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[摘 要] 作业是学校教育教学行为的一个重要组成部分，它不仅担负着巩固、反馈教学效果的职能，还肩负着引领变通、减负提升的效果，如何在教学行为中达成作业的最优化是教师在教学行为中需要不断实践和反思的一项教科研行为.
[关键词] 整合；分层；实践；探索；方法
在新课标背景之下，初中数学教学当中的作业环节成了教师关注的重要问题. 一方面，作业是学生巩固所学知识必不可少的流程；另一方面，“减负”的要求却又在限制着课后作业的施行. 这便对课后作业布置的质量提出了更高的要求，即要在不为学生造成过重课业负担的前提下，实现对知识内容理解的有效重现与深化. 因此，在当前的教学要求之下，想要对课后作业进行切实有效的处理，所应追求的目标不是“多”，而是“精”. 具体说来，可以从适量、梯度、灵活、开放、升华几个角度进行较为全面的切入.
精炼整合，适量布置课后作业
在当前“减负”的总体教学要求之下，“适量”必须成为课后作业布置当中的首要标准. 然而，作业数量的减少，并不意味着作业质量的下降. 为了能够让学生在完成有限数量作业的同时，实现对知识内容的完整回顾，教师就需要对作业内容进行高度精炼的整合，让课后作业虽然短小精悍，却可包罗万象. 这样的做法，也可以让学生更加易于并乐于接受课后作业练习.
例如，笔者曾经为学生布置了这样一道习题：如图1，抛物线y=x2 mx n与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其顶点为点P，且知点A的横坐标是-3，点B的横坐标是1. （1）求m，n的值；（2）求直线CP的解析式；（3）试确定以点A为圆心，以5为直径的圆与直线CP的位置关系. 虽然只是一道作业题，但其中包含了对直线、抛物线和圆等知识的考查，内容相当丰富. 这样的课后作业，很好地调动了学生精力的高效率运用.
可以看出，对于知识内容的精练整合，并不是将本次课堂教学内容简单地罗列后进行压缩，而是应当将其中的主体重点部分剥离出来，并以清晰的逻辑顺序予以串联与总结，这才是高质量、有效果的整合. 由此，学生得以明确了解所学知识的重点所在，将有限的精力投入到最需要关注的地方，花费最少的时间，完成最优的复习.
分层处理，梯度布置课后作业
在课堂教学过程当中，教师经常会采用分层教学的方式来呈现知识内容. 这种教学思路在课后作业布置环节同样适用. 随着每个学生对于所学知识的掌握程度不同，他们对相同的作业内容也会产生不同的感受与认知. 既然学生完成课后作业的时间如此宝贵，就应当让每一道作业题的完成都能对知识能力进行最大化提升. 因此，教师有必要对作业也进行分层布置，让不同知识能力的学生都能得到充分锻炼.
例如，在因式分解内容的课后作业中，笔者将其划分为三个层次予以呈现：层次一：分解因式3ax2-3ay2，-2xy-x2-y2，x4-81；层次二：利用图形面积分解因式a2 3ab 2b2，a2 b2 c2 2ab 2ab 2ac；层次三：请从9a2，（x y）2，1，4b2中任选两式作差，并将得到的结果因式分解. 另外，请写出一个三项式，使它能够先提取公因式，再来运用公式法进行因式分解. 这三个层次的问题难度显然呈现递增的趋势，学生可以根据自己的知识能力进行自由选择. 这样的梯度设置，让每个学生都找到了适合自己的练习入口.
在对单一形式布置作业的效果进行分析时，笔者发现，如果简单地让学生去完成相同的课后作业，常常会出现有的学生“吃不饱”，有的学生“吃不了”的现象. 这必将造成前者浪费课后精力，后者畏惧数学学习的不良后果. 当将作业区分难度、梯度进行设计之后，效果明显好转了许多. 让每个学生都能够在作业完成的过程中各取所需，在能力所及的范围之内向上伸手够一够，才是我们所要追求的有效作业处理.
