错项求和在数列中是一块重要的内容，是近几年各省高考试卷中的常客，错项求和方法简单，其一般数列的通项形式为an=（an b）·qn，通常要先列出等比数列与等差数列相乘的式子，设为式1；然后将这个式子乘以公比，形成式2.两式相减，形成一个等比数列.
　　但这样在运算过程中经常会发生错误；可将错项求和转化为裂项求和，将数列中的每项分解，
　　重新组合，使之能消去一些项，减少运算错误最终达到求和的目的.
　　题型1已知数列{an}的通项满足an=（an b）·qn（q≠0且q≠1），Sn为其前n项和，求Sn.
　　分析 通项满足an=（an b）·qn，且求其前n项和Sn，是错项求和的主要题型；利用裂项求和，将数列中的每项分解，如何分解是关键？
　　解令an=（an b）·qn=bn 1-bn=[A（n 1） B]·qn 1-An B·qn
　　=qn·[（qA-A）n qA qB-B]
　　所以qA-A=a，
　　qA qB-B=b，
　　所以A=aq-1，
　　B=bq-aq-bq-12，
　　所以bn=aq-1n bq-aq-b（q-1）2·qn，
　　所以Sn=a1 a2 a3 … an
　　=b2-b1 b3-b2 b4-b3 … bn 1-bn
　　=bn 1-b1
　　=aq-1（n 1） bq-aq-b（q-1）2·qn 1-b·q2-a bqq-12.
　　点睛将an=（an b）·qn=bn 1-bn=[A（n 1） B]·qn 1-An B·qn是这类裂项求和题型的关键，再利用待定系数法求出A，B.
　　例1（2015年高考山东，理18）设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn=3n 3.（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足anbn=log3an，求{bn}的前n项和Tn.
　　分析（Ⅱ）求{bn}的前n项和Tn，标准答案采用错项求和，笔者利用裂项求和的方法加以解答.
　　解（Ⅰ）略得：an=3，n=1，
　　3n-1，n>1，
　　（Ⅱ）由条件得，bn=13（n=1），
　　n-1·31-n（n>1），
　　当n>1时，bn=（n-1）·31-n=cn 1-cn=[A（n 1） B]·3-n-An B·31-n
　　=31-n·An A3 B3-An-B
　　=31-n·-2A3n A3-2B3
　　所以-2A3=1，
　　A3-2B3=-1，所以A=-32，
　　B=34，
　　所以cn=-32n 34·31-n
　　所以Tn=b1 b2 … bn
　　=b1 c3-c2 c4-c3 … cn 1-cn
　　=13 -32（n 1） 34·3-n--32·2 34·3-1
　　=1312-6n 34·3n.
　　点睛bn=13（n=1），
　　n-1·31-n（n>1）是一分段数列，利用错项法求，在运算、并项、化简过程中，会出现错误；但利用裂项法，简洁，明了.
　　题型2 已知数列{an}的通项满足an=（an2 bn c）·qn（q≠0且q≠1），Sn为其前n项和，求Sn.
　　分析通项满足an=（an2 bn c）·qn，且求其前n项和Sn，要用两次错项求和，首先将an=（an2 bn c）·qn转化an=（An B）·qn，再用错项法才能解答，且不容易想到；但用裂项求和很容易解答.
　　解an=（an2 bn c）·qn=bn 1-bn
　　=A（n 1）2 B（n 1） C·qn 1-An2 Bn C·qn
　　=qn·（qAn2 2qAn qA qBn qB qC-An2-Bn-C）
　　=qn·[（qA-A）n2 （2qA qB-B）n （qB qC-C）]
　　所以qA-A=a，
　　2qA qB-B=b，
　　qB qC-C=c，
　　所以A=aq-1，
　　B=bq-b-2aq（q-1）2，
　　C=c 2a-bq2 b-2cq cq-13，
　　所以bn=[aq-1n2 （b-2a）q-bq-12n c 2a-bq2 b-2cq cq-13]qn
　　所以Sn=a1 a2 a3 … an
　　=b2-b1 b3-b2 b4-b3 … bn 1-bn
　　=bn 1-b1
　　=[aq-1（n 1）2 （b-2a）q-bq-12（n 1） c 2a-bq2 b-2cq cq-13]qn 1-[aq-1 b-2aq-bq-12 c 2a-bq2 b-2cq cq-13]q.
　　点睛裂项求和的思路是利用已知数列的通项的特点，将通项转化为另外一个数列两项的差.
　　例2 （山东滨州市2016年高三3月模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=log2an，cn=b2nan，求数列{cn}的前n项和Tn.
　　分析由条件得cn=n22n，求{cn}的前n项和Tn，很难想到用两次错项求和，但用裂项求和很容易.
　　解（Ⅰ）略.an=2n.
　　（Ⅱ）cn=n22n=dn 1-dn=A（n 1）2 B（n 1） C2n 1-An2 Bn C2n
　　=（A2n2 An A2 B2n B2 C2-An2-Bn-C）2n
　　=-A2n2 （A-B2）n A B-C22n，
　　所以-A2=1，
　　A-B2=0，
　　A B-C2=0，所以A=-2，
　　B=-4，
　　C=-6，
　　所以dn=-2n2-4n-62n=-n2-2n-32n-1，
　　所以Tn=c1 c2 … cn
　　=d2-d1 d3-d2 … dn 1-dn
　　=dn 1-d1=-（n 1）2-2（n 1）-32n--620
　　=6-n2 4n 62n.
　　裂项求和是中学数列求和中应用最广泛的一种方法，一些常见的思路，如等差数列、等比数列，都可以用裂项求和.从裂项求和方法出发，可以构造很多能用裂项求和的数列，这给数列求和的命题提供了丰富的素材.作者简介祝劲永，男，浙江省岱山人，1970年1月生，中学高级教师，舟山市正高级教师.多年来竞赛辅导成绩喜人，1999年至今获全国二等奖4名，获全国三等奖2名，省一等奖13名，在浙江省第二届高中青年数学教师优质课评比中获三等奖.2005学年度被评为县学科带头人.2007年被聘为舟山市中小学学科教学质量评审专家组成员.2013年被评为市首批正高级教师，岱山县优秀人才.