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目前,以小組合作交流的方式开展教学,已经成为了一种时尚,并被广泛地运用到数学课堂教学中.但是在小组合作交流为主线的数学教学活动中,笔者发现仍然存在一些问题,如:交流的问题缺少合作探究的价值;小组合作交流前缺少必要的独立思考的环节;小组合作交流的时间不充分;学生参与度不均衡;教师错失引导时机,点拨不到位等.
下面以人教版《数学(八年级上册)》第十三章133《等腰三角形》的一道例题的变式探究课为例,具体剖析.
一、教学活动过程
引例:在△ABC中,AB=AC,D为BC边上中点,点D到AB、AC的距离分别为DE、DF(如图1),那么DE与DF的关系是什么?请证明你的结论.
分析:学生四人一组进行探究,很快猜测出DE=DF,并给出了证明DE=DF的方法. 教师请小组代表展示交流不同的思考角度,归纳出三种典型证法. 方法一:利用等腰三角形的性质(三线合一)和角的平分线的性质证明;方法二:利用全等三角形判定及性质证明;方法三:利用面积方法证明.教师肯定了方法三的简洁漂亮,进一步追问学生是怎样想到此方法的,由此让所有学生明白当题目中有高的条件时,可以尝试利用面积来解决问题.
设计意图:观察发现学生都能猜出DE=DF,且至少能用一种方法证明,所以没有必要一开始就要求学生小组交流,而是在学生独立思考有一定想法后再小组或全班交流. 这样不仅让每位学生有机会独立分析和解决问题,同时在不同证法的分析和评议中,丰富他们的解题经验. 而方法三,只有个别学生想到. 但由于在本节课中后面所讲解的题目要用到此方法,因此教师特意做了强调.
变式1:当△ABC不是等腰三角形时,即AB≠AC,D还是BC边上中点,DE与DF的关系又会怎样?
分析:学生先独立思考,然后小组交流.在教师指导下,学生利用面积进行了探讨得出结论:当AB>AC时,DEDF.
设计意图:对于变式1的解决,学生的主要困难有两点:一是想不到分类,二是对用面积方法思考不熟悉.所以在独立思考受阻后,此时小组交流和教师的点拨是学生亟需的.
变式2:“在△ABC中,AB=AC”这个条件不变,我们可以适当改变“D为BC边上中点”这个条件再进行探究,如何改变?
分析:学生在教师的启发下,将点D做了如下更换:(1)D在BC边的中线上;(2)D在BC边的高线上;(3)D在∠A的角平分线上;(4)D为BC边上的一点;(5)D为BC(或CB)延长线上的一点.
之后教师引导学生将点D的变式分为三类:第一类,D在△ABC边上,如情形(4).第二类,D在△ABC内部,如情形(1)、(2)、(3),且D不在BC边上.第三类,D在△ABC外部,如情形(5).接下来教师指出:我们就来研究点D为BC边上任意一点,以及D为BC延长线上任意一点的情况.点D到AB、AC的距离分别为DE、DF,那么DE与DF的关系是什么?请四人小组分工,两人研究点D为BC边上任意一点的情形,另两人研究D为BC延长线上任意一点的情形,最后大家交流.
多数小组在探究之初没有思路,教师只好点破:探讨DE±DF与CG(点C到AB的距离)之间的关系.在此提示下,后面的探究较为顺畅,学生证明了下列两个结论.
结论1:△ABC中,AB=AC,D为BC边上任意一点,点D到AB、AC的距离分别为DE、DF,点C到AB的距离为CG(如图2),则DE+DF=CG.
结论2:在△ABC中,AB=AC,D为BC延长线上任意一点,点D到AB、AC的距离分别为DE、DF,点C到AB的距离为CG(如图3),则DE-DF=CG.
设计意图:教师没有直接给出要解决的两道关于点D的变式题,而是让学生经历题目的变式过程,并通过对点D的分类,展现变式的思考路径.
