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开放题是数学教学中的一种新题型，它是相对于传统的封闭题而言的。开放题的核心是培养学生的创造意识和创造能力，激发学生独立思考和创新的意识，这是一种新的教育理念的具体体现。现行数学教材中，习题基本上是为了使学生了解和牢记数学结论而设计的，学生在学习中缺乏主动参与的过程。那么在教材还没有提供足够的开放题之前，好的开放题从那里来？我认为最现实的办法是让"封闭"题"开放"。
一、开放意识的形成
学习的目的是为了使自然人过渡到社会人、使社会人更好地服务于社会，由于社会时刻在发生着变化，因此，一个良好的社会人必需具备适应社会变化的能力。让学生懂得用现成的方法解决现成的问题仅仅是学习的第一步，学习的更高境界是提出新问题、提出解决问题的新方案。因此首先必须改变那种只局限于教师给题学生做题的被动的、封闭的意识，为了使数学适应时代的需要，我们选择了数学开放题作为一个切入口，开放题的引入，促进了数学教育的开放化和个性化，从发现问题和解决问题中培养学生的创新精神和实践能力。
关于开放题目前尚无确切的定论，通常是改变命题结构，改变设问方式，增强问题的探索性以及解决问题过程中的多角度思考，对命题赋予新的解释进而形成和发现新的问题。近两年高考题中也出现了开放题的"影子"，如1998年第（19）题："关于函数f（x）=4Sin（2x+€%i/3）（x∈R），有下列命题：①由f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2必是€%i的整数倍；②y=f（x）的表达式可改写为y=4Cos（2x-€%i/6）：③y=f（x）的图象关于点（-€%i/6，0）对称；④y=f（x）的图象关于直线x=-€%i/6对称。其中正确的命题是──（注：把你认为正确的命题的序号都填上）"显然《高中代数》上册第184页例4"作函数y=3Sin（2x+€%i/3）的简图。"可作为其原型。学生如果明白这些道理就会产生对问题开放的需求，逐步形成自觉的开放意识。又如2000年理19文20题 函数单调性的参数取值范围问题（既有条件开放又有结论的开放，条件上，对-ax≤1 ，是选择 ≥0，还是选择 ≥1？选择前者则得ax+1≥0 ，€H！x≥-以后的道路荆棘丛生，而选择后者则有ax+1≥1 ，€H！x≥0 ，以后的道路一片光明；结论开放体现在结论分为两段，一段上可使函数单调，另一段上不单调，且证明不单调的方法是寻找反例）；
从数学考试中引进一定的结合现实背景的问题和开放性问题，已引起了广大数学教育工作者的极大关注，开放题的研究已成为数学教育的一个热点。
二、开放问题的构建
有了开放的意识，加上方法指导，开放才会成为可能。开放问题的构建主要从两个方面进行，其一是问题本身的开放而获得新问题，其二是问题解法的开放而获得新思路。根据创造的三要素："结构、关系、顺序"，我们可以为学生构建由"封闭"题"开放"的如下框图模式：
〔例1〕已知a ，b，c∈R+并且a （《高中代数》下册第12页例7）
除教材介绍的方法外，根据目标的结构特征，改变一下考察问题的角度，或同时对目标的结构作些调整、重新组合，可获得如下思路：两点（b，a）、（-m，-m）的连线的斜率大于两点（b，a）、（0，0）的连线的斜率；b个单位溶液中有a个单位溶质，其浓度小于加入m个单位溶质后的浓度；在数轴上的原点和坐标为1的点处，分别放置质量为m、a的质点时质点系的重心，位于分别放置质量为m、b的质点时质点系的重心的左侧等。
