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【摘要】 所谓命题教学的过程性策略主要是指在数学命题获得、证明和应用阶段,特别是在数学命题的证明阶段,教师通过适当的教学方式,启发学生直接或间接地感受、体验数学知识产生、发展、演变的动态过程,从而引导学生积极主动地进行思维活动,"使学生看到思维过程"的一种教学策略。
【关键词】 数学 命题教学 过程性 策略
【中图分类号】 G642 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)03(b)-0047-01
当教师通过实施情境性策略使学生初步获得数学命题之后,数学命题教学进入教学实施的第二个阶段——数学命题的证明阶段。本阶段教学的关键在于实施数学命题教学的过程性策略,以强化数学证明的发生过程,是学生加深对数学知识之间联系的把握和对数学命题“为什么”成立的理解。所谓命题教学的过程性策略主要是指在数学命题获得、证明和应用阶段,特别是在数学命题的证明阶段,教师通过适当的教学方式,启发学生直接或间接地感受、体验数学知识产生、发展、演变的动态过程,从而引导学生积极主动地进行思维活动,“使学生看到思维过程”的一种教学策略。
1 暴露数学思维活动的过程
苏联数学教育家斯托利亚尔指出:“数学教学是数学活动(思维活动)的教学,而不仅是数学活动的结果、数学知识的教学。”数学教学中主要存在着以下三种思维活动:数学家及数学教育家的思维活动、数学教师的思维活动和学生的思维活动。
在数学命题教学过程中,要协调好这三种思维活动。在数学教学过程中暴露数学思维的过程,意味着暴露数学家及数学教育家的思维活动、暴露数学教师自己的思维活动以及学生的思维活动。在数学命题教学中,暴露数学思维的活动过程有下面的几种方法。
1.1 现推现想法
这是一种充分暴露思维过程,特别是暴露思维是如何"从困境或死胡同中挣脱出来"的一种有效方法。譬如,德国数学家希尔伯特的老师著名数学家富克斯(Fuchs),在讲课时就经常把自己置于困境中,并再现自己从中走出来的过程,让学生看到大师真实的思维过程是怎样的。对此,所有富克斯的学生都感到终生受益。
1.2 命题问题化
命题问题化就是将有些数学命题的证明过程变成问题解决过程,通过精心设计一系列有层次、由浅入深、前后衔接、相互呼应的梯度问题,诱使学生思维活动层层展开。
1.3 强化分析法
数学命题证明的教学,就是分析命题中的已知和未知的矛盾,分析矛盾的产生、矛盾的关系、矛盾的运动和转化,从分析中找出解决问题的办法。首先,要充分揭露矛盾,就是"审题",弄清已知和未知、条件和结论。其次,要深刻分析解决问题的条件和方法。在分析的过程中,应以分析法为主,分析法和综合法联合使用。
2 揭示数学命题的产生、推证过程
数学是一门具有逻辑严谨性的学科,它用完善的形式表现出来并呈现在学生面前,而略去了它发现的曲折过程,给学生的“再创造”学习带来一定困难。正如美籍匈牙利数学教育家G.波利亚所言:“用欧几里得方法提出的数学,看起来像是一门系统的演绎科学,但在创造过程中的数学看却像一门实验性的归纳科学。这两个侧面都像数学一样古老。但从某一方面来说,第二个侧面则是新的,因为以前从来就没有照本宣科地把处于发现过程中的数学照原样提供给学生或教师自己或公众。受欧氏数学演绎体系编排的影响,许多数学命题都是用确切的概念、最少的公理和严密的逻辑论证经过系统化的加工得到的,而隐去了数学命题的发现过程、证明思路的猜测过程和证明策略的选择过程。这就要求数学教师不应得陇望蜀于题海,而更要乐此不疲于数学文化、数学哲学、数学史与数学方法论乃至自然辩证法、科学方法论以及科学史等文献的学习,进而充分认识数学命题的发生、形成和发展的过程,努力在教学中架起一座从数学家、数学教育家的思维活动通向学生的思维活动过渡的桥梁。
