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摘 要：数学教育的核心是培养分析问题和解决问题的能力。在教学中，应注重解题思路的讲解，同时加强分析法和综合法的运用，这是培养学生分析问题和解决问题能力的重要措施。
关键词：分析； 综合； 分析问题能力； 解决问题能力
培养学生的“能力”要十分重视学生分析问题和解决问题能力的培养。教学实践证明，在解题中，组织学生运用“已知”探索“未知”突出思考途径，加强分析法和综合法的运用，是培养学生分析问题和解决问题能力的重要措施。此外，通过学生分析问题、解决问题的练习，还可以加深巩固所学的基础知识，启发学生积极思考，提高学生学习数学的兴趣。
在解法讲解中，既要力求符合学生掌握间接经验的认识过程，更要引导学生遵循辩证唯物主义的认识规律，即分析“已知”→探索“未知”→寻找“已知”和“未知”的联系，从而找到解题途径。为此，根据认识程序，不妨将解题过程分为四步，即“审题”、“分析”、“解答”和“讨论”。其中以“分析”最为关键。
1.“审题”：任何一个数学问题都包括已知和未知两个组成部分，此外还有这个数学问题所属数学知识部门的已知概念、定理、公式和方法，以及问题中已知和未知的各种关系。这些都是解题的依据。因此，每讲一个例题，应引导学生首先审题。仔细看清题目，正确理解题意，明确题设与所求。总之，要养成学生审题的习惯，做到每题必审，先审后做。学生解题错误往往是由于不细心审题，没有弄清问题的已知、未知、条件以及有关知识就急于解题所造成。在这种情况下，教师应抓紧时机指出这种错误并分析其原因，使学生及时汲取经验教训，从而重视审题。
审题也要根据习题的类型不同采用不同的方法。例如，有的习题属于某种典型数学问题，这类问题的已知、未知、条件往往比较明显并且有一定的解题通法。如用辗转相除法求两个多项式的最高公因式，解最简三角方程等属于典型数学题。对于这类典型题，在审题时，只是弄清楚题目所属类型及其解法就可以了。但是，对一些综合性较强，已知、未知、条件比较复杂，或者条件隐蔽的数学题，审题时往往要把原题目变形或化简，或者要转换为已知其解法的典型题。因此，提高学生的审题的能力，要特别着重锻炼学生分析隐蔽条件和转换化简数学问题的能力。下面举一例说明这类问题的审题方法。
例：已知正数成等差数列，
求证：
这个题目的已知条件比较明显，但求证比较复杂。可考虑把求证化简，求证的等式的左边比较复杂，先考虑把左边的式子化简，又等式左边各分式的分母是根式，可考虑把等式左边各分式的分母有理化，即把求证化为：
另外（是公差），以此代入求证的等式，并将其在化简为这个等式实质就是：
即（隐蔽条件），这样，从化简中就可获得证明的方法。
2.“分析”：审完题后，进一步对条件和结论进行具体分析，引导学生有条理的开展思维活动，借助已学知识，探讨“已知”和“未知”的内在联系。这时，可采用“分析法”的推理程序。因分析法的思维过程比较自然，符合学生的认识程序，既由未知（结论）找须知再找须知推到已知（题设），容易找到解题途径。所以，每讲范例，定要分析，重点突出思路，启发学生思维。
如讲解“空间平面与直线”的例题时，要紧紧抓住平面的法矢量和直线的方向向量这两个关键，用失量分析空间平面与直线的位置关系。并在几何示意图上设计解题途径，先在图上把题“解”好，余下的，只是分部列式而已。再如，讲解二元复合函数求偏导数的例题时，若
，求或。
切不要让学生死套公式，而应多画如下的函数复合关系图：
教学生先画“线路图”，从图上认清函数间的复合关系，求偏导数也就不难了。
若把简练的“公式”比作“诗歌”，“几何示意图”与“函数关系图”犹如“图画”，则“诗情画意”，图文并茂，相互结合。借助于形象思维和几何直观，就更有助于学生分析能力的提高。
一个题目，若经审题和分析后，还未找到“已知”和“未知”的关系，可设法简化原题，即化简或转化“已知”和“未知”。如交错级数的判敛，有时要直接判断“未知”：“是否大于？”比较困难。可将旧未知转化为新未知：考察
“是大于1还是小于1？”或“是大于0
还是小于0？”，因为相邻两项相除或相减，可约去或抵消某些部分，从而使“未知”简化，易于求得。