结合实践，灵活布置课后作业
数学是一门非常典型的理论性与实践性兼具的学科，这一点在初中阶段的教学当中已经开始较为明显地体现出来了. 精炼而抽象的理论叙述经常会让学生感到难以驾驭，而与实际生活建立起联系之后，学习过程便顿时灵活、具体起来. 由此可见，适时联系实际的做法，对数学理论教学是具有积极促进作用的. 实践内容的介入点很多，除了课堂教学之外，还有课后作业.
例如，在学习过函数内容后，笔者请学生在作业中解答这个问题：某公司计划购入A牌电脑和B牌桌子. 第一次购买了10台电脑和200张桌子，共花费9万元；第二次购买了12台电脑和120张桌子，同样花费9万元. 那么电脑和桌子的单价分别是多少？若商场规定：一次购买电脑35台（含）以上可打九折，一次购买桌子600张（含）以上可打八折. 公司预算27万元，欲购买不少于35台电脑和不少于600张桌子，可以制定几种方案？为了解答这个问题，学生很自然地运用到了刚刚学习过的方程知识，并从中找到了不等式知识在实际生活中的应用方向.
课后作业很大一个职能就是为学生搭建一个学以致用的平台. 因此，在课后作业当中融入实践性质的内容，与教师想要借助作业达到的教学效果是相得益彰的. 如果说，课堂教学当中的实践内容告诉了学生“数学在哪里”，那么课后作业当中的实践性内容的加入则带领学生明白了“数学怎么用”. 兼具理论与实践的灵活作业布置，不仅能够让学生从中找到学习的乐趣，更可以在实践的过程中更进一步理解知识.
大胆探索，开放布置课后作业
为了达到二度深入知识学习的目标，课后作业的内容应当是丰富的. 笔者在教学实践当中，总是会让每一次课后作业由两部分内容组成：基础内容与开放内容. 基础内容旨在从概念、定理等角度入手，夯实基础，重温所学，而开放内容则是为了提升能力水平. 很多教师总是认为初中学生的数学基础有限，不敢将开放性问题交给他们，实则不然. 过于常规的基础性练习往往会禁锢住学生的灵活思维，这是对数学能力提升极为不利的. 课后作业需要开放性内容，数学学习需要探究的过程. 例如，在学习过圆的内容之后，笔者在作业当中为学生布置了这样一道习题：如图2所示，MN是⊙O的直径，弦AB和CD相交于MN上的点P，且∠MPA=∠MPC. （1）根据上述条件，请试着判断AB和CD的大小关系，并说明理由. （2）如图3所示，若交点P在⊙O之外，那么，上面的结论是否依然成立？如果成立，加以证明；如果不成立，说明理由. 这个问题的提出是相当灵活的，给学生留下了很大的自由探究空间. 通过这一题目的练习，学生总结出，在处理探究问题时，应当先进行合理猜想，再向着猜想的方向进行证明. 具体至这道题，大家通过图像判断AB=CD，也就明确了论证方向. 在这个过程中，学生对于圆的认知也更加深入了.
在初中阶段的各类数学测试当中，已经开始越来越多地出现探究性问题的身影了，足见其对于初中数学教学的价值. 的确，对于探究性问题的解答，能够大大开阔学生的思维视野. 因此，无论是从提高考试成绩还是从深化学习效果的角度来看，在课后作业环节再现数学探究都是势在必行的. 起初，一些学生会感到一定程度的解答困难，但只要在不断坚持中找到思维出口，收获的效果将是十分喜人的.
突显方法，升华布置课后作业
如果仅从一个个知识点的角度出发去学习知识，各个击破，对于数学的掌握虽然全面，却难免陷入过于零散的困境. 想要获得优质高效的学习效果，就要学会从宏观上看待知识，从具体的数学内容当中提炼出思想方法，以之串联起所有知识点，提纲挈领，事半功倍. 这里所说的思想方法，并不是依靠教师的语言描述就能够让学生切实掌握的，它需要学生在亲自解答数学问题时去感受和发现. 当然，教师也要在这时为发现方法创造机会，特别是在课后作业的布置当中对思想方法予以突显.
