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摘要：本文通过求解单摆的运动方程定性及定量地论证了单摆在任意摆角（不大于90度）下的等时性。结果显示，摆角小于5度时，单摆的运动可以很好地近似为简谐运动，周期的误差不超过0.05%。随着摆角的增大，周期迅速增大，误差也急剧增大。
关键词：单摆；周期；重力加速度
一、 引言
一个小球和一条细线就可以组成一个单摆，如图1所示。单摆是一个很简单的物理模型，因蕴涵重要的物理思想，成为简谐振动、非线性物理等教学中必讲的内容之一。同时由于在一定条件下具有解析解，单摆成为测量加速度的一个重要方法。用单摆测重力加速度实验可见于中学物理实验及部分大学物理实验教材中，由于中学生还未学习微分方程，一般教材会直接给出周期的计算公式，中学生对公式的由来感到疑惑。大学生学习过微分方程之后，他们又会对“摆角必须小于5度”的限制条件产生怀疑：为什么加上这个条件？摆角大于5度时，单摆还具有等时性吗？这是学生经常问的问题，然而许多物理实验教材并未给出解答。与此同时，还有一些粗心的同学，不管老师怎么强调，他依然会使用大摆角进行实验，那么这些同学的测量结果误差多大？本文试图从定性及定量的角度进行回答。
二、 运动方程
单摆虽然简单，却处在一个非常复杂的物理背景之下，许多因素都会影响它的运动，进而影响它的运动方程的形式。限于篇幅，本文不考虑细线的质量和伸缩、球的大小、各种阻力及浮力。设细线长为l，小球的质量为m，重力加速度为g，方向竖直向下，摆线与竖直方向角位移为θ，平衡位置右边为正，左边为负。设z轴通过点O且垂直纸面，向外为正方向。小球从夹角θ0释放，初速为0。本文将从转动定律和机械能守恒两种角度建立单摆的运动方程。
1. 转动定律
小球只受重力mg和细线对其的拉力F，方向分别为竖直向下和沿细线方向指向点O，小球的位矢为r，模为细线长l，小球对z轴的转动惯量为J=ml2。由转动定律可知：
M=Jα（1）
M为力矩，α为角加速度。
r×（mg F）=ml2α（2）
r与F夹角为180度，矢量积的大小为0。图1所示的角位置θ指向z轴正方向，r与g的矢量积指向z轴负方向，因此有：
-lmgsinθ=ml2d2θdt2（3）
d2θdt2 glsinθ=0（4）
令
ω=gl（5）
可得单摆的运动方程为：
d2θdt2 ω2sinθ=0（6）
2. 机械能守恒定律
由于不考虑细线伸缩，拉力F始终与小球的运动方向垂直，不做功；只有重力做功，而重力为保守力，系统的机械能守恒。设小球运动到图1所示位置时速度大小为v，细线与竖直方向夹角为θ，则有：
mgl（1-cosθ） 12mv2=mgl（1-cosθ0）（7）
对方程（7）两边进行微分可得：
mglsinθdθ mvdv=0（8）
由于只有切向速度，v=vt，且vt=d（lθ）dt，两边同时除以dt可得：
mglsinθdθdt mvdvtdt=0（9）
mgsinθd（lθ）dt md（lθ）dtd2（lθ）dt2=0
（10）
化简后即得式（4）。
三、 单摆的等时性
解出式（6）中角度与时间的关系，即可得出单摆是否具有等时性，但其为二阶非线性微分方程，没有初等函数形式的解。当θ较小时，tanθ≈θ，式（6）变为二阶常系数齐次微分方程：
d2θdt2 ω2θ=0（11）
其特解为三角函数：
θ=θ0cosωt（12）
可求出其周期为：
T0=2πω=2πlg（13）
这就是常见的单摆周期公式，也是计算重力加速度的公式。因此，当θ较小时，单摆具有等时性。那么大摆角时，单摆还具有等时性吗？答案是肯定的，理由为：系统的机械能守恒，那么当细线的长度、小球的质量、初始位置及初始速度确定之后，小球在每一个位置具有的势能是确定的，动能也是确定的，因此速度也是确定的，摆过任何的角微元dθ所用的时间是确定的，那么小球往复所用的总时间就是确定的。所以，大摆角时，单摆依然具有等时性。既然如此，为什么还要求摆角小于5度呢？原因是只有摆角较小时，重力加速度和周期之间才有式（13）那样的简单关系。
