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【摘要】重视数学应用/建模问题解决的教育已成为数学教育界的共识。新世纪实施数学课程改革以来，学生的数学应用/建模问题解决素养（数学建模素养）虽有所提升，但学生的数学建模素养依然不尽如人意。本文建构视觉化解决数学应用/建模问题模型及方法（在遵循数学应用/建模问题解决内在机制的前提下，运用视觉化工具从问题的情节结构分离出其数学关系结构，从而建立数学模型并解决问题），分析数学新课标、数学教材中的教学案例，提出实施视觉化数学教学是发展学生的数学建模素养的有效路径，以培养学生形成运用视觉化思考数学的良好习惯。
【关键词】视觉化数学教学；数学建模素养；数学应用/建模问题解决
发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等数學核心素养，是当前数学教育界与社会各界共同关注的热门话题。其中，数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型解决问题的过程，主要包括用模（在实际情境中从数学的视角发现问题和提出问题）、建模（分析问题和构建模型）、解模（求解数学模型的结论）、验模（验证结果并改进模型，最终解决实际问题）等关键环节。数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。在中小学阶段，数学应用/建模问题是培养中小学生数学建模素养的主要形式。
一、问题的提出
新世纪我国实施数学课程改革以来，构建数学模型、应用数学解决实际问题受到了人们的重视，如数学课程标准提出，在高中阶段至少安排较为完整的一次数学探究、一次数学建模活动。数学教材不遗余力地想方设法设置数学应用/建模问题，高考数学卷也几乎每年设有数学应用问题（大题）。数学期望课程、数学实施课程与数学获得课程一致重视数学应用/建模问题的教育，可谓盛世空前，也取得了一定的成绩。但毋庸讳言，总体而言，学生的数学应用/建模问题解决能力或素养却不尽如人意，呈原地踏步、裹足不前之状态。这其中原因何在？我们认为，是数学应用/建模问题教学出现了偏差。
一是传统的应用题分类教学（情节分类和数学关系分类），即应用题按学习领域（代数应用题、几何应用题等）或按情节（行程问题、浓度问题、银行利息问题等）分类教学出现了偏差。应用题分类教学，除具有一定的模式识别功能、便于学生识别常规数学应用题外，本质上阻碍了学生解决非常规数学应用题能力的养成，不利于学生创造性地应用数学知识、数学思想和数学方法解决实际问题。因为对于一些复杂的实际问题，学生难以将其准确分类，即难以通过找到这些问题属于哪个数学知识范畴而找到解决问题的方法。
二是教学策略和方法缺失，常见教师照本宣科、无效教学（教师不讲或少讲数学应用/建模问题），展示建模过程（如未知量是如何假设的，即不会设变元，只是问什么就设什么为x）例外。
三是数学教学中不切合实际的假（无效）数学应用问题比例不小，影响了数学应用/建模问题教育的质量。教师表面上是教数学应用，实则与数学应用大相径庭。
经过多年的理论与实践探索，笔者认为，实施视觉化数学教学是发展学生数学建模素养的有效教学路径。
二、视觉化解决数学应用/建模问题模型
数学应用/建模问题是具有情节的数学关系问题，其解决心理机制是人所共知的。数学应用/建模问题解决的思维过程主要包括用模、建模、解模和验模四个关键环节，是主体摆脱数学应用/建模问题的情节进行数学抽象，用数学符号和关系概括或建立近似该实际问题的数学模型，并进行数学推理、运算及结果分析等系列程序的组合（如图1所示）。值得注意的是，学校课程中的实际问题只涉及一些现实问题，而只有一些实际问题能运用数学的理论、思想与方法予以解决，这也是数学应用/建模问题解决教育的基本定位。
不难发现，从实际问题情境中抽象出数学模型即建模，是整个数学建模过程四个关键环节中的重难点，直接影响实际问题的最终解决，而视觉化解决数学应用/建模问题的方法就是突破这一重难点的有效方法。
