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【摘 要】众所周知，《不等式选讲》内容系统、技能突出、应用广泛、落实了新课程所提出的“多次接触、螺旋上升”的理念。笔者仔细研读2010年高考不等式试题，这些试题能对新课改和后续的教学产生良好的导向性。
【关键词】高考不等式命题 不等式选讲 教学 导向性
【中图分类号】G632【文献标识码】A【文章编号】1006－9682（2011）02－0138－02
本文尝试从高中数学新课程理念出发，解读高考不等式试题，努力使新一轮课改的做法更趋向科学合理。
一、试题突出基础性，教学重视展现不等式的几何背景。
2010年高考湖北卷填空题第15题选自于教材，并适当加以改编而成。这其实是考查基本不等式链的几何模型。“回归基础，回归教材，回归考纲”已成为高等命题者稳定中学教学秩序、积极推进课改发展的三大法宝，同时也是中学数学教师和学生的共同心声。对基本不等式链：若a、b∈R＋，则 ≥ ≥ ≥ ，在教学中充分展示它的几何背景，有着异曲同工之妙。如图1所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O是AB中点，以AB为直径作半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD、AD、BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。过点D作半圆的切线使DF＝OC，连结OF。易知 ， ， ， 。显然OF＞OD＞CD＞DE，有基本不等式链成立。这同时解答了2010年高考湖北卷填空题第15题。
［教学启示］注重引导学生认识不等式深刻的数学意义和几何背景。如绝对值不等式的几何意义，排序不等式的“排序”思想；再如，柯西不等式的向量形式将数学中两个重要概念“长度”和“角度”内在地统一起来处理，一定程度上体现了数学的统一性和美感。学生在学习中应当把握不等式的这些特性，理解其实质。
二、试题凸显创新性，教学着重培养解决新问题的能力。
情境是实现立意的材料和介质。情境与问题相伴，问题是情境的焦点，情境因问题而存在。问题既是考查的内容也是考查的手段。在高考中，考生对情境新颖的试题，一般需要具有自主学习的能力，学习能力是指学生阅读并理解数学新知识的能力，这里的新知识可以是新的概念、新的定理、新的方法、新的公式、新的规则等。学习能力还包括会搜集、提炼、加工信息，对阅读的内容进行概括和理解，看清问题的本质，然后运用新的知识通过分析、演算、归纳、猜想、类比或论证等方法解决一些新的数学问题。
例，（2010年高考上海卷理数第22）若实数x，y，z满足| x－m |＞| y－m |，则称x比y远离m。
（1）若x2－1比1远离0，求x的取值范围；
（2）对任意两个相等的正数a、b，证明：a3＋b3比a2b＋ab2远离 。
本题构思精妙，情境新颖，从试题的情境来看。本题以中学数学中的不等式、三角函数等基本运算为素材，以绝对值的定义为背景，经过精心设计和包装，以“远离”的形式出现，展示给学生的是一个全新的问题，试题具有较大的思维空间，考查了阅读理解、知识迁移、逻辑证明等多种数学能力，体现了主动探究意识，呈现出研究性学习的特点，从试题解答来看，这个问题没有现成的“套路”和“招式”，需要学生阅读理解定义，综合运用不等式及三角函数的性质才能解决。
［教学启示］关注不等式的综合应用，不等式不仅与代数、几何、分析等数学知识联系紧密，而且在解决实际问题方面发挥重要的作用。教学中应鼓励学生将所学知识综合应用，对待创新问题可以按照“从新情境问题中获取信息——分析处理信息——转化为数学问题——获得原问题的解”的步骤进行。甚至可进行一些必要的调查研究，提高学生分析问题与解决问题的能力。
三、试题体现灵活性，教学不断渗透数学思想方法。
