论文部分内容阅读
一、什么是数学思想方法
数学，究竟由什么组成的?以往，我们通常把概念、性质、法则、公式、数量关系以及解题方法等作为数学的组成部分。当然，没有这些组成部分，数学就不存在了。但是，只有这些组成部分，也不是本质意义上的数学，数学至少还包含由这些内容所反映出来的思想方法。
对于数学思想方法的研究已经历了半个多世纪，但在界定和刻画适用于义务教育阶段(尤其是小学阶段)学生所能领悟与掌握的数学思想方法方面，目前积累的研究成果还不够充分。什么是数学思想方法，只能给出一种解释和界定，不能像数学中的概念那样给出明确的定义。即使是解释和界定，研究者们的看法也不尽相同。那么。什么是数学思想、数学方法、数学思想方法呢?
1、关于数学思想。
在现代汉语中，“思想”解释为客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果。《中国百科全书》认为：“思想”是相对于感性认识的理性认识成果。由此，一般认为，数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，是对数学知识内容与所使用方法的本质认识。数学思想是从某些具体的认识过程中提炼出来的一些观点，具有普遍意义和相对稳定的特征，并在数学学习中潜意识地影响着思维的策略水平。是建立数学模型与用数学解决问题的指导思想。小学数学的知识内容比较简单，但也蕴含着一些基本的数学思想，如化归思想、符号思想、分类思想、类比思想、模型思想、数形结合思想、统计思想、极限思想等等。
2、关于数学方法。
方法是指人们在解决具体问题时所采用的方式、手段或途径。由此，数学方法是指人们在数学活动中的步骤、程序和格式，是具体实施数学思想的手段。一般来说，数学方法不是指通常的数学解题方法，而是指人的思维方法，即数学中思考问题的方法，如分析、综合、抽象、概括、观察、试验、联想、猜想、归纳、演绎等。
3、关于数学思想方法。
数学思想是宏观的，是对数学知识、方法、规律的一种理性认识，它更具有普遍的指导意义。数学方法是微观的，是数学思想在数学认识活动中的具体反映和体现，是处理探索解决数学问题、实现数学思想的手段与工具。数学思想与数学方法是紧密联系的，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。由于小学数学是基础知识，内容相对简单，由知识内容所蕴含的思想和方法很难截然分开，其表现形式往往是一致的。所以，小学数学通常把数学思想和数学方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。
二、小学数学思想方法的教学探讨
《数学课程标准》(实验稿)在“基本理念”、“总体目标”以及“实施建议”中都涉及有关数学思想方法的内容，对数学思想方法的教学提出了新的要求。如在“基本理念”中指出：“……帮助学生在自主探索与合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法，获得广泛的数学活动经验。”这里，实际上是在原有“双基”的基础上提出了“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。其中，数学思想方法首次被明确地列入学生的培养目标中。
过去使用的《小学数学教学大纲》在“教学内容的确定和安排”中提出：“结合有关知识的教学，适当渗透集合、函数等数学思想与方法，以加深对基础知识的理解。”这里把学习数学思想方法的目标定位在“渗透”，广大教师习惯于在加强“双基”的教学中，适当渗透数学思想方法。因此，我们要转变观念，把数学思想方法作为具体的目标进行教学。数学思想方法是蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，学生只有积极参与教学过程及独立思考，才能逐步感悟数学思想方法。
1、在知识的形成过程中感悟数学思想方法。
