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内容提要：在排列组合应用题中，常常遇到有关元素的重复问题，对此，学生常常把握不准，很难作出正确的分析与解答。本文主要阐述了两类重复问题，即重复选取问题与元素重复问题。前者关键是弄清“谁”选“谁”，后者关键是处理好重复元素，可先排序后去重，亦可特殊元素优先考虑，还可以用插空等方法。
关键词：重复选取；元素重复；先排序后去重；特殊元素优先考虑；插空
中图分类号：G623.5
排列组合是高中数学中占篇幅较少的一部分内容，但自从教材中新增了概率内容后，它的地位日益攀升，常常是融入概率题中，因而它越来越被重视起来。然而在排列组合应用题中，常常遇到有关元素的重复问题，对此，学生常常把握不准，很难作出正确的分析与解答。介于此，本人作了一定的探讨，也得了一些收获，现与大家一起分享。
一、重复选取问题
常见的模式有投信、映射、放小球等等。
例1：将3封不同的信随意投入到4个不同的信箱中，有多少种投法？
错解1：A43=24这里误认为每个信箱只能投一封信，而从题意来看完全有可能将3封信投入到同一信箱中。
错解2：34=81这里误认为每个信箱均有3种选择，采用分步原理，即3*3*3*3=34事实上，比如信箱A选择了信a，信箱B就不能再选信a了，因为同一封信不可能同时放入两个不同的信箱中。
正确解法：43=64每封信都有3种放法，各封信之间没有影响，故利用分步原理即可算得。
可以看出弄清是信选信箱还是信箱选信是解好本题的关键。
例2：甲、乙、丙、丁4人争夺数、理、化三门学科竞赛的冠军，有多少种可能？
错解：若以人为主来选冠军，每人均有3种选择，就会得34，事实上假如甲得了数学学科的冠军，其他人还能再得这科的冠军吗？显然不能。
正确解法：此时应以学科来选人，每门学科得主都有4种可能，即43。这里实际上包含了几门学科同时选择了同一个人，即一个人得了几个科目的冠军，在实际情况中，这确实是有可能的。
从以上两例可以看出，很多学生对这类可重复选取问题之所以易混淆不清，关键是没弄清“谁”选“谁”，在以后的解题中应引起注意。
二、元素重复问题
有这样一个问题：若把英语单词“hello”中字母的拼写顺序写错了，可能出现的错误有多少种？
稍作分析应知道本题的关键是弄清这5个字母共有多少种排列顺序，再减去1即可（去掉正确的那一种），那么如何排这5个字母呢？
解析1：先排序后去重
若把5个字母看成是不同的（包括两个“l”），所有的拼写顺序情况就是将5个字母进行全排列，但事实上两个“l”是相同的，因而在全排列中就出现了这样一些情况：即当h、e、o三字母排定后，都对应着两种情况，举例如下：heol1l2、heol2l1，因而产生重复计算，故单词hello的所有拼写顺序共有 =60种，可能出现的错误有60-1=59种。
解析2：特殊元素优先考虑法
可先将两个特殊元素“l”优先考虑。将上述问题看成坐位置问题，5个字母要占5个位置这是不会变的，可先从5个位置中选两个位置安排两个“l”，无须排序，即C52，再将字母h、e、o安排在其他位置并进行全排列，即A33，所以单词hello的所有拼写顺序共有C52A33=60种，以下同上。
解析3：插空法
先将h、e、o排好，再将两个“l”插入4个空档。可分以下两种情况去插：（1）分开插C42；（2）捆在一起插C41，故单词hello所有拼写顺序共有A33（C42+C41）=60种，以下同上。
以上几种方法都是可行的，它们是否适用与更复杂的情况呢？比如：单词tomorrow中字母的顺序拼写错了，可能出现的错误有多少种？若借用上述解析1的思路： -1=3359种。若借用上述解析2的思路：C83 C52 A33-1=3359种。若借用上述解析3的思路就要稍显复杂一些，可先将t、m、w排好，即A33，再将两个r插入同上述方法即C41+C42，最后再将三个o插入到已排好的五个字母中，而此时要分以下三种情况：（1）从形成的六个空里选一个将三个o都插入即C61；（2）选两个空，其中一个插一个o，另一个插两个o，这就涉及到顺序了，因而是A62；（3）选三个空，每个里插一个o，即C63；根据加法原理应将它们相加，所以列式为A33（C41+ C42）（ C61+ A62+C63）-1=3359种。可以看出三种思路均是可以的，但对待不同的题目应适当的选择方法，这样才能提高解题效率。