显然,当D为BC边上任意一点,或D为BC延长线上任意一点时,探究DE与DF的关系是困难的,小组合作是必需的,但当多数小组没有思路时,教师还是要适当引导,让学生探讨DE±DF与CG的关系,因为这是突破难点的关键.
由于时间的原因,最后探究的两道问题又在小组进行了分工,此策略既完整地实现了本节课的目标,又体现了合作交流的优势.
二、教学活动反思
教师找到引例和变式2的共性,将这两道题开放,与变式1构成一个系列探究题,这种改编反映了教师良好的学科水平,也为学生提供了探究学习的发散空间,值得提倡.与此同时还察明学生的最近发展区,适度搭建沟通两道题的桥梁.事实上,两条线段除了相等和不等关系外,还可以启发学生考虑做运算后的某些不变的性质.比如,让学生探讨DE+DF是否为定值,如果是定值,这个定值可以是三角形哪条线段的数值. 进一步启发学生通过特殊点(如D为BC边上的中点)先行研究,然后将结论推测到一般情况(D为BC边上的一点)并证明. 这样的探究,不仅突破了变式2的难点:将DE、DF的关系转换成它们的代数和与CG的关系,也让学生经历了发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的全过程.
通过一个题目的系列变式,让学生感受到用面积证明的巧妙之处,这个意图是好的,但不必限制对引例的变式.在变式1呈现前,先让学生充分对引例多角度地变式:结论和条件的互换,改变一个条件或结论,题目呈现的改变等.比如,把引例DE=DF作为条件,寻求点D的位置.即可表述为:当点D在什么位置时,DE=DF?还可表述为:添加一个条件,使DE=DF.再如,引例的条件:AB=AC,D为BC边上中点不变,把DE、DF分别变为AB、AC上的中线或∠ADB,∠ADC的平分线,DE和DF是否相等.当然还可以利用等腰三角形的轴对称图形的性质,猜想DE、DF分别变为AB、AC上的n等分线或∠ADB,∠ADC的n等分线的情况.
总之,将变式作为教学资源,让学生参与其中,了解变式题的前世今生,然后再根据本节课所定的目标,选择变式题加以实现.这种发散思维与集中思维并举的学习方式,有助于学生学习能力的提升和创新意识的培养.
三、教学活动建议
以学生小组合作交流为主线的教学活动,除了通过信息沟通、观点共享、意义生成等思维碰撞,促进学生的数学认知更为丰富、深刻、全面以外,其意义还在于学生主体的充分发挥、多方面心理需求的满足、分析问题与解决问题能力的提高,以及合作交流、团结协作、竞争意识的培养等.因此要取得上述成效,开展以小组合作交流为主线的教学活动时,下面三个问题值得关注.
1 建立适宜的合作小组
根据活动内容,采用灵活的编组原则,既可以是优中差的组内异质组合,也可以是全优、全中、全差的组内同质组合,还可以是全男、全女的性别组合等.每组人数以4至6人为宜,如人数太少,不利于学生间的讨论、交流和互助;如人数太多,不便管理,也不利于学生间的交流和个人的充分展示,互动得不到体现.每个小组成员在组内承担一个相应的角色,包括组长、记录员、报告员、检查员等.这些角色还可以适当调换,充分调动学生的积极性,确保他们都主动地参与小组活动.
2 培养基本的合作技能
教师要强化学生团队观念和互帮互学的合作意识,不失时机地向学生传授合作的基本技能,比如倾听、表达、质疑、接纳、组织管理等技能,使他们学会既善于积极主动地表达自己的见解,敢于说出不同的看法;又善于倾听别人的意见,相互启迪,并能够综合吸收各种不同的观点,共同寻找解决问题的思路.
3 恰当选择合作交流的内容
研究表明,并不是所有的内容都适合小组合作交流.在数学课堂,像学生无法独立在短时间内完成的任务;对学生个人较难完成,但又在学生能力范围内富有挑战性的问题;抑或是开放性或解决途径多样化的问题等,都适合开展小组合作交流活动.