3.“解答”：经分析找到解题途径后，要用“综合法”的形式加以叙述和书写，既由已知→推可知→再推可知→直到未知。综合法的形式简明，层次清楚，便于书写，给人以严密完整的映象。
由于科学技术的日新月异，学生将来参加工作和学习一定会遇到许多新问题。要解决新问题，有所发明，有所创造，必须具有机敏灵活、富有创造的思维能力。为了培养学生的这些能力，就不能停留在解答一些固定的常见的数学问题，而应在解题中，提倡“一题多解”与“一法多用”。很多函数极限的计算都是通过一种或几种极限运算方法的联合使用计算出来的。
如计算极限
至少有三种方法求出函数的极限值：
方法一 变换原式 原式=；
方法二 由罗必达法则
原式=；
方法三 由泰勒公式
原式=
=
这样的练习对于那些基础较好、学有余力的学生更为需要。特别有利于提高学生的综合解题能力。
我们的教学，往往侧重算法程序的讲解，有些学生在考前复习时，连自己过去作业都看不懂了。这是由于学生在计算中，光死背算法程序，而不懂得算理。所以，教师在讲解例题时，无论是计算或作图，都要注意根据，讲清算理，逐步使学生养成“步步有据”的思维习惯。只有让学生懂得了算理，在算理指导下解题，才能真正理解和记住算法程序。也只有灵活运用算理，解法才能熟练自如。
4.“讨论”：解完题后不算完，要引导学生进行讨论，比较每种解法的“个性”特点、繁简优劣和使用规律，力求从中看出一些规律性的东西。要使学生养成“反刍”的习惯，每做一题，回味咀嚼，强化映象，小结讨论。使学生做一题会一题，做一个题有一个题的体会与收获。
最后注意，在解题的技巧训练中，千万不能把学生引向某些用处不大的所谓“奇招”、“怪招”上。在数学教学中，把主要精力放在解各种各样的数学难题，这既加重了学生的负担，也不符合学生的认识规律。我们应当提倡把学生的注意点主要集中到解常规问题的训练上来[1] 。
总之，要提高学生的解题能力，就要分析已知探索未知形成技能技巧做到举一反三。这本身就是一个认识事物的过程。所以，即便是一个范例的讲解，也要遵循认识规律，突出思考途径，才能逐步提高学生分析问题和解决问题的能力。
参考文献
[1] 朱水根.数学教学引论.天津科学技术出版社，1995
收稿日期：2014-05-12
关键词：分析； 综合； 分析问题能力； 解决问题能力
培养学生的“能力”要十分重视学生分析问题和解决问题能力的培养。教学实践证明，在解题中，组织学生运用“已知”探索“未知”突出思考途径，加强分析法和综合法的运用，是培养学生分析问题和解决问题能力的重要措施。此外，通过学生分析问题、解决问题的练习，还可以加深巩固所学的基础知识，启发学生积极思考，提高学生学习数学的兴趣。
在解法讲解中，既要力求符合学生掌握间接经验的认识过程，更要引导学生遵循辩证唯物主义的认识规律，即分析“已知”→探索“未知”→寻找“已知”和“未知”的联系，从而找到解题途径。为此，根据认识程序，不妨将解题过程分为四步，即“审题”、“分析”、“解答”和“讨论”。其中以“分析”最为关键。
1.“审题”：任何一个数学问题都包括已知和未知两个组成部分，此外还有这个数学问题所属数学知识部门的已知概念、定理、公式和方法，以及问题中已知和未知的各种关系。这些都是解题的依据。因此，每讲一个例题，应引导学生首先审题。仔细看清题目，正确理解题意，明确题设与所求。总之，要养成学生审题的习惯，做到每题必审，先审后做。学生解题错误往往是由于不细心审题，没有弄清问题的已知、未知、条件以及有关知识就急于解题所造成。在这种情况下，教师应抓紧时机指出这种错误并分析其原因，使学生及时汲取经验教训，从而重视审题。
审题也要根据习题的类型不同采用不同的方法。例如，有的习题属于某种典型数学问题，这类问题的已知、未知、条件往往比较明显并且有一定的解题通法。如用辗转相除法求两个多项式的最高公因式，解最简三角方程等属于典型数学题。对于这类典型题，在审题时，只是弄清楚题目所属类型及其解法就可以了。但是，对一些综合性较强，已知、未知、条件比较复杂，或者条件隐蔽的数学题，审题时往往要把原题目变形或化简，或者要转换为已知其解法的典型题。因此，提高学生的审题的能力，要特别着重锻炼学生分析隐蔽条件和转换化简数学问题的能力。下面举一例说明这类问题的审题方法。
