涂一涂的方法证明了教材例题以外的分数乘分数。
看来，他们不但读懂了教材上的计算方法，读懂了教材上的算理，更是有了自己深入的思考，从不同的角度证明了分数乘分数的计算方法：分子相乘的积为分子，分母相乘的积为分母的合理性。
2.用自己的方式证明性质
在教学苏教版数学五年级上册“小数的性质”一课时，为了探索理解小数的性质，笔者布置学生回家自主探索以下例题。
橡皮和铅笔的单价相等吗？为什么？请你想办法证明？
学生的探索情况如下（见图10～图12）：
以上是学生回家自主探索后的几种情况，而以最后两种方法为多。可以发现，学生对于0.30元=0.3元有着自己的解读，他们有能力借助学过的知识、活动经验进行探索，对小数不同计数单位间的转化有了初步的认识。
学生在预习探究过程中体现了转化思想、类比思想等的运用，为课堂上的教学增加了直观支撑与直观理解。
探究性数学活动是数学课堂教学的巩固和延伸，教师要关注学生经历习得的过程、表达自我思考的过程，重视学生思维的参与度，带领学生积极探索理性层次的数学知识，在编写、交流、互动中不断加深数学思想方法的理解。让不同层次的学生发现自我的能力，获得学习数学的乐趣，增强数学学习的信心，在各自的起点上得到最优发展，有情感的丰富、经验方法的积累，更有思维的提升、视野的开阔。
【参考文献】
刘善娜.这样的数学作业有意思——小学数学探究性作业设计与实施[M].北京：教育科学出版社，2017.
【关键词】探究 数感 空间感 数学思想
《义务教育数学课程标准（2011年版）》特别指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”课堂教学是学生经历自主探索、动手实践的一个重要平台，但有时候一些探索与实践在一堂课上往往无法深入操作与体会，为了满足学生好奇、好玩的天性，教师可以根据教学目标，联系实际生活，设计富有情趣的探究性活动，让学生在充满乐趣、充满挑战的数学活动中学习数学、理解数学，给予每个学生自由表达的空间，让他们大胆地去探索与实践，切实提高学生的思维力，培养学生解决问题的能力。
一、生活探究：蕴含丰富的数感
1.编一编
假期，布置编题大赛的游戏，要求学生留心假期中经历过的活动，比如：逛街、做灯笼、放烟花、吃肯德基、下棋……然后请大家把活动中遇到的数学问题记录下来，开学第一堂课全班交流，一起解决，比比谁的问题最有价值。
例如：
生1：一个礼花，每排有6个孔，有4排，一共有几个孔？
生2：鞭炮1元4盒，我用了2元钱，谁知道我买了几盒鞭炮？
生3：我和妈妈玩跳棋，先跳到7，又抛到6，现在我可以跳到几？
生4：今天是8月10日，暑假作业我已经做到48页，还有8页没做，暑假作业一共有几页？
生5：去无锡吃肯德基，买了3对鸡翅，用去21元，每对鸡翅几元？
……
又如：课前调查全家人的年龄（以下表为例）。
[爷爷 奶奶 爸爸 妈妈 我 60岁 57岁 32岁 30岁 8岁 ]
任意比较两个人的年龄，学生会用“大一些，小一些，大很多，小很多”来描述一家人的年龄情况。
将教材中的数学知识与学生熟悉的生活情境有机地联系起来，从学生自身以及蕴含丰富信息的周围世界出发，丰富了学生对数概念的理解。
2.找一找
在学习苏教版数学二年级下册“分米和毫米”一课后，笔者让学生找一找、量一量身边长度是1分米、1毫米的物體。学生经过操作、调查，对1分米、1毫米有了更深刻的了解。如：发现可乐瓶、光明牛奶瓶高约1分米;眼镜框宽约1分米;木梳上的齿、磁卡电话的厚度约1毫米，铅笔芯的直径约1毫米……
学习了苏教版数学三年级上册“千克和克”一课后，笔者让学生到商店去找一找1千克的物品拎一拎，找一找几十克或几百克的物品掂一掂，感受不同的重量。
在找、拎、掂的过程中，学生们对长度单位、计量单位有了自己的体会，印象深刻。
3.玩一玩
苏教版数学四年级上册“升与毫升”一课的内容，对于计量单位学生可以说是欠缺生活经验的，为了增加学生的感性认识，笔者除了布置学生调查并记录家庭或超市中哪些物品是用毫升作单位的，各是多少毫升，哪些物品是用升作单位的，各是多少升外，还布置了两个操作活动，第一，想办法量家里洗碗池和浴缸的容量，第二，制作100毫升的量器（学生任选一项完成）。在此之前，笔者利用量杯给每个学生灌了一升水。（学生课前预先带来了大瓶）
学生回去想办法完成任务后，在课堂上兴奋地介绍各自的做法。
生1：一个热水瓶的容量大约是2升，我灌了大约14瓶，我家的洗碗池的容量大约是28升。
生2：我用2升的饮料瓶盛量浴缸，量了56次，浴缸的容量大约是112升。
生3：我先用一升的瓶子量出脸盆的容量是5升，再用这个脸盆盛水量浴缸，先放了7盆水，大约35升，这时水大约占浴缸的1/4，那么由此可知，浴缸的容量大约是140升。
生4：找一个瓶子，贴上纸条，用喝咳嗽药水的量杯量出10毫升水，倒入瓶子，在纸条上画上记号，再反复倒水，依次做记号：20毫升、30毫升……100毫升。