排列组合应用题的出题题境多不胜数，怎样才能驾驭题型的多样化，关键是能否把握住各类题型的共性特征，已不变应万变。以上是本人结合教学实际对处理排列组合中重复问题的一些微不足道的见解，仅供大家参考。
关键词：重复选取；元素重复；先排序后去重；特殊元素优先考虑；插空
中图分类号：G623.5
排列组合是高中数学中占篇幅较少的一部分内容，但自从教材中新增了概率内容后，它的地位日益攀升，常常是融入概率题中，因而它越来越被重视起来。然而在排列组合应用题中，常常遇到有关元素的重复问题，对此，学生常常把握不准，很难作出正确的分析与解答。介于此，本人作了一定的探讨，也得了一些收获，现与大家一起分享。
一、重复选取问题
常见的模式有投信、映射、放小球等等。
例1：将3封不同的信随意投入到4个不同的信箱中，有多少种投法？
错解1：A43=24这里误认为每个信箱只能投一封信，而从题意来看完全有可能将3封信投入到同一信箱中。
错解2：34=81这里误认为每个信箱均有3种选择，采用分步原理，即3*3*3*3=34事实上，比如信箱A选择了信a，信箱B就不能再选信a了，因为同一封信不可能同时放入两个不同的信箱中。
正确解法：43=64每封信都有3种放法，各封信之间没有影响，故利用分步原理即可算得。
可以看出弄清是信选信箱还是信箱选信是解好本题的关键。
例2：甲、乙、丙、丁4人争夺数、理、化三门学科竞赛的冠军，有多少种可能？
错解：若以人为主来选冠军，每人均有3种选择，就会得34，事实上假如甲得了数学学科的冠军，其他人还能再得这科的冠军吗？显然不能。
正确解法：此时应以学科来选人，每门学科得主都有4种可能，即43。这里实际上包含了几门学科同时选择了同一个人，即一个人得了几个科目的冠军，在实际情况中，这确实是有可能的。
从以上两例可以看出，很多学生对这类可重复选取问题之所以易混淆不清，关键是没弄清“谁”选“谁”，在以后的解题中应引起注意。
二、元素重复问题
有这样一个问题：若把英语单词“hello”中字母的拼写顺序写错了，可能出现的错误有多少种？
稍作分析应知道本题的关键是弄清这5个字母共有多少种排列顺序，再减去1即可（去掉正确的那一种），那么如何排这5个字母呢？
解析1：先排序后去重
若把5个字母看成是不同的（包括两个“l”），所有的拼写顺序情况就是将5个字母进行全排列，但事实上两个“l”是相同的，因而在全排列中就出现了这样一些情况：即当h、e、o三字母排定后，都对应着两种情况，举例如下：heol1l2、heol2l1，因而产生重复计算，故单词hello的所有拼写顺序共有 =60种，可能出现的错误有60-1=59种。
解析2：特殊元素优先考虑法
可先将两个特殊元素“l”优先考虑。将上述问题看成坐位置问题，5个字母要占5个位置这是不会变的，可先从5个位置中选两个位置安排两个“l”，无须排序，即C52，再将字母h、e、o安排在其他位置并进行全排列，即A33，所以单词hello的所有拼写顺序共有C52A33=60种，以下同上。
解析3：插空法
先将h、e、o排好，再将两个“l”插入4个空档。可分以下两种情况去插：（1）分开插C42；（2）捆在一起插C41，故单词hello所有拼写顺序共有A33（C42+C41）=60种，以下同上。
以上几种方法都是可行的，它们是否适用与更复杂的情况呢？比如：单词tomorrow中字母的顺序拼写错了，可能出现的错误有多少种？若借用上述解析1的思路： -1=3359种。若借用上述解析2的思路：C83 C52 A33-1=3359种。若借用上述解析3的思路就要稍显复杂一些，可先将t、m、w排好，即A33，再将两个r插入同上述方法即C41+C42，最后再将三个o插入到已排好的五个字母中，而此时要分以下三种情况：（1）从形成的六个空里选一个将三个o都插入即C61；（2）选两个空，其中一个插一个o，另一个插两个o，这就涉及到顺序了，因而是A62；（3）选三个空，每个里插一个o，即C63；根据加法原理应将它们相加，所以列式为A33（C41+ C42）（ C61+ A62+C63）-1=3359种。可以看出三种思路均是可以的，但对待不同的题目应适当的选择方法，这样才能提高解题效率。
排列组合应用题的出题题境多不胜数，怎样才能驾驭题型的多样化，关键是能否把握住各类题型的共性特征，已不变应万变。以上是本人结合教学实际对处理排列组合中重复问题的一些微不足道的见解，仅供大家参考。