例如，有一道作业题曾经让不少学生犯了难：某公园想要在边长为16 m的正方形草坪上安装喷水龙头，需要让整片草坪都能喷洒到水. 若每个喷水龙头能够喷洒到半径为6 m的圆面（如图4），那么至少需要在草坪中安装几个龙头？如果仅靠题目当中给出的图进行判断是很难的. 这时，如果能够将喷水的效果以平面图来表示，并省略喷水过程，直接以圆的模型进行思考，实际问题便一下子成了纯粹的数学问题. 这就是典型的数形结合过程，也是初中数学问题解答中最为常用的思想方法之一.
为了让学生能够在进行练习的过程中自然而然地发现典型思想方法之所在，需要教师在设计课后作业时特别注意. 笔者在作业当中常常会运用能够突显数学方法的题目，强化学生的心理感知. 经过课后作业当中的巧妙设计，学生在解题过程中十分明显地感受到了典型方法对问题解答的作用. 对学生存在解答困难的问题，教师在讲解时也得以开门见山地摆出思想方法，着重加深大家对之的印象，进而站在一个新的高度审视数学，认知数学，掌握数学.
课后作业是数学知识学习的阶段性小结. 作为课堂教学的收尾，课后作业所承担的任务是非常重大的. 首先，它应当能够比较全面地涵盖本次课堂教学的知识内容，起到帮助学习回顾和巩固所学的作用. 同时，还应当将重点内容予以突出，将思想方法抽象提炼，让学生在完成作业的同时深化知识理解. 正因如此，课后作业之于数学教学才如此意义重大，尤其是对数学能力基础尚未完全建立起来的初中阶段学生来讲，课后作业的辅助功能便更显重要了. 希望广大教师能够将更多教学智慧投入到课后作业的设计与实施当中，给课堂教学以精彩收尾，给知识体悟以二度深入.
[关键词] 整合；分层；实践；探索；方法
在新课标背景之下，初中数学教学当中的作业环节成了教师关注的重要问题. 一方面，作业是学生巩固所学知识必不可少的流程；另一方面，“减负”的要求却又在限制着课后作业的施行. 这便对课后作业布置的质量提出了更高的要求，即要在不为学生造成过重课业负担的前提下，实现对知识内容理解的有效重现与深化. 因此，在当前的教学要求之下，想要对课后作业进行切实有效的处理，所应追求的目标不是“多”，而是“精”. 具体说来，可以从适量、梯度、灵活、开放、升华几个角度进行较为全面的切入.
精炼整合，适量布置课后作业
在当前“减负”的总体教学要求之下，“适量”必须成为课后作业布置当中的首要标准. 然而，作业数量的减少，并不意味着作业质量的下降. 为了能够让学生在完成有限数量作业的同时，实现对知识内容的完整回顾，教师就需要对作业内容进行高度精炼的整合，让课后作业虽然短小精悍，却可包罗万象. 这样的做法，也可以让学生更加易于并乐于接受课后作业练习.
例如，笔者曾经为学生布置了这样一道习题：如图1，抛物线y=x2 mx n与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其顶点为点P，且知点A的横坐标是-3，点B的横坐标是1. （1）求m，n的值；（2）求直线CP的解析式；（3）试确定以点A为圆心，以5为直径的圆与直线CP的位置关系. 虽然只是一道作业题，但其中包含了对直线、抛物线和圆等知识的考查，内容相当丰富. 这样的课后作业，很好地调动了学生精力的高效率运用.
可以看出，对于知识内容的精练整合，并不是将本次课堂教学内容简单地罗列后进行压缩，而是应当将其中的主体重点部分剥离出来，并以清晰的逻辑顺序予以串联与总结，这才是高质量、有效果的整合. 由此，学生得以明确了解所学知识的重点所在，将有限的精力投入到最需要关注的地方，花费最少的时间，完成最优的复习.