四、 大摆角的周期
虽然从式（6）不能求解出大摆角时初等函数形式的周期，但我们可以求解出数值解。小球摆过任意弧长ldθ所用的时间为：
dt=ldθvt（14）
则单摆的周期可用下式计算：
T=4∫θ00ldθvt（15）
代入式（7）和（13）可得：
TT0=2π∫θ001cosθ-cosθ0dθ（16）
給出一系列不同的摆角θ0，手动编程或使用Mathematica等数学计算软件都可以计算出结果，如图2所示。摆角等于5度时，单摆的周期T相对摆角趋于0时的周期T0只改变了不到0.05%，可以很好地近似为简谐振动。图中还显示，随着摆角的增加，周期比值并非线性增加，而是呈指数增加。摆角为30度时，周期增加了1.73%，60度时，增加了7.32%，而90度时，则增加了18.03%。本文的结果与成思源和万明理等人的结果相近，而避免了其使用的椭圆积分等非初等函数知识，便于大学生理解。
五、 结论
本文使用微积分知识及初等函数求解了单摆的周期，论证了任意摆角（不大于90度）都具有等时性。摆角较小时，单摆的运动可以很好地近似为简谐运动，可以使用单摆的周期公式。随着摆角的增大，周期迅速增大。本文可以回答学生在用单摆测量重力加速度实验中的关于摆角的疑问，有利于其正确操作实验仪器并培养严谨的科学态度。
参考文献：
[1]鞠衍清，王殿学.关于单摆实验最大摆角的讨论[N].齐齐哈尔大学学报，2006，22（2）：81-83.
[2]成思源.用Mathematica软件计算单摆实验中大摆角的周期[J].中学教学参考，2016，257：52-53.
[3]万明理.基于MATLAB下对单摆实验中大摆角问题的讨论[J].大学物理实验，2010，23（6）：75-77.
作者简介：黄海深，吴波，贵州省遵义市，遵义师范学院物理与电子科学学院。
关键词：单摆；周期；重力加速度
一、 引言
一个小球和一条细线就可以组成一个单摆，如图1所示。单摆是一个很简单的物理模型，因蕴涵重要的物理思想，成为简谐振动、非线性物理等教学中必讲的内容之一。同时由于在一定条件下具有解析解，单摆成为测量加速度的一个重要方法。用单摆测重力加速度实验可见于中学物理实验及部分大学物理实验教材中，由于中学生还未学习微分方程，一般教材会直接给出周期的计算公式，中学生对公式的由来感到疑惑。大学生学习过微分方程之后，他们又会对“摆角必须小于5度”的限制条件产生怀疑：为什么加上这个条件？摆角大于5度时，单摆还具有等时性吗？这是学生经常问的问题，然而许多物理实验教材并未给出解答。与此同时，还有一些粗心的同学，不管老师怎么强调，他依然会使用大摆角进行实验，那么这些同学的测量结果误差多大？本文试图从定性及定量的角度进行回答。
二、 运动方程
单摆虽然简单，却处在一个非常复杂的物理背景之下，许多因素都会影响它的运动，进而影响它的运动方程的形式。限于篇幅，本文不考虑细线的质量和伸缩、球的大小、各种阻力及浮力。设细线长为l，小球的质量为m，重力加速度为g，方向竖直向下，摆线与竖直方向角位移为θ，平衡位置右边为正，左边为负。设z轴通过点O且垂直纸面，向外为正方向。小球从夹角θ0释放，初速为0。本文将从转动定律和机械能守恒两种角度建立单摆的运动方程。
1. 转动定律
小球只受重力mg和细线对其的拉力F，方向分别为竖直向下和沿细线方向指向点O，小球的位矢为r，模为细线长l，小球对z轴的转动惯量为J=ml2。由转动定律可知：
M=Jα（1）
M为力矩，α为角加速度。
r×（mg F）=ml2α（2）