视觉化解决数学应用/建模问题的方法，指的是在遵循数学应用/建模问题解决内在机制的前提下，运用视觉化工具（主要是图表，本质上是图像符号，包括但不限于表格、数学图像、线段图、示意图、流程图、树状图、概念图、逻辑图，以及静态几何图形、动态图像、教学模型，甚至是用以传递动作与情感经验的各种手势[1]，运用信息技术如几何画板、动态几何软件、思维导图等图表功能产生的视觉化图示等），从数学应用/建模问题的情节结构分离出其数学（数量）关系结构，从而建立数学模型并解决问题。
相应地，视觉化数学教学是指运用视觉化工具开展数学教学的方式方法，即运用视觉化工具将言语化表征的数学形态转化为视觉化表征的数学形态，再将视觉化表征的数学形态转化为数学符号表征的数学形态，直至达成内化的数学认知结构形态。数形结合是视觉化的一种重要方式，然而视觉化包括但不局限于数形结合。
三、数学新课标新增的视觉化解决数学应用/建模问题案例
《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一个重要变化，是增强了运用视觉化（图表为主）解决数学应用/建模问题的要求。以第三学段（七至九年级）“数与代数”为例，在“课程内容及实施建议中的实例”部分，11个实例（例47～例57）中有7个（例51～例57）与图表有关，其中例47、例49、例52、例54、例55出自原课标（2001年版）；“综合与实践”中的例77看图说故事，例79利用几何图形研究代数问题等，都是突出数学视觉化方法的具体体现。下面，笔者以最具代表性的例51、例53为例，略做分析。
例51一个房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有60条，那么有几个椅子和几个凳子？
【说明】这个问题与例31是相同的。 利用一元一次方程解决此问题时，可以引导学生通过具体列表的方式找出规律、建立方程，这样有利于学生理解方程的意义，体会建模的过程。假设椅子数为a，则凳子数为16-a，把例31中的表移过来并用字母代替，如表1。
这样，符合题意的方程为4a+3（16-a）=60，可以通过尝试的方法，解得a=12，也可以解方程求解。
例51与中国传统数学问题——鸡兔同笼问题如出一辙，数学本质相同，但运用视觉化方法（列表）却让学生明白为何要设未知数，何时设未知数，如何设未知数，知道数学建模的基本过程，思路自然，直捣数学模型核心。这种通过视觉化手段多次进行的“猜测—验证法”，体现了算术思维向代数思维的有效转化，也是初一学生建立方程解决代数应用问题较难逾越的认知障碍。当然，若改变一下例51中的列表方式，思路更自然，如表2。
诚然，例51的解决除运用上述算法化思想外，还可运用思辨方法解决问题，具体方式多种多样。比如，对3条腿的凳子加1条腿，则应有4×16=64条腿，但题目只有60条腿，故64-60=4即凳子数。又如，4条腿的椅子锯掉1条腿，则应有3×16=48条腿，可题中给出60条腿，60-48=12正是椅子数。这种形象化的方法本质上也是一种广义的视觉化。
例53小丽去文具店买铅笔和橡皮。铅笔每支0.5元，橡皮每块0.4元。小丽带了2元钱，能买几支铅笔、几块橡皮？
【说明】对于初中生，这个问题是生活常识，但希望学生能通过这个例子学会用数学的思维方式看待生活中的问题。
这是一个求整数解的不等式问题，并且问题是开放的，通过列表具体计算，有助于学生直观理解不等式。
假设买a支铅笔，b块橡皮，可以得到不等式0.5a+0.4b≤2。
当a=1时，计算得到b≤2-0.5/0.4=3.75，则b=3。这样计算，可以建立如表3的表格。
根据上面的表格，小丽可以选择适当的购买方案。
对初一学生来说，解答例53的主要难点是建立二元一次不等式模型，并寻找该不等式的整数解。最自然的解决策略即如新课标中所用的列表法，经由“猜测—验证法”直观得出结果。其实，还可以对例53的视觉化方法稍加改进，如表4。
四、视觉化解决数学应用/建模问题之课堂教学例析
在数学课堂教学中，教师如何贯彻落实视觉化解决数学应用/建模问题以发展学生的数学建模素养？以下，笔者以人教版数学七年级下册第九章第二节“一元一次不等式”中的例3为例略做说明。
例3甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：
在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；
在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费。