参考文献
[1]人民教育出版社课程教材研究所,中学数学课程教材研发中心. 义务教育教科书·数学(八年级上册)[M]. 北京: 人民教育出版社,2013:89.
(责任编辑:李珺)教学管理 JIAOXUEGUANLI
下面以人教版《数学(八年级上册)》第十三章133《等腰三角形》的一道例题的变式探究课为例,具体剖析.
一、教学活动过程
引例:在△ABC中,AB=AC,D为BC边上中点,点D到AB、AC的距离分别为DE、DF(如图1),那么DE与DF的关系是什么?请证明你的结论.
分析:学生四人一组进行探究,很快猜测出DE=DF,并给出了证明DE=DF的方法. 教师请小组代表展示交流不同的思考角度,归纳出三种典型证法. 方法一:利用等腰三角形的性质(三线合一)和角的平分线的性质证明;方法二:利用全等三角形判定及性质证明;方法三:利用面积方法证明.教师肯定了方法三的简洁漂亮,进一步追问学生是怎样想到此方法的,由此让所有学生明白当题目中有高的条件时,可以尝试利用面积来解决问题.
设计意图:观察发现学生都能猜出DE=DF,且至少能用一种方法证明,所以没有必要一开始就要求学生小组交流,而是在学生独立思考有一定想法后再小组或全班交流. 这样不仅让每位学生有机会独立分析和解决问题,同时在不同证法的分析和评议中,丰富他们的解题经验. 而方法三,只有个别学生想到. 但由于在本节课中后面所讲解的题目要用到此方法,因此教师特意做了强调.
变式1:当△ABC不是等腰三角形时,即AB≠AC,D还是BC边上中点,DE与DF的关系又会怎样?
分析:学生先独立思考,然后小组交流.在教师指导下,学生利用面积进行了探讨得出结论:当AB>AC时,DE
设计意图:对于变式1的解决,学生的主要困难有两点:一是想不到分类,二是对用面积方法思考不熟悉.所以在独立思考受阻后,此时小组交流和教师的点拨是学生亟需的.
变式2:“在△ABC中,AB=AC”这个条件不变,我们可以适当改变“D为BC边上中点”这个条件再进行探究,如何改变?
分析:学生在教师的启发下,将点D做了如下更换:(1)D在BC边的中线上;(2)D在BC边的高线上;(3)D在∠A的角平分线上;(4)D为BC边上的一点;(5)D为BC(或CB)延长线上的一点.
之后教师引导学生将点D的变式分为三类:第一类,D在△ABC边上,如情形(4).第二类,D在△ABC内部,如情形(1)、(2)、(3),且D不在BC边上.第三类,D在△ABC外部,如情形(5).接下来教师指出:我们就来研究点D为BC边上任意一点,以及D为BC延长线上任意一点的情况.点D到AB、AC的距离分别为DE、DF,那么DE与DF的关系是什么?请四人小组分工,两人研究点D为BC边上任意一点的情形,另两人研究D为BC延长线上任意一点的情形,最后大家交流.
多数小组在探究之初没有思路,教师只好点破:探讨DE±DF与CG(点C到AB的距离)之间的关系.在此提示下,后面的探究较为顺畅,学生证明了下列两个结论.
结论1:△ABC中,AB=AC,D为BC边上任意一点,点D到AB、AC的距离分别为DE、DF,点C到AB的距离为CG(如图2),则DE+DF=CG.
结论2:在△ABC中,AB=AC,D为BC延长线上任意一点,点D到AB、AC的距离分别为DE、DF,点C到AB的距离为CG(如图3),则DE-DF=CG.
设计意图:教师没有直接给出要解决的两道关于点D的变式题,而是让学生经历题目的变式过程,并通过对点D的分类,展现变式的思考路径.
显然,当D为BC边上任意一点,或D为BC延长线上任意一点时,探究DE与DF的关系是困难的,小组合作是必需的,但当多数小组没有思路时,教师还是要适当引导,让学生探讨DE±DF与CG的关系,因为这是突破难点的关键.