学习的过程是经历再创造的过程，而不是纯粹的模仿和纯粹的记忆。学生们会利用课堂上学过的较小容器的容量来测量生活中较大物体的容量，他们还会用估计的方法进行合情推理，也会灵活运用身边的材料制作新的量器。在乐此不疲玩水的过程中，他们玩出了数感，对毫升、升的具体量有了更深的理解，对生活中一些容器的容积有了一定的感知。
调查、搜集、操作，将数学与生活实践活动相结合，将数学与周围生活相联系，引导学生积极主动地发掘、探索生活中所蕴含的大量的数学信息，使学生的数感越来越丰富，认知越来越全面，思维越来越开阔。
二、实践探究：体悟生动的空间感
1.亲手做一做
学习苏教版数学一年级上册“认识物体”一课，笔者要求学生在课前从家里找出了形状分别为长方体、正方体、圆柱体、球体的物体，在课堂上与同学分享交流对物体的认识。随后，笔者要求学生回家试着用纸制作出这些物体，比比谁的手更灵巧。
第二天，学生带来了自己制作的物体。
生1：我做了长方体。我是剪出6个面，再黏起来的。
生2：我做了一个长方体，一个正方体。我先画好6个面，再折起来黏住的。 生3：我先用泡沫塑料剪出长方体、正方体、然后在外面黏上彩色纸。
生4：我把纸卷起来黏住边，然后剪两个圆装上去，成了圆柱体。
看着学生们制作的一个个并不十分精致，却粗拙得可爱的“作品”，笔者被深深地折服了。
探究性数学活动促使学生把所学的知识综合运用到生活中去，通过动手实践，制作出了长方体、正方体、圆柱体，“作品”不精致，却诠释了他们对物体最生动的认识，最形象的理解。
2.动脑画一画
如苏教版数学六年级下册总复习第96页“动手做”（见图1），这样的题目在总复习阶段，除了让学生熟练地计算长方体的表面积外，更应该让每个学生都能在空间想象、思维能力上有一个质的提升，而这离不开学生的动脑画，画得越丰富，空间观念越强，思辨力越深刻。于是笔者请同学测量了班级内的肥皂包装盒，确定长、宽、高分别为10㎝、6㎝、4㎝，然后要求学生课后画直观图，并不少于6种。以下是学生的作品（图2～图5）。
新课程标准关于核心概念“几何直观”对学生提出的要求是：能运用图形形象地描述问题，利用直观来思考。几何直观有时能使问题变得更简明。通过动手画，可以化抽象为形象，可以借助图形来描述和分析问题。学生们的作品，展现了他们各自不同的思维特点：有的学生能有序地思考，先画一层的，再画两层的;也有学生考虑周全，一丝不苟地把全部可能画出来了;还有的学生根据自己的生活经验，有选择性地列举了几种可能，包括一层、两层、三层、四层、六层的。笔者展示了十几个学生的作品，最后以图5学生的作品为例，请学生们观察、分析其中表面积最少的作品，思考怎样包装既美观又节省材料。学生们联系直观图与数据，发现当长、宽、高三个数据比较接近，占地面积相对较小的情况下，包装美观而且省料。
就这样，学生在学到知识、获得体验的同时，他们的动手实践能力得到了提高，情商、智商也相应得到了发展。这正是探究性数学活动的最终目的：帮助学生加深对知识的理解，发现自我的能力，增强学习数学、应用数学的兴趣与信心，培养创新意识和实践创造能力。
三、预习探究：分享自己的数学思想
1.用自己的思考理解算理
學习苏教版数学六年级上册“分数乘分数”一课，笔者要求学生预习探究：第一，了解分数乘分数的计算方法。第二，想办法证明计算方法的合理性。上课时，学生们有了各自不同的表现。以下是4个同学的证明（见图6～图9）：
生1是分别将分数扩大2倍和4倍转化成整数，然后再除以8，得数不变。（运用了转化思想以及积不变规律。）
生2是根据分数乘法的意义，即将[]×[]解释为几个几分之几相加，并结合图理解，思路清晰，数形结合。
生3是用纸折出了[]，然后再将[]平均分成了3份，涂了其中的2份，表示[]×[]。
生4是用了画一画、涂一涂的方法证明了教材例题以外的分数乘分数。
看来，他们不但读懂了教材上的计算方法，读懂了教材上的算理，更是有了自己深入的思考，从不同的角度证明了分数乘分数的计算方法：分子相乘的积为分子，分母相乘的积为分母的合理性。
2.用自己的方式证明性质
在教学苏教版数学五年级上册“小数的性质”一课时，为了探索理解小数的性质，笔者布置学生回家自主探索以下例题。
橡皮和铅笔的单价相等吗？为什么？请你想办法证明？
学生的探索情况如下（见图10～图12）：
以上是学生回家自主探索后的几种情况，而以最后两种方法为多。可以发现，学生对于0.30元=0.3元有着自己的解读，他们有能力借助学过的知识、活动经验进行探索，对小数不同计数单位间的转化有了初步的认识。
学生在预习探究过程中体现了转化思想、类比思想等的运用，为课堂上的教学增加了直观支撑与直观理解。
探究性数学活动是数学课堂教学的巩固和延伸，教师要关注学生经历习得的过程、表达自我思考的过程，重视学生思维的参与度，带领学生积极探索理性层次的数学知识，在编写、交流、互动中不断加深数学思想方法的理解。让不同层次的学生发现自我的能力，获得学习数学的乐趣，增强数学学习的信心，在各自的起点上得到最优发展，有情感的丰富、经验方法的积累，更有思维的提升、视野的开阔。
【参考文献】
刘善娜.这样的数学作业有意思——小学数学探究性作业设计与实施[M].北京：教育科学出版社，2017.