问：顾客到哪家商场购物花费少？
这是一道有一定难度的数学应用问题。此前，学生已学习了一元一次不等式的基本性质、解法，并通过教材中的例2（空气质量问题）掌握了利用不等式解决实际问题的基本过程，这为解决例3起到过渡铺垫的作用。但例3的难点也是显而易见的，即问题相对复杂，隐含的不等关系不易找出，未知量也不知如何假设，以往“问什么就设什么”的套路不能奏效。如何展现数学建模（不等式模型）的思维过程，成为解决例3的教学重难点与关键。为此，教师要引导学生从特殊到一般并利用视觉化方法（这里主要是图表法）予以处理，如表5。
由上表易知，图表能清晰地呈现问题，揭示分类讨论、为何设元等数学思想，把累计购物设为未知量x（x>100）元是十分自然的选择，要判断“顾客到哪家商场购物花费少”，只需比较100+（x-100）×0.9与50+（x-50）×0.95的大小即可。于是，在累计购物x>100（元）的条件下：
若100+（x-100）×0.9>50+（x-50）×0.95，即x<150，则到乙商场购物花费少；
若100+（x-100）×0.9<50+（x-50）×0.95，即x>150，则到甲商场购物花费少；
若100+（x-100）×0.9=50+（x-50）×0.95，即x=150，则到甲乙两商场购物花费一样。
综上所述，一个合理的消费方案是：
设累计购物x元，0150，选甲商场花费少。
如果条件许可，教师可以组织或引导学生基于本题并利用信息技术（网络与手持技术等）制作购物计算器，以备日常购物之需，培养学生运用数学、信息技术等解决实际问题的意识，促进学生数学建模素养的发展。
当然，我们运用视觉化解决数学应用/建模问题的方法，还可以将例3进行如下推广。
在例3条件下，丙商场也以同样价格出售同样商品，优惠方案为：
①在丙商场累计购物超过40元后，超出部分按98%收费，问：什么情况下顾客到哪家（甲、乙、丙）商场购物花费少？（结果精确到元）
②在丙商场累计购物超过150元后，超出部分按84%收费，问：顾客到哪家（甲、乙、丙）商场购物花费少？（结果精确到元）
该变式结合教材中的例2进行，最后计算结果需取整才满足要求，使数学问题前后相联系。同时，加入第三家商场增加了问题的难度，需要分三种情况讨论，对学生的数学建模素养提出了更高要求。
五、结语
视觉化是一种重要的思维方式，许多创新性思想源自视觉化思维。首位女菲尔兹奖获得者——伊朗籍数学家玛丽亚姆·米尔扎哈尼（Maryam Mirzakhani，1977—2017）就钟情于视觉化，习惯用建立图像的方式去思考数学，经常在一张巨大的纸片上涂鸦她的各种想法（画曲面和其他与她的研究相关的图像）。她认为涂鸦可以帮助自己集中注意力，在思考一个困难的数学题时，“不想写下所有细节，但是，在画的过程中可以帮助你以某种方式理解它们”。
毕肖普（Bishop）对数学教育的视觉化进行了重要的前期研究，在1988年召开的第12届国际数学教育心理学大会（Psychology of Mathematics Education，以下简称PME）上，他提交了关于数学教育中视觉化的研究综述。此后，随着第15届PME的召开，数学教育中的视觉化作为一个研究领域开始成熟；第23届PME中《视觉化作为代数问题解决中的有效手段》一文，阐明了视觉化不仅可用于直观的数学问题，如几何学和三角学，还可用于代数学。但迄今为
止，“视觉化如何与数学教学相互影响”仍是一个被忽视的重要主题[2]。目前，大量的实证研究表明，视觉化有助于学生解决数学问题。
值得一提的是，学生数学建模素养不是自然形成的，亦即较高层次的数学理论知识未必天然地能较好解决那些只用较低数学理论知识就能解答的数学应用/建模问题，数学建模素养需要有意识地培养[3]。
视觉化数学教学是提高青少年解决数学应用/建模问题认知水平的有效教学策略，能显著提升青少年解决数学应用/建模问题的能力，促进青少年数学建模素养的发展。
參考文献：
[1]唐剑岚.数学多元表征学习及教学[M].南京：南京师范大学出版社，2009.
[2]古铁雷斯，伯拉.数学教育心理学研究手册：过去、现在与未来[M].徐文彬，喻平，孙玲，译.桂林：广西师范大学出版社，2009.
[3]廖运章.初中生解决贝叶斯推理问题的认知研究[J].数学教育学报，2010（5）：56-58.