由于时间的原因,最后探究的两道问题又在小组进行了分工,此策略既完整地实现了本节课的目标,又体现了合作交流的优势.
二、教学活动反思
教师找到引例和变式2的共性,将这两道题开放,与变式1构成一个系列探究题,这种改编反映了教师良好的学科水平,也为学生提供了探究学习的发散空间,值得提倡.与此同时还察明学生的最近发展区,适度搭建沟通两道题的桥梁.事实上,两条线段除了相等和不等关系外,还可以启发学生考虑做运算后的某些不变的性质.比如,让学生探讨DE+DF是否为定值,如果是定值,这个定值可以是三角形哪条线段的数值. 进一步启发学生通过特殊点(如D为BC边上的中点)先行研究,然后将结论推测到一般情况(D为BC边上的一点)并证明. 这样的探究,不仅突破了变式2的难点:将DE、DF的关系转换成它们的代数和与CG的关系,也让学生经历了发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的全过程.
通过一个题目的系列变式,让学生感受到用面积证明的巧妙之处,这个意图是好的,但不必限制对引例的变式.在变式1呈现前,先让学生充分对引例多角度地变式:结论和条件的互换,改变一个条件或结论,题目呈现的改变等.比如,把引例DE=DF作为条件,寻求点D的位置.即可表述为:当点D在什么位置时,DE=DF?还可表述为:添加一个条件,使DE=DF.再如,引例的条件:AB=AC,D为BC边上中点不变,把DE、DF分别变为AB、AC上的中线或∠ADB,∠ADC的平分线,DE和DF是否相等.当然还可以利用等腰三角形的轴对称图形的性质,猜想DE、DF分别变为AB、AC上的n等分线或∠ADB,∠ADC的n等分线的情况.
总之,将变式作为教学资源,让学生参与其中,了解变式题的前世今生,然后再根据本节课所定的目标,选择变式题加以实现.这种发散思维与集中思维并举的学习方式,有助于学生学习能力的提升和创新意识的培养.
三、教学活动建议
以学生小组合作交流为主线的教学活动,除了通过信息沟通、观点共享、意义生成等思维碰撞,促进学生的数学认知更为丰富、深刻、全面以外,其意义还在于学生主体的充分发挥、多方面心理需求的满足、分析问题与解决问题能力的提高,以及合作交流、团结协作、竞争意识的培养等.因此要取得上述成效,开展以小组合作交流为主线的教学活动时,下面三个问题值得关注.
1 建立适宜的合作小组
根据活动内容,采用灵活的编组原则,既可以是优中差的组内异质组合,也可以是全优、全中、全差的组内同质组合,还可以是全男、全女的性别组合等.每组人数以4至6人为宜,如人数太少,不利于学生间的讨论、交流和互助;如人数太多,不便管理,也不利于学生间的交流和个人的充分展示,互动得不到体现.每个小组成员在组内承担一个相应的角色,包括组长、记录员、报告员、检查员等.这些角色还可以适当调换,充分调动学生的积极性,确保他们都主动地参与小组活动.
2 培养基本的合作技能
教师要强化学生团队观念和互帮互学的合作意识,不失时机地向学生传授合作的基本技能,比如倾听、表达、质疑、接纳、组织管理等技能,使他们学会既善于积极主动地表达自己的见解,敢于说出不同的看法;又善于倾听别人的意见,相互启迪,并能够综合吸收各种不同的观点,共同寻找解决问题的思路.
3 恰当选择合作交流的内容
研究表明,并不是所有的内容都适合小组合作交流.在数学课堂,像学生无法独立在短时间内完成的任务;对学生个人较难完成,但又在学生能力范围内富有挑战性的问题;抑或是开放性或解决途径多样化的问题等,都适合开展小组合作交流活动.
参考文献
[1]人民教育出版社课程教材研究所,中学数学课程教材研发中心. 义务教育教科书·数学(八年级上册)[M]. 北京: 人民教育出版社,2013:89.
(责任编辑:李珺)教学管理 JIAOXUEGUANLI