论文部分内容阅读
自从2010年北京市新课改后迎来了第一次高考，命题情况稳步的发生着一些变化，我在这里谈谈理科18题导数考察方向的情况以及自己的一些感受。
一.在2010至2012年这三年里依旧延续了课改之前的考试风格，侧重于考察分类讨论思想，难点都落在了二次含参函数的讨论。虽然2011年里有恒成立问题，也是最常见的转化，转化为最值问题，但问题的突破口依旧是二次函数含参进行分类讨论。
二.当2013年北京考试题出来后，导数题的变化应该是十分惹人注意的，我们不妨先来看看题目与解析。
（2013北京理）设L为曲线C：y= 在点（1，0）处的切线.
（I）求L的方程;
（II）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线L的下方.
解： （I）设f（x）= ，则f'（x）= .所以f'（x）=1.所以L的方程为y=x-1.
（II）令g（x）=x-1-f（x），则除切点之外，证明曲线C在直线l的下方
即证明x-1> （x>0，x≠1）.
即证明x-1-> 0（此处转最值构造函数不易解答）
即证明x2-x-1nx>0即（x2-x-1nx）min>0
记h（x）=x2-x-1nx，则h'（x）=2x-1- = =，
所以當0<x<1时，h'（x）<0，h（x）在（0，1）上单调递减;
当时x>1，h'（x）>0，h（x）在（1，+∞）上单调递增。
所以h（x）>h（1）=0.所以除切点之外，曲线C在直线L的下方.
从知识的考查来看，这是一道几何角度的证明，考查角度看似新颖但却真正的贴合教材，由几何观点--不等式证明--恒成立问题--最值问题，这和教材课后题十分相似。也给以后教师的教学发出信号，要重视问题的转化，分类讨论是重要的数学思想，化归思想也同样是重要的数学思想。没有参数，不需讨论，跳出了前几年高考的模式化思维。而且适时的转化决定着本题的难易程度，虽然题目不难，但对以后的高考有警示作用。
三.2014年北京导数题有一定难度，出现了三角背景。不等式证明，恒成立问题的解决都需要转化为最值问题。虽然题中后期解决涉及到分类讨论，但题目入口处转化与化归思想的考查个决定着整道题的命脉。我们先看看题目：
（2014北京理）已知函数f（x）=xcos x-sin x，x∈[0， ]，
（1）求证：f（x）≤0;
（2）若a< <b在（0， ）上恒成立，求a的最大值与b的最小值.
在各种教辅材料与网上的解析大致如下;
（I）由f（x）=xcosx-sinx得f'（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx。
因为在区间（0， ）上f'（x）=-xsinx<0，所以f（x）在区间[0， ]上单调递减。
从而f（x）≤f（0）=0。（Ⅱ）当x>0时，“ >a”等价于“sinx-ax>0”“ <b”等价于“sinx-bx<0”。构造g（x）=sinx-cx，求导分类讨论研究。
我个人认为此解题过程不算理想，在第二问中 >a转为研究（ ）min>a， <b转为（ ）min<b更为合理。构造g（x）- 研究最值。且求导后g'（x）= 分子部分正是第一问中研究的，因此在[0， ]上是单调递减的，最值也就清晰了。这种做法在两问的延续性上更具美感，同时也避免了分类讨论，只是g（x）的最大值问题上涉及极限问题，不太符合目前人教版课标要求。可以在最大值问题上进行转化sinx-bx<0研究即可。
纵观新课改后的五年北京高考，导数的考查逐步的突破了固化思维。导数本身是一个研究函数的工具，知识内容不多但应用灵活多变，只有放开束缚才能实现其研究函数的作用与价值。如果仅是习惯性的考察含参一，二次函数的分类讨论，无疑会增加学生的思维僵化，作为北京高考的18题一道能力题，万不可固化模式把题练死。从发展趋势来看，未来几年强调问题的转化将是考察的热点。
一.在2010至2012年这三年里依旧延续了课改之前的考试风格，侧重于考察分类讨论思想，难点都落在了二次含参函数的讨论。虽然2011年里有恒成立问题，也是最常见的转化，转化为最值问题，但问题的突破口依旧是二次函数含参进行分类讨论。
二.当2013年北京考试题出来后，导数题的变化应该是十分惹人注意的，我们不妨先来看看题目与解析。
（2013北京理）设L为曲线C：y= 在点（1，0）处的切线.
（I）求L的方程;
（II）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线L的下方.
解： （I）设f（x）= ，则f'（x）= .所以f'（x）=1.所以L的方程为y=x-1.
（II）令g（x）=x-1-f（x），则除切点之外，证明曲线C在直线l的下方
即证明x-1> （x>0，x≠1）.
即证明x-1-> 0（此处转最值构造函数不易解答）
即证明x2-x-1nx>0即（x2-x-1nx）min>0
记h（x）=x2-x-1nx，则h'（x）=2x-1- = =，
所以當0<x<1时，h'（x）<0，h（x）在（0，1）上单调递减;
当时x>1，h'（x）>0，h（x）在（1，+∞）上单调递增。
所以h（x）>h（1）=0.所以除切点之外，曲线C在直线L的下方.
从知识的考查来看，这是一道几何角度的证明，考查角度看似新颖但却真正的贴合教材，由几何观点--不等式证明--恒成立问题--最值问题，这和教材课后题十分相似。也给以后教师的教学发出信号，要重视问题的转化，分类讨论是重要的数学思想，化归思想也同样是重要的数学思想。没有参数，不需讨论，跳出了前几年高考的模式化思维。而且适时的转化决定着本题的难易程度，虽然题目不难，但对以后的高考有警示作用。
三.2014年北京导数题有一定难度，出现了三角背景。不等式证明，恒成立问题的解决都需要转化为最值问题。虽然题中后期解决涉及到分类讨论，但题目入口处转化与化归思想的考查个决定着整道题的命脉。我们先看看题目：
（2014北京理）已知函数f（x）=xcos x-sin x，x∈[0， ]，
（1）求证：f（x）≤0;
（2）若a< <b在（0， ）上恒成立，求a的最大值与b的最小值.
在各种教辅材料与网上的解析大致如下;
（I）由f（x）=xcosx-sinx得f'（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx。
因为在区间（0， ）上f'（x）=-xsinx<0，所以f（x）在区间[0， ]上单调递减。
从而f（x）≤f（0）=0。（Ⅱ）当x>0时，“ >a”等价于“sinx-ax>0”“ <b”等价于“sinx-bx<0”。构造g（x）=sinx-cx，求导分类讨论研究。
我个人认为此解题过程不算理想，在第二问中 >a转为研究（ ）min>a， <b转为（ ）min<b更为合理。构造g（x）- 研究最值。且求导后g'（x）= 分子部分正是第一问中研究的，因此在[0， ]上是单调递减的，最值也就清晰了。这种做法在两问的延续性上更具美感，同时也避免了分类讨论，只是g（x）的最大值问题上涉及极限问题，不太符合目前人教版课标要求。可以在最大值问题上进行转化sinx-bx<0研究即可。
纵观新课改后的五年北京高考，导数的考查逐步的突破了固化思维。导数本身是一个研究函数的工具，知识内容不多但应用灵活多变，只有放开束缚才能实现其研究函数的作用与价值。如果仅是习惯性的考察含参一，二次函数的分类讨论，无疑会增加学生的思维僵化，作为北京高考的18题一道能力题，万不可固化模式把题练死。从发展趋势来看，未来几年强调问题的转化将是考察的热点。