在数学命题证明的教学中,揭示数学命题的推证过程常用做法主要有三种,即返璞归真回到定义、数学命题的一题多证、数学命题的引申和推广。
2.1 返璞归真,回到定义
即把命题回归到构成它的基本概念,以把握数学命题的“生长点”以及发生、发展脉络,增强数学认知结构的清晰度和稳定性。譬如,对于“三角变换的辅助角公式”“直线的参数方程”“圓雉曲线的参数方程”“直角坐标与极坐标的互化公式”等公式尽管表现形式各异,但最终都可归结为三角函数的坐标定义,体现出来的仍然是化归转化的数学思想。追本溯源,讲原始思想;返璞归真,回归基本概念,不断强化数学命题的发生过程。
2.2 数学命题的一题多证
对同一个数学命题有时可采用几种不同的证明方法,必然会涉及更宽广的数学知识和思想方法,从不同角度、不同层次揭示了知识之间的联系,促进了学生对数学命题本质的理解以及数学认知结构的不断分化和综合贯通。
2.3 数学命题的引申和推广
一个数学命题是由条件和结论两个部分组成的,它揭示了条件和结论之间的蕴涵关系。一个数学命题的条件改变了,其结论也往往随之发生相应的变化。引申和推广就是扩大命题的条件中有关对象的范围或扩大结论的范围,即从一个事物的研究过渡到包含这类事物的研究。在数学命题引申和推广过程中,所使用的主要方法是归纳和类比。从引申和推广的方向来看,有同一知识深入发展的纵向引申和推广,也有不同分支内容的横向引申和推广。在可接受的原则下,数学命题的引申和推广可使数学命题在更大包容性、更高概括程度上实现了知识结构的整体优化,有利于加强数学知识之间的联系,促进数学知识的综合贯通,也有助于学生数学认知结构的完善和发展。
在命题教学中,师生的思维过程实际上就是数学命题知识的发生、演变过程,也是蕴涵于数学命题知识之中的数学思想方法的提炼、揭示过程。因此实施数学命题过程性策略的有效途径就包含了暴露数学思维的过程、揭示数学命题的产生推证过程、突出数学思想方法的提炼和应用过程。
【关键词】 数学 命题教学 过程性 策略
【中图分类号】 G642 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)03(b)-0047-01
当教师通过实施情境性策略使学生初步获得数学命题之后,数学命题教学进入教学实施的第二个阶段——数学命题的证明阶段。本阶段教学的关键在于实施数学命题教学的过程性策略,以强化数学证明的发生过程,是学生加深对数学知识之间联系的把握和对数学命题“为什么”成立的理解。所谓命题教学的过程性策略主要是指在数学命题获得、证明和应用阶段,特别是在数学命题的证明阶段,教师通过适当的教学方式,启发学生直接或间接地感受、体验数学知识产生、发展、演变的动态过程,从而引导学生积极主动地进行思维活动,“使学生看到思维过程”的一种教学策略。
1 暴露数学思维活动的过程
苏联数学教育家斯托利亚尔指出:“数学教学是数学活动(思维活动)的教学,而不仅是数学活动的结果、数学知识的教学。”数学教学中主要存在着以下三种思维活动:数学家及数学教育家的思维活动、数学教师的思维活动和学生的思维活动。
在数学命题教学过程中,要协调好这三种思维活动。在数学教学过程中暴露数学思维的过程,意味着暴露数学家及数学教育家的思维活动、暴露数学教师自己的思维活动以及学生的思维活动。在数学命题教学中,暴露数学思维的活动过程有下面的几种方法。
1.1 现推现想法
这是一种充分暴露思维过程,特别是暴露思维是如何"从困境或死胡同中挣脱出来"的一种有效方法。譬如,德国数学家希尔伯特的老师著名数学家富克斯(Fuchs),在讲课时就经常把自己置于困境中,并再现自己从中走出来的过程,让学生看到大师真实的思维过程是怎样的。对此,所有富克斯的学生都感到终生受益。