数学思想是对于数学知识理性的、本质的、高度抽象与概括的认识，带有普遍的指导意义，蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中。数学方法是研究或解决数学问题并使之达到目的的手段、方式、途径或程序。数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深对于具体数学知识的理解和掌握。《不等式选讲》中蕴涵着优化思想、数形结合思想、换元思想、函数思想，以及证明不等式的比较法、综合与分析法、放缩法、反证法、数学归纳法。
例，（2010年高考辽宁卷理数第24）已知a、b、c为正数，证明：
≥ ，并确定a、b、c为何值时，
等号成立。
本题结构严谨，形式统一，主要考查学生运用均值不等式证题的能力。可以说，虽然试题对于学生来说证明上不存在什么障碍，但证题的过程却出现了数学思维上的百花齐放。
证法一：a，b，c为正数，由均值不等式得a2＋b2＋c2≥3（abc） ，
≥3（abc） ，所以 ≥3（abc）
＋9（abc） ≥ ，则原不等式成立。
当且仅当a＝b＝c＝3 时，原不等式取等号。
证法二：因a，b，c为正数，由基本不等式出发得a2＋b2＋
c2≥ab＋bc＋ca，同理有≥ ，故a2＋b2
＋c2＋ ≥ab＋bc＋ca＋3（ ）≥ ，当且
仅当a＝b＝c＝3 时，原不等式取等号。
证法三：由a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，则
≥ ≥3（abc）
＋9（abc） ≥
［教学启示］从上述证法中可以看出，高考的证明题在思维程度上设置得十分恰当，体现数学思维的多样性发展，这符合新课程理念中提倡各类学生都能在数学思维上有个性化的发展，因此教师倡导教学中注重学生数学思维多样性的形成，不断地渗透数学思想方法。
总之，在笔者看来，对《不等式选讲》的学习，当我们从外部把它作为一种学习活动来看待时，它是平面的、简单的、线性的，但这仅仅训练了学生的机械模仿和推理能力；而当我们从学习者内心广泛的活动来看时，会发现一个个独特的、复杂的、多元的思维空间，从而构建起属于学生自己的不等式认知结构。因此，不等式教学不仅要让学生知其然，更要知其所以然。今年的不等式试题给了我们良好的教学导向，只要你尊重数学教学本身的规律，立足基础，加强创新，注重思想，一定能在高考中取得令人满意的成绩，这样的良好导向将引领一线教师从新课改的激情、困惑阶段走向务实、理性的境地。
【关键词】高考不等式命题 不等式选讲 教学 导向性
【中图分类号】G632【文献标识码】A【文章编号】1006－9682（2011）02－0138－02
本文尝试从高中数学新课程理念出发，解读高考不等式试题，努力使新一轮课改的做法更趋向科学合理。
一、试题突出基础性，教学重视展现不等式的几何背景。
2010年高考湖北卷填空题第15题选自于教材，并适当加以改编而成。这其实是考查基本不等式链的几何模型。“回归基础，回归教材，回归考纲”已成为高等命题者稳定中学教学秩序、积极推进课改发展的三大法宝，同时也是中学数学教师和学生的共同心声。对基本不等式链：若a、b∈R＋，则 ≥ ≥ ≥ ，在教学中充分展示它的几何背景，有着异曲同工之妙。如图1所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O是AB中点，以AB为直径作半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD、AD、BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。过点D作半圆的切线使DF＝OC，连结OF。易知 ， ， ， 。显然OF＞OD＞CD＞DE，有基本不等式链成立。这同时解答了2010年高考湖北卷填空题第15题。
［教学启示］注重引导学生认识不等式深刻的数学意义和几何背景。如绝对值不等式的几何意义，排序不等式的“排序”思想；再如，柯西不等式的向量形式将数学中两个重要概念“长度”和“角度”内在地统一起来处理，一定程度上体现了数学的统一性和美感。学生在学习中应当把握不等式的这些特性，理解其实质。
二、试题凸显创新性，教学着重培养解决新问题的能力。