【关键词】视觉化数学教学；数学建模素养；数学应用/建模问题解决
发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等数學核心素养，是当前数学教育界与社会各界共同关注的热门话题。其中，数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型解决问题的过程，主要包括用模（在实际情境中从数学的视角发现问题和提出问题）、建模（分析问题和构建模型）、解模（求解数学模型的结论）、验模（验证结果并改进模型，最终解决实际问题）等关键环节。数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。在中小学阶段，数学应用/建模问题是培养中小学生数学建模素养的主要形式。
一、问题的提出
新世纪我国实施数学课程改革以来，构建数学模型、应用数学解决实际问题受到了人们的重视，如数学课程标准提出，在高中阶段至少安排较为完整的一次数学探究、一次数学建模活动。数学教材不遗余力地想方设法设置数学应用/建模问题，高考数学卷也几乎每年设有数学应用问题（大题）。数学期望课程、数学实施课程与数学获得课程一致重视数学应用/建模问题的教育，可谓盛世空前，也取得了一定的成绩。但毋庸讳言，总体而言，学生的数学应用/建模问题解决能力或素养却不尽如人意，呈原地踏步、裹足不前之状态。这其中原因何在？我们认为，是数学应用/建模问题教学出现了偏差。
一是传统的应用题分类教学（情节分类和数学关系分类），即应用题按学习领域（代数应用题、几何应用题等）或按情节（行程问题、浓度问题、银行利息问题等）分类教学出现了偏差。应用题分类教学，除具有一定的模式识别功能、便于学生识别常规数学应用题外，本质上阻碍了学生解决非常规数学应用题能力的养成，不利于学生创造性地应用数学知识、数学思想和数学方法解决实际问题。因为对于一些复杂的实际问题，学生难以将其准确分类，即难以通过找到这些问题属于哪个数学知识范畴而找到解决问题的方法。
二是教学策略和方法缺失，常见教师照本宣科、无效教学（教师不讲或少讲数学应用/建模问题），展示建模过程（如未知量是如何假设的，即不会设变元，只是问什么就设什么为x）例外。
三是数学教学中不切合实际的假（无效）数学应用问题比例不小，影响了数学应用/建模问题教育的质量。教师表面上是教数学应用，实则与数学应用大相径庭。
经过多年的理论与实践探索，笔者认为，实施视觉化数学教学是发展学生数学建模素养的有效教学路径。
二、视觉化解决数学应用/建模问题模型
数学应用/建模问题是具有情节的数学关系问题，其解决心理机制是人所共知的。数学应用/建模问题解决的思维过程主要包括用模、建模、解模和验模四个关键环节，是主体摆脱数学应用/建模问题的情节进行数学抽象，用数学符号和关系概括或建立近似该实际问题的数学模型，并进行数学推理、运算及结果分析等系列程序的组合（如图1所示）。值得注意的是，学校课程中的实际问题只涉及一些现实问题，而只有一些实际问题能运用数学的理论、思想与方法予以解决，这也是数学应用/建模问题解决教育的基本定位。
不难发现，从实际问题情境中抽象出数学模型即建模，是整个数学建模过程四个关键环节中的重难点，直接影响实际问题的最终解决，而视觉化解决数学应用/建模问题的方法就是突破这一重难点的有效方法。
视觉化解决数学应用/建模问题的方法，指的是在遵循数学应用/建模问题解决内在机制的前提下，运用视觉化工具（主要是图表，本质上是图像符号，包括但不限于表格、数学图像、线段图、示意图、流程图、树状图、概念图、逻辑图，以及静态几何图形、动态图像、教学模型，甚至是用以传递动作与情感经验的各种手势[1]，运用信息技术如几何画板、动态几何软件、思维导图等图表功能产生的视觉化图示等），从数学应用/建模问题的情节结构分离出其数学（数量）关系结构，从而建立数学模型并解决问题。
相应地，视觉化数学教学是指运用视觉化工具开展数学教学的方式方法，即运用视觉化工具将言语化表征的数学形态转化为视觉化表征的数学形态，再将视觉化表征的数学形态转化为数学符号表征的数学形态，直至达成内化的数学认知结构形态。数形结合是视觉化的一种重要方式，然而视觉化包括但不局限于数形结合。
三、数学新课标新增的视觉化解决数学应用/建模问题案例
《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一个重要变化，是增强了运用视觉化（图表为主）解决数学应用/建模问题的要求。以第三学段（七至九年级）“数与代数”为例，在“课程内容及实施建议中的实例”部分，11个实例（例47～例57）中有7个（例51～例57）与图表有关，其中例47、例49、例52、例54、例55出自原课标（2001年版）；“综合与实践”中的例77看图说故事，例79利用几何图形研究代数问题等，都是突出数学视觉化方法的具体体现。下面，笔者以最具代表性的例51、例53为例，略做分析。
例51一个房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有60条，那么有几个椅子和几个凳子？