分层处理，梯度布置课后作业
在课堂教学过程当中，教师经常会采用分层教学的方式来呈现知识内容. 这种教学思路在课后作业布置环节同样适用. 随着每个学生对于所学知识的掌握程度不同，他们对相同的作业内容也会产生不同的感受与认知. 既然学生完成课后作业的时间如此宝贵，就应当让每一道作业题的完成都能对知识能力进行最大化提升. 因此，教师有必要对作业也进行分层布置，让不同知识能力的学生都能得到充分锻炼.
例如，在因式分解内容的课后作业中，笔者将其划分为三个层次予以呈现：层次一：分解因式3ax2-3ay2，-2xy-x2-y2，x4-81；层次二：利用图形面积分解因式a2 3ab 2b2，a2 b2 c2 2ab 2ab 2ac；层次三：请从9a2，（x y）2，1，4b2中任选两式作差，并将得到的结果因式分解. 另外，请写出一个三项式，使它能够先提取公因式，再来运用公式法进行因式分解. 这三个层次的问题难度显然呈现递增的趋势，学生可以根据自己的知识能力进行自由选择. 这样的梯度设置，让每个学生都找到了适合自己的练习入口.
在对单一形式布置作业的效果进行分析时，笔者发现，如果简单地让学生去完成相同的课后作业，常常会出现有的学生“吃不饱”，有的学生“吃不了”的现象. 这必将造成前者浪费课后精力，后者畏惧数学学习的不良后果. 当将作业区分难度、梯度进行设计之后，效果明显好转了许多. 让每个学生都能够在作业完成的过程中各取所需，在能力所及的范围之内向上伸手够一够，才是我们所要追求的有效作业处理.
结合实践，灵活布置课后作业
数学是一门非常典型的理论性与实践性兼具的学科，这一点在初中阶段的教学当中已经开始较为明显地体现出来了. 精炼而抽象的理论叙述经常会让学生感到难以驾驭，而与实际生活建立起联系之后，学习过程便顿时灵活、具体起来. 由此可见，适时联系实际的做法，对数学理论教学是具有积极促进作用的. 实践内容的介入点很多，除了课堂教学之外，还有课后作业.
例如，在学习过函数内容后，笔者请学生在作业中解答这个问题：某公司计划购入A牌电脑和B牌桌子. 第一次购买了10台电脑和200张桌子，共花费9万元；第二次购买了12台电脑和120张桌子，同样花费9万元. 那么电脑和桌子的单价分别是多少？若商场规定：一次购买电脑35台（含）以上可打九折，一次购买桌子600张（含）以上可打八折. 公司预算27万元，欲购买不少于35台电脑和不少于600张桌子，可以制定几种方案？为了解答这个问题，学生很自然地运用到了刚刚学习过的方程知识，并从中找到了不等式知识在实际生活中的应用方向.
课后作业很大一个职能就是为学生搭建一个学以致用的平台. 因此，在课后作业当中融入实践性质的内容，与教师想要借助作业达到的教学效果是相得益彰的. 如果说，课堂教学当中的实践内容告诉了学生“数学在哪里”，那么课后作业当中的实践性内容的加入则带领学生明白了“数学怎么用”. 兼具理论与实践的灵活作业布置，不仅能够让学生从中找到学习的乐趣，更可以在实践的过程中更进一步理解知识.