例：已知正数成等差数列，
求证：
这个题目的已知条件比较明显，但求证比较复杂。可考虑把求证化简，求证的等式的左边比较复杂，先考虑把左边的式子化简，又等式左边各分式的分母是根式，可考虑把等式左边各分式的分母有理化，即把求证化为：
另外（是公差），以此代入求证的等式，并将其在化简为这个等式实质就是：
即（隐蔽条件），这样，从化简中就可获得证明的方法。
2.“分析”：审完题后，进一步对条件和结论进行具体分析，引导学生有条理的开展思维活动，借助已学知识，探讨“已知”和“未知”的内在联系。这时，可采用“分析法”的推理程序。因分析法的思维过程比较自然，符合学生的认识程序，既由未知（结论）找须知再找须知推到已知（题设），容易找到解题途径。所以，每讲范例，定要分析，重点突出思路，启发学生思维。
如讲解“空间平面与直线”的例题时，要紧紧抓住平面的法矢量和直线的方向向量这两个关键，用失量分析空间平面与直线的位置关系。并在几何示意图上设计解题途径，先在图上把题“解”好，余下的，只是分部列式而已。再如，讲解二元复合函数求偏导数的例题时，若
，求或。
切不要让学生死套公式，而应多画如下的函数复合关系图：
教学生先画“线路图”，从图上认清函数间的复合关系，求偏导数也就不难了。
若把简练的“公式”比作“诗歌”，“几何示意图”与“函数关系图”犹如“图画”，则“诗情画意”，图文并茂，相互结合。借助于形象思维和几何直观，就更有助于学生分析能力的提高。
一个题目，若经审题和分析后，还未找到“已知”和“未知”的关系，可设法简化原题，即化简或转化“已知”和“未知”。如交错级数的判敛，有时要直接判断“未知”：“是否大于？”比较困难。可将旧未知转化为新未知：考察
“是大于1还是小于1？”或“是大于0
还是小于0？”，因为相邻两项相除或相减，可约去或抵消某些部分，从而使“未知”简化，易于求得。
3.“解答”：经分析找到解题途径后，要用“综合法”的形式加以叙述和书写，既由已知→推可知→再推可知→直到未知。综合法的形式简明，层次清楚，便于书写，给人以严密完整的映象。
由于科学技术的日新月异，学生将来参加工作和学习一定会遇到许多新问题。要解决新问题，有所发明，有所创造，必须具有机敏灵活、富有创造的思维能力。为了培养学生的这些能力，就不能停留在解答一些固定的常见的数学问题，而应在解题中，提倡“一题多解”与“一法多用”。很多函数极限的计算都是通过一种或几种极限运算方法的联合使用计算出来的。
如计算极限
至少有三种方法求出函数的极限值：
方法一 变换原式 原式=；
方法二 由罗必达法则
原式=；
方法三 由泰勒公式
原式=
=
这样的练习对于那些基础较好、学有余力的学生更为需要。特别有利于提高学生的综合解题能力。
我们的教学，往往侧重算法程序的讲解，有些学生在考前复习时，连自己过去作业都看不懂了。这是由于学生在计算中，光死背算法程序，而不懂得算理。所以，教师在讲解例题时，无论是计算或作图，都要注意根据，讲清算理，逐步使学生养成“步步有据”的思维习惯。只有让学生懂得了算理，在算理指导下解题，才能真正理解和记住算法程序。也只有灵活运用算理，解法才能熟练自如。
4.“讨论”：解完题后不算完，要引导学生进行讨论，比较每种解法的“个性”特点、繁简优劣和使用规律，力求从中看出一些规律性的东西。要使学生养成“反刍”的习惯，每做一题，回味咀嚼，强化映象，小结讨论。使学生做一题会一题，做一个题有一个题的体会与收获。
最后注意，在解题的技巧训练中，千万不能把学生引向某些用处不大的所谓“奇招”、“怪招”上。在数学教学中，把主要精力放在解各种各样的数学难题，这既加重了学生的负担，也不符合学生的认识规律。我们应当提倡把学生的注意点主要集中到解常规问题的训练上来[1] 。
总之，要提高学生的解题能力，就要分析已知探索未知形成技能技巧做到举一反三。这本身就是一个认识事物的过程。所以，即便是一个范例的讲解，也要遵循认识规律，突出思考途径，才能逐步提高学生分析问题和解决问题的能力。
参考文献
[1] 朱水根.数学教学引论.天津科学技术出版社，1995
收稿日期：2014-05-12