给变量赋予不同的内涵，就可得出函数不同的解释，我们从物理和经济两个角度出发给出实例。
1.X表示时间（单位：s），y表示速度（单位：m/s），开始计时后质点以10/s的初速度作匀加速运动，加速度为2m/s2，5秒钟后质点以20/s的速度作匀速运动，10秒钟后质点以-2m/s2的加速度作匀减速运动，直到质点运动到20秒末停下。
2.季节性服饰在当季即将到来之时，价格呈上升趋势，设某服饰开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售，10周后当季即将过去，平均每周削价2元，直到20周末该服饰不再销售。
函数概念的形成，一般是从具体的实例开始的，但在学习函数时，往往较少考虑实际意义，本题旨在通过学生根据自己的知识经验给出函数的实际解释，体会到数学概念的一般性和背景的多样性。这是对问题理解上的开放。
〔例3〕由圆x2+y2=4上任意一点向x軸作垂线。求垂线夹在圆周和x轴间的线段中点的轨迹方程。（《高中平面解析几何》复习参考题二第11题）（答案：x2/4+y2=1）
问题本身开放：先从问题中分解出一些主要"组件"，如：A、"圆x2+y2=4"；B、"x轴"；C、"线段中点"等。然后对这些"组件"作特殊化、一般化等处理便可获得新问题。
对A而言，圆作为一种特殊的曲线，我们将其重新定位在"曲线"上，那么曲线又可分解成大小、形状和位置三要素，于是改变条件A（大小或形状或位置）就可使问题向三个方向延伸。
如改变位置，将A写成"（x-a）2+（y-b）2=4"，即可得所求的轨迹方程为（x-a）2+（2y-b）2=4；再将其特殊化（取a=0），并进行新的组合便有问题：圆x2+（y-b）2=4与椭圆x2+（2y-b）2=4有怎样的位置关系？试说明理由。
当y=0时，x2+b2=4，
（1）若b<-2或 b>2，圆与椭圆没有公共点；
（2）若b=€？，圆与椭圆恰有一个公共点；
（3）若 -2 当y=2b/3时，x2+b2/9=4，
（1）若b<-6或b>6，圆与椭圆没有公共点；
（2）若b=€？，圆与椭圆恰有一个公共点； （3）若-6 综上所述，圆x2+（y-b）2=4与椭圆x2+（2y-b）2=4，当b<-6或b>6时没有公共点；当b=€？时恰有一个公共点；当-6 上面的解法是从"数"着手，也可以从"形"着手分析。
再进一步延伸，得：当b>6时，圆x2+（y-b）2=4上的点到椭圆x2+（2y-b）2=4上的点的最大距离是多少？这个问题的解决是对数形结合、等价转化等思想的进一步强化。
对B而言，它是一条特殊的直线，通过对其位置的变更可产生许多有意义的问题；而C是一种特殊的线段分点，同样可以使其推广到一般，若对由此产生的结果继续研究就会发现以往的一些会考、高考试题。
三.开放问题的探索
开放的行为给上面三个简单的问题注入了新的活力，推陈出"新"、自己给自己出题是人自我意识的回归。开放的过程说白了就是探索的过程。以下以抛物线的焦点弦问题为例来看开放问题的探索。
〔例4〕已知抛物线y2=2px（p >0） ，过焦点F的直线与抛物线相交于A（x1，y1），B（x1，y）两点，P（x0，y0）是线段AB的中点；抛物线的准线为l，分别过点A、B、P作x轴的平行线，依次交l于M、N、Q，连接FM、FN、FQ、AQ和BQ（如图）
（1）试尽可能地找出：
（a）点A、B、P的纵、横6个坐标所满足的等量关系；
（b）图中各线段的垂直关系.
