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【摘 要】在空间解析几何教学中，MATLAB不仅能将复杂的空间曲面方程精准、直观地用三维图形表现出来，还能以动画的形式将空间复杂曲面任意旋转，使学生能直观地、全方位地观察、理解空间曲面方程所表示的曲面形状、特征和性质，从而增强了学生的空间想象能力，启发学生积极思考、研究和探索。本文以MATLAB在旋转面及其方程教学中应用的教学设计作为出发点，对其展开深入探讨。
【关键词】空间解析几何;MATLAB;教学设计
【中图分类号】G642.41 【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2019）16-0002-02
一、教学思想与学情
本节课教学设计坚持“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的“四主”原则的教学理念精心设计教学环节。采用讲授式、启发式、归纳式、类比式、任务驱动教学相结合;多媒体和板书相结合，综合运用图片、仿真实验演示、flash动画等多种教学手段辅助教学，努力提高教学效果。首先通过具有旋转曲面外表的图片演示，引导学生发现类比探究形成旋转曲面的概念，引入新课。其次，发挥教师在课堂上主导作用和计算机的辅助作用，推导出旋转曲面的方程，循序渐进突破教学难点。再次，引入双曲槽，采用启发式教学，从动画模拟与理论抽象两个方面，讲解其背后的原理。
大一新生在高中阶段通过对平面几何的学习以及前面对空间曲线及其方程的掌握，已经具有一定的空間想象能力，会对本节课的学习产生兴趣，但其在分析推理能力还比较欠缺，有待加强，而在多元函数积分学中，必然遇到曲面方程，如果学生掌握本章知识点不够好，会使得“见其如同陌路”，这给学生学习后续知识带来困难。
二、教学目标与重点、难点
知识与技能目标：1.理解旋转曲面的概念;2.掌握旋转曲面方程的求法;3.掌握常见的旋转曲面方程的识记规律;4.理解双曲槽蕴含的数学原理。
过程与方法目标：1.通过对旋转曲面概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力;2.通过对旋转曲面方程的推导，使学生掌握求旋转曲面方程的一般方法，渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标解决几何问题的能力。
重点：理解旋转曲面的概念，双曲槽蕴含的数学原理;掌握求旋转曲面方程的一般方法及步骤。
难点：掌握特殊旋转曲面方程的求法与思路。
三、教学过程设计
教学环节一——创设情境，激趣导入
图片演示——旋转曲面在生活中无处不在，举例展示具有旋转曲面外表面的物品及建筑;通过对外表曲面的观察，思考其共同点，导入新课。
设计意图：直观演示，由这些物品及建筑给予学生美的享受与快乐同时，让学生思考其外表曲面，做类比分析，为学习抽象旋转曲面的概念做好铺垫。通过对共同点的思考，培养学生将实际问题数学化的能力，数学符号语言和图形语言互化的能力，设问引入旋转曲面概念内容，承上启下。
旋转曲面的数学定义（重点）：一条平面曲线C绕其平面上的一条直线L旋转一周所成的曲面S称为旋转曲面。
设计意图：通过对旋转曲面形成过程的MATLAB演示以及数学定义的引入，让学生掌握两个要点-母线、轴，为后续的求旋转曲面方程奠定理论基础。
教学环节二——自主探究，交流构建
旋转曲面方程的求解（重点难点）：学习旋转曲面的求解步骤，明确旋转曲面上任意一点M都可以由母线上的某一点N绕轴旋转而得到，体会点M与N到轴的距离相等以及具有相同的竖坐标两个要点。
设计意图：通过对旋转曲面的定义理解，体会加深旋转曲面方程求解思路，明确方程的由来适，解决教学难点。
教学环节三——学以致用，深化新知
举例思考、类推，
实践：轴字母不变，另“一方”变“两方”的记忆口诀。
设计意图：灵活运用口诀，能够利用口诀快速的求出旋转曲面的方程，为后续学习奠定基础，扩展学生知识面。