情境是实现立意的材料和介质。情境与问题相伴，问题是情境的焦点，情境因问题而存在。问题既是考查的内容也是考查的手段。在高考中，考生对情境新颖的试题，一般需要具有自主学习的能力，学习能力是指学生阅读并理解数学新知识的能力，这里的新知识可以是新的概念、新的定理、新的方法、新的公式、新的规则等。学习能力还包括会搜集、提炼、加工信息，对阅读的内容进行概括和理解，看清问题的本质，然后运用新的知识通过分析、演算、归纳、猜想、类比或论证等方法解决一些新的数学问题。
例，（2010年高考上海卷理数第22）若实数x，y，z满足| x－m |＞| y－m |，则称x比y远离m。
（1）若x2－1比1远离0，求x的取值范围；
（2）对任意两个相等的正数a、b，证明：a3＋b3比a2b＋ab2远离 。
本题构思精妙，情境新颖，从试题的情境来看。本题以中学数学中的不等式、三角函数等基本运算为素材，以绝对值的定义为背景，经过精心设计和包装，以“远离”的形式出现，展示给学生的是一个全新的问题，试题具有较大的思维空间，考查了阅读理解、知识迁移、逻辑证明等多种数学能力，体现了主动探究意识，呈现出研究性学习的特点，从试题解答来看，这个问题没有现成的“套路”和“招式”，需要学生阅读理解定义，综合运用不等式及三角函数的性质才能解决。
［教学启示］关注不等式的综合应用，不等式不仅与代数、几何、分析等数学知识联系紧密，而且在解决实际问题方面发挥重要的作用。教学中应鼓励学生将所学知识综合应用，对待创新问题可以按照“从新情境问题中获取信息——分析处理信息——转化为数学问题——获得原问题的解”的步骤进行。甚至可进行一些必要的调查研究，提高学生分析问题与解决问题的能力。
三、试题体现灵活性，教学不断渗透数学思想方法。
数学思想是对于数学知识理性的、本质的、高度抽象与概括的认识，带有普遍的指导意义，蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中。数学方法是研究或解决数学问题并使之达到目的的手段、方式、途径或程序。数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深对于具体数学知识的理解和掌握。《不等式选讲》中蕴涵着优化思想、数形结合思想、换元思想、函数思想，以及证明不等式的比较法、综合与分析法、放缩法、反证法、数学归纳法。
例，（2010年高考辽宁卷理数第24）已知a、b、c为正数，证明：
≥ ，并确定a、b、c为何值时，
等号成立。
本题结构严谨，形式统一，主要考查学生运用均值不等式证题的能力。可以说，虽然试题对于学生来说证明上不存在什么障碍，但证题的过程却出现了数学思维上的百花齐放。
证法一：a，b，c为正数，由均值不等式得a2＋b2＋c2≥3（abc） ，
≥3（abc） ，所以 ≥3（abc）
＋9（abc） ≥ ，则原不等式成立。
当且仅当a＝b＝c＝3 时，原不等式取等号。
证法二：因a，b，c为正数，由基本不等式出发得a2＋b2＋
c2≥ab＋bc＋ca，同理有≥ ，故a2＋b2
＋c2＋ ≥ab＋bc＋ca＋3（ ）≥ ，当且
仅当a＝b＝c＝3 时，原不等式取等号。
证法三：由a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，则
≥ ≥3（abc）
＋9（abc） ≥
［教学启示］从上述证法中可以看出，高考的证明题在思维程度上设置得十分恰当，体现数学思维的多样性发展，这符合新课程理念中提倡各类学生都能在数学思维上有个性化的发展，因此教师倡导教学中注重学生数学思维多样性的形成，不断地渗透数学思想方法。
总之，在笔者看来，对《不等式选讲》的学习，当我们从外部把它作为一种学习活动来看待时，它是平面的、简单的、线性的，但这仅仅训练了学生的机械模仿和推理能力；而当我们从学习者内心广泛的活动来看时，会发现一个个独特的、复杂的、多元的思维空间，从而构建起属于学生自己的不等式认知结构。因此，不等式教学不仅要让学生知其然，更要知其所以然。今年的不等式试题给了我们良好的教学导向，只要你尊重数学教学本身的规律，立足基础，加强创新，注重思想，一定能在高考中取得令人满意的成绩，这样的良好导向将引领一线教师从新课改的激情、困惑阶段走向务实、理性的境地。