r与F夹角为180度，矢量积的大小为0。图1所示的角位置θ指向z轴正方向，r与g的矢量积指向z轴负方向，因此有：
-lmgsinθ=ml2d2θdt2（3）
d2θdt2 glsinθ=0（4）
令
ω=gl（5）
可得单摆的运动方程为：
d2θdt2 ω2sinθ=0（6）
2. 机械能守恒定律
由于不考虑细线伸缩，拉力F始终与小球的运动方向垂直，不做功；只有重力做功，而重力为保守力，系统的机械能守恒。设小球运动到图1所示位置时速度大小为v，细线与竖直方向夹角为θ，则有：
mgl（1-cosθ） 12mv2=mgl（1-cosθ0）（7）
对方程（7）两边进行微分可得：
mglsinθdθ mvdv=0（8）
由于只有切向速度，v=vt，且vt=d（lθ）dt，两边同时除以dt可得：
mglsinθdθdt mvdvtdt=0（9）
mgsinθd（lθ）dt md（lθ）dtd2（lθ）dt2=0
（10）
化简后即得式（4）。
三、 单摆的等时性
解出式（6）中角度与时间的关系，即可得出单摆是否具有等时性，但其为二阶非线性微分方程，没有初等函数形式的解。当θ较小时，tanθ≈θ，式（6）变为二阶常系数齐次微分方程：
d2θdt2 ω2θ=0（11）
其特解为三角函数：
θ=θ0cosωt（12）
可求出其周期为：
T0=2πω=2πlg（13）
这就是常见的单摆周期公式，也是计算重力加速度的公式。因此，当θ较小时，单摆具有等时性。那么大摆角时，单摆还具有等时性吗？答案是肯定的，理由为：系统的机械能守恒，那么当细线的长度、小球的质量、初始位置及初始速度确定之后，小球在每一个位置具有的势能是确定的，动能也是确定的，因此速度也是确定的，摆过任何的角微元dθ所用的时间是确定的，那么小球往复所用的总时间就是确定的。所以，大摆角时，单摆依然具有等时性。既然如此，为什么还要求摆角小于5度呢？原因是只有摆角较小时，重力加速度和周期之间才有式（13）那样的简单关系。
四、 大摆角的周期
虽然从式（6）不能求解出大摆角时初等函数形式的周期，但我们可以求解出数值解。小球摆过任意弧长ldθ所用的时间为：
dt=ldθvt（14）
则单摆的周期可用下式计算：
T=4∫θ00ldθvt（15）
代入式（7）和（13）可得：
TT0=2π∫θ001cosθ-cosθ0dθ（16）
給出一系列不同的摆角θ0，手动编程或使用Mathematica等数学计算软件都可以计算出结果，如图2所示。摆角等于5度时，单摆的周期T相对摆角趋于0时的周期T0只改变了不到0.05%，可以很好地近似为简谐振动。图中还显示，随着摆角的增加，周期比值并非线性增加，而是呈指数增加。摆角为30度时，周期增加了1.73%，60度时，增加了7.32%，而90度时，则增加了18.03%。本文的结果与成思源和万明理等人的结果相近，而避免了其使用的椭圆积分等非初等函数知识，便于大学生理解。
五、 结论
本文使用微积分知识及初等函数求解了单摆的周期，论证了任意摆角（不大于90度）都具有等时性。摆角较小时，单摆的运动可以很好地近似为简谐运动，可以使用单摆的周期公式。随着摆角的增大，周期迅速增大。本文可以回答学生在用单摆测量重力加速度实验中的关于摆角的疑问，有利于其正确操作实验仪器并培养严谨的科学态度。
参考文献：
[1]鞠衍清，王殿学.关于单摆实验最大摆角的讨论[N].齐齐哈尔大学学报，2006，22（2）：81-83.
[2]成思源.用Mathematica软件计算单摆实验中大摆角的周期[J].中学教学参考，2016，257：52-53.
[3]万明理.基于MATLAB下对单摆实验中大摆角问题的讨论[J].大学物理实验，2010，23（6）：75-77.
作者简介：黄海深，吴波，贵州省遵义市，遵义师范学院物理与电子科学学院。