教学环节三——深入思考，知识点延伸
视频演示：双曲槽
提问：动直棒能穿过这两条双曲线狭缝？
视频演示、启发讨论
设计意图：通过这一有趣的数学展品双曲槽，激发学生的思考与兴趣，进而发觉延伸到考虑母线与轴不在同一平面时（异面），对旋转曲面方程的思索，扩展学生知识面。
利用MATLAB动画模拟：通过动画模拟更直观形象地展示为什么动直棒能穿过这两条双曲线狭缝。
设计意图：从动画模拟的角度解释动直棒能穿过这两条双曲线狭缝的原因，同时让学生直观的感受一根与定轴成异面直线的动直棒等距离绕中心轴转动一周所形成的轨迹曲面就是旋转单叶双曲面。
理论支撑：双曲槽实际上展示的是一根与定轴成异面直线的动直棒等距离绕中心轴转动一周所形成的轨迹曲面，我们不妨将直棒直线方程设出，求出其绕中心轴所在的z轴旋转的方程求出来说明为什么动直棒能穿过这两条双曲线狭缝。
设计意图：启发学生应用母线与轴在同一平面时（共面），求旋转曲面方程的方法来处理，通过有趣的双曲槽实例，动画模拟与理论支撑相互印证，增加趣味性，也能使学生感到旋转曲面并不只在书本内。
立足课堂，超越课堂。
四、教学反思
本节课以图片演示的方式导入，通过对具有旋转曲面外表的物品及建筑物观察，找出共同点，进一步抽象出旋转曲面的定义，使本来抽象的知识变得简单和形象。利用旋转曲面的定义给出求解其方程的一般性方法，当旋转轴为坐标轴时，分别讲授了母线在坐标面内和不在坐标面内的旋转曲面方程，让学生对理论逻辑有了具体而又生动的掌握，尤其非常有趣的是数学展品双曲槽的引入，更激发学生的兴趣，也给出了当母线在坐标面内，其绕坐标轴旋转所得的曲面方程公式的记忆口诀——轴字母不变，另“一方”变“两方”，指明了其的适用范围。整个讲解过程不仅仅只是给出求解步骤，简单的技巧，而且更着重对整体思路的把握与分析，采用合适的处理方法，培养学生自主分析问题的能力。
参考文献
[1]《高等数学》第七版，同济大学数学系编，高等教育出版社，2016.
[2]Jame Stewart， Calculus （Seventh Edition），微积分（第七版），高等教育出版社，2014.
基金项目：中国矿业大学青年教改项目：基于MATLAB在空间解析几何教学中应用的探索（2017QN08）。
【关键词】空间解析几何;MATLAB;教学设计
【中图分类号】G642.41 【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2019）16-0002-02
一、教学思想与学情
本节课教学设计坚持“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的“四主”原则的教学理念精心设计教学环节。采用讲授式、启发式、归纳式、类比式、任务驱动教学相结合;多媒体和板书相结合，综合运用图片、仿真实验演示、flash动画等多种教学手段辅助教学，努力提高教学效果。首先通过具有旋转曲面外表的图片演示，引导学生发现类比探究形成旋转曲面的概念，引入新课。其次，发挥教师在课堂上主导作用和计算机的辅助作用，推导出旋转曲面的方程，循序渐进突破教学难点。再次，引入双曲槽，采用启发式教学，从动画模拟与理论抽象两个方面，讲解其背后的原理。
大一新生在高中阶段通过对平面几何的学习以及前面对空间曲线及其方程的掌握，已经具有一定的空間想象能力，会对本节课的学习产生兴趣，但其在分析推理能力还比较欠缺，有待加强，而在多元函数积分学中，必然遇到曲面方程，如果学生掌握本章知识点不够好，会使得“见其如同陌路”，这给学生学习后续知识带来困难。
二、教学目标与重点、难点
知识与技能目标：1.理解旋转曲面的概念;2.掌握旋转曲面方程的求法;3.掌握常见的旋转曲面方程的识记规律;4.理解双曲槽蕴含的数学原理。