数学是知识与思想方法的有机结合，没有不包含思想方法的数学知识，也没有游离于数学知识之外的思想方法。《数学课程标准》虽然对数学思想方法提出了具体的教学要求，但数学教材是按照学生学习数学的认知特点和数学知识本身的发展规律相结合的方法来编排的，教材内容所呈现的是数学的概念、法则、公式、性质等“有形”的现成知识，而“无形”的数学思想方法则不成体系地分散于教材的各部分中。并且往往是蕴含在数学结论的形成过程中。因此，教学中必须注重展现结论的形成过程，引导学生积极参与，有意识地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的各种数学思想方法。并通过具体的过程来实现数学思想方法的教学。
例如，对“平行四边形的面积”的教学。首先，教师出示如下两个图形，问：“除了数方格的方法外，还可以怎样求出它们的面积?”引导学生用割补法使图形等积变换成长方形，再用长方形的面积公式求出面积。
接着，教师出示一个平行四边形，问：“不用数方格的方法，怎样求平行四边形的面积?”由于前面已渗透了转化的数学思想方法，学生面对“计算平行四边形面积”这一新问题时，就会很自然地想到把它转化成长方形，并根据平行四边形与割补后长方形之间的关系推导出平行四边形面积的计算公式。
教师在引导学生掌握基础知识的同时，关注了数学思想方法的教学。学生在尝试运用转化思想的过程中，体验了这种思想的实质，强化了自觉运用数学思想方法的意识。
2、在知识的发展过程中理解数学思想方法。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象与概括。实践证明，任何一种数学思想方法都不能很快地被学生所掌握，它与数学中的一些重要概念一样。需要学生在数学活动中积极实践、反复体验，不断地积累，经历一个较长的认识过程，才能逐步理解和掌握。教材在呈现显性的数学内容时，一般是采用逐级递进、螺旋上升的原则，但数学思想方法是隐性的，教材中看不出对其教学的递进性与上升性。对数学知识内容的教学可以依据教材。但对数学思想方法的教学依据是什么呢?在对某个知识点进行教学时，应突出什么数学思想方法?数学知识发展了，数学思想方法是不是也要得到相应的发展呢?因此，必须加强对数学思想方法教学的计划性，减少盲目性和随意性。具体地说。要做到长计划、短安排。
所谓长计划。是指教师在对教材进行系统分析、理清教材体系及统揽教材全局的基础上，对数学思想方法的教学做出一个总体设计，提出不同学段的具体的教学要求。
所谓短安排，是指教师依据“长计划”中的总体设计，深入钻研教材，挖掘教材中可以进行数学思想方法教学的各种因素，有目的、有层次地进行数学思想方法的教学。只有对教学过程中的每个环节都精心设计和安排，才能准确地把握好教学的度，提高教学的有效性。
例如，对于函数思想的教学。在小学阶段，虽然没有出现“函数”这个概念，但安排了许多与函数有关的教学内容。在第一学段，通过填图(如右图)等形式，将函数思想渗透在其中。教师可设计一些卡片，让算式中的数“动”起来，帮助学生看出运算结果是随着哪一个数的变化而变化。在这个过程中，教师要充分利用这些内容进行函数思想的启蒙教学。在第二学段，学生掌握了许多计算公式，如S=vt等。这些公式实际上就是一些简单的函数关系式。教师可以利用数学中的公式进一步进行函数思想的教学。到了六年级，正、反比例知识涉及两种相关联量之间的关系，实际上就是一种函数关系。
如：彩带每米售价4元，购买2米、3米……10米彩带分别需要多少钱?在方格纸上描出数对(长度、价钱)的对应点，并回答下列问题：(1)所描的点是否在一条直线上?(2)估计一下，买1.5米的彩带大约要花多少钱?(3)小刚买的彩带长度是小红的3倍，他所花的钱是小红的几倍?
通过一些具体实例，让学生感受数量的变化过程及量变过程中变量之间的对应关系，引导他们探索其中的变化规律，并尝试根据变量的对应关系作出预测。这样，随着知识的不断发展，学生对函数思想的理解得到不断加深。
3、在问题解决的过程中应用数学思想方法。
许多数学知识可以用口授的方法传递给学生，而数学思想方法显然不能。在课堂教学中。如果教师直白地告诉学生什么是某某数学思想方法，那学生只能是一知半解。数学思想方法需要经历个体独立的思维活动才能发展形成。换言之，数学教学在使学生初步领悟了某些数学思想方法的基础上，还要积极引导学生参与数学问题的解决过程，在问题解决的过程中运用数学思想方法，这样才能使学生真正理解和掌握数学思想方法。
例如，可以引导学生运用数形结合的思想探索某些数学规律。
如果1 3=4=22、1 3 5=9=32、1 3 5 7=16=42，那么，1 3 5 7 9 11 …… 19=?