1.2 命题问题化
命题问题化就是将有些数学命题的证明过程变成问题解决过程,通过精心设计一系列有层次、由浅入深、前后衔接、相互呼应的梯度问题,诱使学生思维活动层层展开。
1.3 强化分析法
数学命题证明的教学,就是分析命题中的已知和未知的矛盾,分析矛盾的产生、矛盾的关系、矛盾的运动和转化,从分析中找出解决问题的办法。首先,要充分揭露矛盾,就是"审题",弄清已知和未知、条件和结论。其次,要深刻分析解决问题的条件和方法。在分析的过程中,应以分析法为主,分析法和综合法联合使用。
2 揭示数学命题的产生、推证过程
数学是一门具有逻辑严谨性的学科,它用完善的形式表现出来并呈现在学生面前,而略去了它发现的曲折过程,给学生的“再创造”学习带来一定困难。正如美籍匈牙利数学教育家G.波利亚所言:“用欧几里得方法提出的数学,看起来像是一门系统的演绎科学,但在创造过程中的数学看却像一门实验性的归纳科学。这两个侧面都像数学一样古老。但从某一方面来说,第二个侧面则是新的,因为以前从来就没有照本宣科地把处于发现过程中的数学照原样提供给学生或教师自己或公众。受欧氏数学演绎体系编排的影响,许多数学命题都是用确切的概念、最少的公理和严密的逻辑论证经过系统化的加工得到的,而隐去了数学命题的发现过程、证明思路的猜测过程和证明策略的选择过程。这就要求数学教师不应得陇望蜀于题海,而更要乐此不疲于数学文化、数学哲学、数学史与数学方法论乃至自然辩证法、科学方法论以及科学史等文献的学习,进而充分认识数学命题的发生、形成和发展的过程,努力在教学中架起一座从数学家、数学教育家的思维活动通向学生的思维活动过渡的桥梁。
在数学命题证明的教学中,揭示数学命题的推证过程常用做法主要有三种,即返璞归真回到定义、数学命题的一题多证、数学命题的引申和推广。
2.1 返璞归真,回到定义
即把命题回归到构成它的基本概念,以把握数学命题的“生长点”以及发生、发展脉络,增强数学认知结构的清晰度和稳定性。譬如,对于“三角变换的辅助角公式”“直线的参数方程”“圓雉曲线的参数方程”“直角坐标与极坐标的互化公式”等公式尽管表现形式各异,但最终都可归结为三角函数的坐标定义,体现出来的仍然是化归转化的数学思想。追本溯源,讲原始思想;返璞归真,回归基本概念,不断强化数学命题的发生过程。
2.2 数学命题的一题多证
对同一个数学命题有时可采用几种不同的证明方法,必然会涉及更宽广的数学知识和思想方法,从不同角度、不同层次揭示了知识之间的联系,促进了学生对数学命题本质的理解以及数学认知结构的不断分化和综合贯通。
2.3 数学命题的引申和推广
一个数学命题是由条件和结论两个部分组成的,它揭示了条件和结论之间的蕴涵关系。一个数学命题的条件改变了,其结论也往往随之发生相应的变化。引申和推广就是扩大命题的条件中有关对象的范围或扩大结论的范围,即从一个事物的研究过渡到包含这类事物的研究。在数学命题引申和推广过程中,所使用的主要方法是归纳和类比。从引申和推广的方向来看,有同一知识深入发展的纵向引申和推广,也有不同分支内容的横向引申和推广。在可接受的原则下,数学命题的引申和推广可使数学命题在更大包容性、更高概括程度上实现了知识结构的整体优化,有利于加强数学知识之间的联系,促进数学知识的综合贯通,也有助于学生数学认知结构的完善和发展。
在命题教学中,师生的思维过程实际上就是数学命题知识的发生、演变过程,也是蕴涵于数学命题知识之中的数学思想方法的提炼、揭示过程。因此实施数学命题过程性策略的有效途径就包含了暴露数学思维的过程、揭示数学命题的产生推证过程、突出数学思想方法的提炼和应用过程。