过程与方法目标：1.通过对旋转曲面概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力;2.通过对旋转曲面方程的推导，使学生掌握求旋转曲面方程的一般方法，渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标解决几何问题的能力。
重点：理解旋转曲面的概念，双曲槽蕴含的数学原理;掌握求旋转曲面方程的一般方法及步骤。
难点：掌握特殊旋转曲面方程的求法与思路。
三、教学过程设计
教学环节一——创设情境，激趣导入
图片演示——旋转曲面在生活中无处不在，举例展示具有旋转曲面外表面的物品及建筑;通过对外表曲面的观察，思考其共同点，导入新课。
设计意图：直观演示，由这些物品及建筑给予学生美的享受与快乐同时，让学生思考其外表曲面，做类比分析，为学习抽象旋转曲面的概念做好铺垫。通过对共同点的思考，培养学生将实际问题数学化的能力，数学符号语言和图形语言互化的能力，设问引入旋转曲面概念内容，承上启下。
旋转曲面的数学定义（重点）：一条平面曲线C绕其平面上的一条直线L旋转一周所成的曲面S称为旋转曲面。
设计意图：通过对旋转曲面形成过程的MATLAB演示以及数学定义的引入，让学生掌握两个要点-母线、轴，为后续的求旋转曲面方程奠定理论基础。
教学环节二——自主探究，交流构建
旋转曲面方程的求解（重点难点）：学习旋转曲面的求解步骤，明确旋转曲面上任意一点M都可以由母线上的某一点N绕轴旋转而得到，体会点M与N到轴的距离相等以及具有相同的竖坐标两个要点。
设计意图：通过对旋转曲面的定义理解，体会加深旋转曲面方程求解思路，明确方程的由来适，解决教学难点。
教学环节三——学以致用，深化新知
举例思考、类推，
实践：轴字母不变，另“一方”变“两方”的记忆口诀。
设计意图：灵活运用口诀，能够利用口诀快速的求出旋转曲面的方程，为后续学习奠定基础，扩展学生知识面。
教学环节三——深入思考，知识点延伸
视频演示：双曲槽
提问：动直棒能穿过这两条双曲线狭缝？
视频演示、启发讨论
设计意图：通过这一有趣的数学展品双曲槽，激发学生的思考与兴趣，进而发觉延伸到考虑母线与轴不在同一平面时（异面），对旋转曲面方程的思索，扩展学生知识面。
利用MATLAB动画模拟：通过动画模拟更直观形象地展示为什么动直棒能穿过这两条双曲线狭缝。
设计意图：从动画模拟的角度解释动直棒能穿过这两条双曲线狭缝的原因，同时让学生直观的感受一根与定轴成异面直线的动直棒等距离绕中心轴转动一周所形成的轨迹曲面就是旋转单叶双曲面。
理论支撑：双曲槽实际上展示的是一根与定轴成异面直线的动直棒等距离绕中心轴转动一周所形成的轨迹曲面，我们不妨将直棒直线方程设出，求出其绕中心轴所在的z轴旋转的方程求出来说明为什么动直棒能穿过这两条双曲线狭缝。
设计意图：启发学生应用母线与轴在同一平面时（共面），求旋转曲面方程的方法来处理，通过有趣的双曲槽实例，动画模拟与理论支撑相互印证，增加趣味性，也能使学生感到旋转曲面并不只在书本内。
立足课堂，超越课堂。
四、教学反思
本节课以图片演示的方式导入，通过对具有旋转曲面外表的物品及建筑物观察，找出共同点，进一步抽象出旋转曲面的定义，使本来抽象的知识变得简单和形象。利用旋转曲面的定义给出求解其方程的一般性方法，当旋转轴为坐标轴时，分别讲授了母线在坐标面内和不在坐标面内的旋转曲面方程，让学生对理论逻辑有了具体而又生动的掌握，尤其非常有趣的是数学展品双曲槽的引入，更激发学生的兴趣，也给出了当母线在坐标面内，其绕坐标轴旋转所得的曲面方程公式的记忆口诀——轴字母不变，另“一方”变“两方”，指明了其的适用范围。整个讲解过程不仅仅只是给出求解步骤，简单的技巧，而且更着重对整体思路的把握与分析，采用合适的处理方法，培养学生自主分析问题的能力。
参考文献
[1]《高等数学》第七版，同济大学数学系编，高等教育出版社，2016.
[2]Jame Stewart， Calculus （Seventh Edition），微积分（第七版），高等教育出版社，2014.
基金项目：中国矿业大学青年教改项目：基于MATLAB在空间解析几何教学中应用的探索（2017QN08）。