（2）如果允许引辅助线，你还能发现哪些结论？
〔分析与解〕（1）（a）点A、B、P的6个坐标x1，y1；x2，y2；x0，y0之间至少有下列等量关系：
① y21=2px1② y22=2px2③y1y2=-p2 ④ x1x2=-p2/4
⑤ x0=⑥ y0=
"所有的畫都是以只有3种原色的方式构成的。每当我们把某样东西说成是新的的时候，我们真正谈论的是现有元素独特的存在方式。"具备对"封闭"题"开放"的意识的学生，事实上就有了创造意识，这种意识驱动下的实践自然会使创造力得以发展；同时，随着高考命题改革的进一步深入，我想这样的"开放"会在高考中更显示其生命力。
作者简介：李晓，1986.08，现工作单位：内蒙古交通职业技术学院，助教。
一、开放意识的形成
学习的目的是为了使自然人过渡到社会人、使社会人更好地服务于社会，由于社会时刻在发生着变化，因此，一个良好的社会人必需具备适应社会变化的能力。让学生懂得用现成的方法解决现成的问题仅仅是学习的第一步，学习的更高境界是提出新问题、提出解决问题的新方案。因此首先必须改变那种只局限于教师给题学生做题的被动的、封闭的意识，为了使数学适应时代的需要，我们选择了数学开放题作为一个切入口，开放题的引入，促进了数学教育的开放化和个性化，从发现问题和解决问题中培养学生的创新精神和实践能力。
关于开放题目前尚无确切的定论，通常是改变命题结构，改变设问方式，增强问题的探索性以及解决问题过程中的多角度思考，对命题赋予新的解释进而形成和发现新的问题。近两年高考题中也出现了开放题的"影子"，如1998年第（19）题："关于函数f（x）=4Sin（2x+€%i/3）（x∈R），有下列命题：①由f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2必是€%i的整数倍；②y=f（x）的表达式可改写为y=4Cos（2x-€%i/6）：③y=f（x）的图象关于点（-€%i/6，0）对称；④y=f（x）的图象关于直线x=-€%i/6对称。其中正确的命题是──（注：把你认为正确的命题的序号都填上）"显然《高中代数》上册第184页例4"作函数y=3Sin（2x+€%i/3）的简图。"可作为其原型。学生如果明白这些道理就会产生对问题开放的需求，逐步形成自觉的开放意识。又如2000年理19文20题 函数单调性的参数取值范围问题（既有条件开放又有结论的开放，条件上，对-ax≤1 ，是选择 ≥0，还是选择 ≥1？选择前者则得ax+1≥0 ，€H！x≥-以后的道路荆棘丛生，而选择后者则有ax+1≥1 ，€H！x≥0 ，以后的道路一片光明；结论开放体现在结论分为两段，一段上可使函数单调，另一段上不单调，且证明不单调的方法是寻找反例）；
从数学考试中引进一定的结合现实背景的问题和开放性问题，已引起了广大数学教育工作者的极大关注，开放题的研究已成为数学教育的一个热点。
二、开放问题的构建
有了开放的意识，加上方法指导，开放才会成为可能。开放问题的构建主要从两个方面进行，其一是问题本身的开放而获得新问题，其二是问题解法的开放而获得新思路。根据创造的三要素："结构、关系、顺序"，我们可以为学生构建由"封闭"题"开放"的如下框图模式：
〔例1〕已知a ，b，c∈R+并且a （《高中代数》下册第12页例7）
除教材介绍的方法外，根据目标的结构特征，改变一下考察问题的角度，或同时对目标的结构作些调整、重新组合，可获得如下思路：两点（b，a）、（-m，-m）的连线的斜率大于两点（b，a）、（0，0）的连线的斜率；b个单位溶液中有a个单位溶质，其浓度小于加入m个单位溶质后的浓度；在数轴上的原点和坐标为1的点处，分别放置质量为m、a的质点时质点系的重心，位于分别放置质量为m、b的质点时质点系的重心的左侧等。
给变量赋予不同的内涵，就可得出函数不同的解释，我们从物理和经济两个角度出发给出实例。