教学的目的当然不是希望学生通过加法运算得到结果。而是希望学生通过解决问题发现规律。为了帮助学生思考，教师可以提供图形(如右图)。启发学生从数与形的联系中探索规律。
数学，究竟由什么组成的?以往，我们通常把概念、性质、法则、公式、数量关系以及解题方法等作为数学的组成部分。当然，没有这些组成部分，数学就不存在了。但是，只有这些组成部分，也不是本质意义上的数学，数学至少还包含由这些内容所反映出来的思想方法。
对于数学思想方法的研究已经历了半个多世纪，但在界定和刻画适用于义务教育阶段(尤其是小学阶段)学生所能领悟与掌握的数学思想方法方面，目前积累的研究成果还不够充分。什么是数学思想方法，只能给出一种解释和界定，不能像数学中的概念那样给出明确的定义。即使是解释和界定，研究者们的看法也不尽相同。那么。什么是数学思想、数学方法、数学思想方法呢?
1、关于数学思想。
在现代汉语中，“思想”解释为客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果。《中国百科全书》认为：“思想”是相对于感性认识的理性认识成果。由此，一般认为，数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，是对数学知识内容与所使用方法的本质认识。数学思想是从某些具体的认识过程中提炼出来的一些观点，具有普遍意义和相对稳定的特征，并在数学学习中潜意识地影响着思维的策略水平。是建立数学模型与用数学解决问题的指导思想。小学数学的知识内容比较简单，但也蕴含着一些基本的数学思想，如化归思想、符号思想、分类思想、类比思想、模型思想、数形结合思想、统计思想、极限思想等等。
2、关于数学方法。
方法是指人们在解决具体问题时所采用的方式、手段或途径。由此，数学方法是指人们在数学活动中的步骤、程序和格式，是具体实施数学思想的手段。一般来说，数学方法不是指通常的数学解题方法，而是指人的思维方法，即数学中思考问题的方法，如分析、综合、抽象、概括、观察、试验、联想、猜想、归纳、演绎等。
3、关于数学思想方法。
数学思想是宏观的，是对数学知识、方法、规律的一种理性认识，它更具有普遍的指导意义。数学方法是微观的，是数学思想在数学认识活动中的具体反映和体现，是处理探索解决数学问题、实现数学思想的手段与工具。数学思想与数学方法是紧密联系的，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。由于小学数学是基础知识，内容相对简单，由知识内容所蕴含的思想和方法很难截然分开，其表现形式往往是一致的。所以，小学数学通常把数学思想和数学方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。
二、小学数学思想方法的教学探讨
《数学课程标准》(实验稿)在“基本理念”、“总体目标”以及“实施建议”中都涉及有关数学思想方法的内容，对数学思想方法的教学提出了新的要求。如在“基本理念”中指出：“……帮助学生在自主探索与合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法，获得广泛的数学活动经验。”这里，实际上是在原有“双基”的基础上提出了“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。其中，数学思想方法首次被明确地列入学生的培养目标中。
过去使用的《小学数学教学大纲》在“教学内容的确定和安排”中提出：“结合有关知识的教学，适当渗透集合、函数等数学思想与方法，以加深对基础知识的理解。”这里把学习数学思想方法的目标定位在“渗透”，广大教师习惯于在加强“双基”的教学中，适当渗透数学思想方法。因此，我们要转变观念，把数学思想方法作为具体的目标进行教学。数学思想方法是蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，学生只有积极参与教学过程及独立思考，才能逐步感悟数学思想方法。
1、在知识的形成过程中感悟数学思想方法。
数学是知识与思想方法的有机结合，没有不包含思想方法的数学知识，也没有游离于数学知识之外的思想方法。《数学课程标准》虽然对数学思想方法提出了具体的教学要求，但数学教材是按照学生学习数学的认知特点和数学知识本身的发展规律相结合的方法来编排的，教材内容所呈现的是数学的概念、法则、公式、性质等“有形”的现成知识，而“无形”的数学思想方法则不成体系地分散于教材的各部分中。并且往往是蕴含在数学结论的形成过程中。因此，教学中必须注重展现结论的形成过程，引导学生积极参与，有意识地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的各种数学思想方法。并通过具体的过程来实现数学思想方法的教学。