大胆探索，开放布置课后作业
为了达到二度深入知识学习的目标，课后作业的内容应当是丰富的. 笔者在教学实践当中，总是会让每一次课后作业由两部分内容组成：基础内容与开放内容. 基础内容旨在从概念、定理等角度入手，夯实基础，重温所学，而开放内容则是为了提升能力水平. 很多教师总是认为初中学生的数学基础有限，不敢将开放性问题交给他们，实则不然. 过于常规的基础性练习往往会禁锢住学生的灵活思维，这是对数学能力提升极为不利的. 课后作业需要开放性内容，数学学习需要探究的过程. 例如，在学习过圆的内容之后，笔者在作业当中为学生布置了这样一道习题：如图2所示，MN是⊙O的直径，弦AB和CD相交于MN上的点P，且∠MPA=∠MPC. （1）根据上述条件，请试着判断AB和CD的大小关系，并说明理由. （2）如图3所示，若交点P在⊙O之外，那么，上面的结论是否依然成立？如果成立，加以证明；如果不成立，说明理由. 这个问题的提出是相当灵活的，给学生留下了很大的自由探究空间. 通过这一题目的练习，学生总结出，在处理探究问题时，应当先进行合理猜想，再向着猜想的方向进行证明. 具体至这道题，大家通过图像判断AB=CD，也就明确了论证方向. 在这个过程中，学生对于圆的认知也更加深入了.
在初中阶段的各类数学测试当中，已经开始越来越多地出现探究性问题的身影了，足见其对于初中数学教学的价值. 的确，对于探究性问题的解答，能够大大开阔学生的思维视野. 因此，无论是从提高考试成绩还是从深化学习效果的角度来看，在课后作业环节再现数学探究都是势在必行的. 起初，一些学生会感到一定程度的解答困难，但只要在不断坚持中找到思维出口，收获的效果将是十分喜人的.
突显方法，升华布置课后作业
如果仅从一个个知识点的角度出发去学习知识，各个击破，对于数学的掌握虽然全面，却难免陷入过于零散的困境. 想要获得优质高效的学习效果，就要学会从宏观上看待知识，从具体的数学内容当中提炼出思想方法，以之串联起所有知识点，提纲挈领，事半功倍. 这里所说的思想方法，并不是依靠教师的语言描述就能够让学生切实掌握的，它需要学生在亲自解答数学问题时去感受和发现. 当然，教师也要在这时为发现方法创造机会，特别是在课后作业的布置当中对思想方法予以突显.
例如，有一道作业题曾经让不少学生犯了难：某公园想要在边长为16 m的正方形草坪上安装喷水龙头，需要让整片草坪都能喷洒到水. 若每个喷水龙头能够喷洒到半径为6 m的圆面（如图4），那么至少需要在草坪中安装几个龙头？如果仅靠题目当中给出的图进行判断是很难的. 这时，如果能够将喷水的效果以平面图来表示，并省略喷水过程，直接以圆的模型进行思考，实际问题便一下子成了纯粹的数学问题. 这就是典型的数形结合过程，也是初中数学问题解答中最为常用的思想方法之一.
为了让学生能够在进行练习的过程中自然而然地发现典型思想方法之所在，需要教师在设计课后作业时特别注意. 笔者在作业当中常常会运用能够突显数学方法的题目，强化学生的心理感知. 经过课后作业当中的巧妙设计，学生在解题过程中十分明显地感受到了典型方法对问题解答的作用. 对学生存在解答困难的问题，教师在讲解时也得以开门见山地摆出思想方法，着重加深大家对之的印象，进而站在一个新的高度审视数学，认知数学，掌握数学.
课后作业是数学知识学习的阶段性小结. 作为课堂教学的收尾，课后作业所承担的任务是非常重大的. 首先，它应当能够比较全面地涵盖本次课堂教学的知识内容，起到帮助学习回顾和巩固所学的作用. 同时，还应当将重点内容予以突出，将思想方法抽象提炼，让学生在完成作业的同时深化知识理解. 正因如此，课后作业之于数学教学才如此意义重大，尤其是对数学能力基础尚未完全建立起来的初中阶段学生来讲，课后作业的辅助功能便更显重要了. 希望广大教师能够将更多教学智慧投入到课后作业的设计与实施当中，给课堂教学以精彩收尾，给知识体悟以二度深入.