1.X表示时间（单位：s），y表示速度（单位：m/s），开始计时后质点以10/s的初速度作匀加速运动，加速度为2m/s2，5秒钟后质点以20/s的速度作匀速运动，10秒钟后质点以-2m/s2的加速度作匀减速运动，直到质点运动到20秒末停下。
2.季节性服饰在当季即将到来之时，价格呈上升趋势，设某服饰开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售，10周后当季即将过去，平均每周削价2元，直到20周末该服饰不再销售。
函数概念的形成，一般是从具体的实例开始的，但在学习函数时，往往较少考虑实际意义，本题旨在通过学生根据自己的知识经验给出函数的实际解释，体会到数学概念的一般性和背景的多样性。这是对问题理解上的开放。
〔例3〕由圆x2+y2=4上任意一点向x軸作垂线。求垂线夹在圆周和x轴间的线段中点的轨迹方程。（《高中平面解析几何》复习参考题二第11题）（答案：x2/4+y2=1）
问题本身开放：先从问题中分解出一些主要"组件"，如：A、"圆x2+y2=4"；B、"x轴"；C、"线段中点"等。然后对这些"组件"作特殊化、一般化等处理便可获得新问题。
对A而言，圆作为一种特殊的曲线，我们将其重新定位在"曲线"上，那么曲线又可分解成大小、形状和位置三要素，于是改变条件A（大小或形状或位置）就可使问题向三个方向延伸。
如改变位置，将A写成"（x-a）2+（y-b）2=4"，即可得所求的轨迹方程为（x-a）2+（2y-b）2=4；再将其特殊化（取a=0），并进行新的组合便有问题：圆x2+（y-b）2=4与椭圆x2+（2y-b）2=4有怎样的位置关系？试说明理由。
当y=0时，x2+b2=4，
（1）若b<-2或 b>2，圆与椭圆没有公共点；
（2）若b=€？，圆与椭圆恰有一个公共点；
（3）若 -2
（1）若b<-6或b>6，圆与椭圆没有公共点；
（2）若b=€？，圆与椭圆恰有一个公共点； （3）若-6
再进一步延伸，得：当b>6时，圆x2+（y-b）2=4上的点到椭圆x2+（2y-b）2=4上的点的最大距离是多少？这个问题的解决是对数形结合、等价转化等思想的进一步强化。
对B而言，它是一条特殊的直线，通过对其位置的变更可产生许多有意义的问题；而C是一种特殊的线段分点，同样可以使其推广到一般，若对由此产生的结果继续研究就会发现以往的一些会考、高考试题。
三.开放问题的探索
开放的行为给上面三个简单的问题注入了新的活力，推陈出"新"、自己给自己出题是人自我意识的回归。开放的过程说白了就是探索的过程。以下以抛物线的焦点弦问题为例来看开放问题的探索。
〔例4〕已知抛物线y2=2px（p >0） ，过焦点F的直线与抛物线相交于A（x1，y1），B（x1，y）两点，P（x0，y0）是线段AB的中点；抛物线的准线为l，分别过点A、B、P作x轴的平行线，依次交l于M、N、Q，连接FM、FN、FQ、AQ和BQ（如图）
（1）试尽可能地找出：
（a）点A、B、P的纵、横6个坐标所满足的等量关系；
（b）图中各线段的垂直关系.
（2）如果允许引辅助线，你还能发现哪些结论？
〔分析与解〕（1）（a）点A、B、P的6个坐标x1，y1；x2，y2；x0，y0之间至少有下列等量关系：
① y21=2px1② y22=2px2③y1y2=-p2 ④ x1x2=-p2/4
⑤ x0=⑥ y0=
"所有的畫都是以只有3种原色的方式构成的。每当我们把某样东西说成是新的的时候，我们真正谈论的是现有元素独特的存在方式。"具备对"封闭"题"开放"的意识的学生，事实上就有了创造意识，这种意识驱动下的实践自然会使创造力得以发展；同时，随着高考命题改革的进一步深入，我想这样的"开放"会在高考中更显示其生命力。
作者简介：李晓，1986.08，现工作单位：内蒙古交通职业技术学院，助教。