例如，对“平行四边形的面积”的教学。首先，教师出示如下两个图形，问：“除了数方格的方法外，还可以怎样求出它们的面积?”引导学生用割补法使图形等积变换成长方形，再用长方形的面积公式求出面积。
接着，教师出示一个平行四边形，问：“不用数方格的方法，怎样求平行四边形的面积?”由于前面已渗透了转化的数学思想方法，学生面对“计算平行四边形面积”这一新问题时，就会很自然地想到把它转化成长方形，并根据平行四边形与割补后长方形之间的关系推导出平行四边形面积的计算公式。
教师在引导学生掌握基础知识的同时，关注了数学思想方法的教学。学生在尝试运用转化思想的过程中，体验了这种思想的实质，强化了自觉运用数学思想方法的意识。
2、在知识的发展过程中理解数学思想方法。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象与概括。实践证明，任何一种数学思想方法都不能很快地被学生所掌握，它与数学中的一些重要概念一样。需要学生在数学活动中积极实践、反复体验，不断地积累，经历一个较长的认识过程，才能逐步理解和掌握。教材在呈现显性的数学内容时，一般是采用逐级递进、螺旋上升的原则，但数学思想方法是隐性的，教材中看不出对其教学的递进性与上升性。对数学知识内容的教学可以依据教材。但对数学思想方法的教学依据是什么呢?在对某个知识点进行教学时，应突出什么数学思想方法?数学知识发展了，数学思想方法是不是也要得到相应的发展呢?因此，必须加强对数学思想方法教学的计划性，减少盲目性和随意性。具体地说。要做到长计划、短安排。
所谓长计划。是指教师在对教材进行系统分析、理清教材体系及统揽教材全局的基础上，对数学思想方法的教学做出一个总体设计，提出不同学段的具体的教学要求。
所谓短安排，是指教师依据“长计划”中的总体设计，深入钻研教材，挖掘教材中可以进行数学思想方法教学的各种因素，有目的、有层次地进行数学思想方法的教学。只有对教学过程中的每个环节都精心设计和安排，才能准确地把握好教学的度，提高教学的有效性。
例如，对于函数思想的教学。在小学阶段，虽然没有出现“函数”这个概念，但安排了许多与函数有关的教学内容。在第一学段，通过填图(如右图)等形式，将函数思想渗透在其中。教师可设计一些卡片，让算式中的数“动”起来，帮助学生看出运算结果是随着哪一个数的变化而变化。在这个过程中，教师要充分利用这些内容进行函数思想的启蒙教学。在第二学段，学生掌握了许多计算公式，如S=vt等。这些公式实际上就是一些简单的函数关系式。教师可以利用数学中的公式进一步进行函数思想的教学。到了六年级，正、反比例知识涉及两种相关联量之间的关系，实际上就是一种函数关系。
如：彩带每米售价4元，购买2米、3米……10米彩带分别需要多少钱?在方格纸上描出数对(长度、价钱)的对应点，并回答下列问题：(1)所描的点是否在一条直线上?(2)估计一下，买1.5米的彩带大约要花多少钱?(3)小刚买的彩带长度是小红的3倍，他所花的钱是小红的几倍?
通过一些具体实例，让学生感受数量的变化过程及量变过程中变量之间的对应关系，引导他们探索其中的变化规律，并尝试根据变量的对应关系作出预测。这样，随着知识的不断发展，学生对函数思想的理解得到不断加深。
3、在问题解决的过程中应用数学思想方法。
许多数学知识可以用口授的方法传递给学生，而数学思想方法显然不能。在课堂教学中。如果教师直白地告诉学生什么是某某数学思想方法，那学生只能是一知半解。数学思想方法需要经历个体独立的思维活动才能发展形成。换言之，数学教学在使学生初步领悟了某些数学思想方法的基础上，还要积极引导学生参与数学问题的解决过程，在问题解决的过程中运用数学思想方法，这样才能使学生真正理解和掌握数学思想方法。
例如，可以引导学生运用数形结合的思想探索某些数学规律。
如果1 3=4=22、1 3 5=9=32、1 3 5 7=16=42，那么，1 3 5 7 9 11 …… 19=?
教学的目的当然不是希望学生通过加法运算得到结果。而是希望学生通过解决问题发现规律。为了帮助学生思考，教师可以提供图形(如右图)。启发学生从数与形的联系中探索规律。