【说明】这个问题与例31是相同的。 利用一元一次方程解决此问题时，可以引导学生通过具体列表的方式找出规律、建立方程，这样有利于学生理解方程的意义，体会建模的过程。假设椅子数为a，则凳子数为16-a，把例31中的表移过来并用字母代替，如表1。
这样，符合题意的方程为4a+3（16-a）=60，可以通过尝试的方法，解得a=12，也可以解方程求解。
例51与中国传统数学问题——鸡兔同笼问题如出一辙，数学本质相同，但运用视觉化方法（列表）却让学生明白为何要设未知数，何时设未知数，如何设未知数，知道数学建模的基本过程，思路自然，直捣数学模型核心。这种通过视觉化手段多次进行的“猜测—验证法”，体现了算术思维向代数思维的有效转化，也是初一学生建立方程解决代数应用问题较难逾越的认知障碍。当然，若改变一下例51中的列表方式，思路更自然，如表2。
诚然，例51的解决除运用上述算法化思想外，还可运用思辨方法解决问题，具体方式多种多样。比如，对3条腿的凳子加1条腿，则应有4×16=64条腿，但题目只有60条腿，故64-60=4即凳子数。又如，4条腿的椅子锯掉1条腿，则应有3×16=48条腿，可题中给出60条腿，60-48=12正是椅子数。这种形象化的方法本质上也是一种广义的视觉化。
例53小丽去文具店买铅笔和橡皮。铅笔每支0.5元，橡皮每块0.4元。小丽带了2元钱，能买几支铅笔、几块橡皮？
【说明】对于初中生，这个问题是生活常识，但希望学生能通过这个例子学会用数学的思维方式看待生活中的问题。
这是一个求整数解的不等式问题，并且问题是开放的，通过列表具体计算，有助于学生直观理解不等式。
假设买a支铅笔，b块橡皮，可以得到不等式0.5a+0.4b≤2。
当a=1时，计算得到b≤2-0.5/0.4=3.75，则b=3。这样计算，可以建立如表3的表格。
根据上面的表格，小丽可以选择适当的购买方案。
对初一学生来说，解答例53的主要难点是建立二元一次不等式模型，并寻找该不等式的整数解。最自然的解决策略即如新课标中所用的列表法，经由“猜测—验证法”直观得出结果。其实，还可以对例53的视觉化方法稍加改进，如表4。
四、视觉化解决数学应用/建模问题之课堂教学例析
在数学课堂教学中，教师如何贯彻落实视觉化解决数学应用/建模问题以发展学生的数学建模素养？以下，笔者以人教版数学七年级下册第九章第二节“一元一次不等式”中的例3为例略做说明。
例3甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：
在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；
在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费。
问：顾客到哪家商场购物花费少？
这是一道有一定难度的数学应用问题。此前，学生已学习了一元一次不等式的基本性质、解法，并通过教材中的例2（空气质量问题）掌握了利用不等式解决实际问题的基本过程，这为解决例3起到过渡铺垫的作用。但例3的难点也是显而易见的，即问题相对复杂，隐含的不等关系不易找出，未知量也不知如何假设，以往“问什么就设什么”的套路不能奏效。如何展现数学建模（不等式模型）的思维过程，成为解决例3的教学重难点与关键。为此，教师要引导学生从特殊到一般并利用视觉化方法（这里主要是图表法）予以处理，如表5。
由上表易知，图表能清晰地呈现问题，揭示分类讨论、为何设元等数学思想，把累计购物设为未知量x（x>100）元是十分自然的选择，要判断“顾客到哪家商场购物花费少”，只需比较100+（x-100）×0.9与50+（x-50）×0.95的大小即可。于是，在累计购物x>100（元）的条件下：
若100+（x-100）×0.9>50+（x-50）×0.95，即x<150，则到乙商场购物花费少；
若100+（x-100）×0.9<50+（x-50）×0.95，即x>150，则到甲商场购物花费少；
若100+（x-100）×0.9=50+（x-50）×0.95，即x=150，则到甲乙两商场购物花费一样。
综上所述，一个合理的消费方案是：
设累计购物x元，0
如果条件许可，教师可以组织或引导学生基于本题并利用信息技术（网络与手持技术等）制作购物计算器，以备日常购物之需，培养学生运用数学、信息技术等解决实际问题的意识，促进学生数学建模素养的发展。
当然，我们运用视觉化解决数学应用/建模问题的方法，还可以将例3进行如下推广。
在例3条件下，丙商场也以同样价格出售同样商品，优惠方案为：
①在丙商场累计购物超过40元后，超出部分按98%收费，问：什么情况下顾客到哪家（甲、乙、丙）商场购物花费少？（结果精确到元）
②在丙商场累计购物超过150元后，超出部分按84%收费，问：顾客到哪家（甲、乙、丙）商场购物花费少？（结果精确到元）
该变式结合教材中的例2进行，最后计算结果需取整才满足要求，使数学问题前后相联系。同时，加入第三家商场增加了问题的难度，需要分三种情况讨论，对学生的数学建模素养提出了更高要求。
五、结语
视觉化是一种重要的思维方式，许多创新性思想源自视觉化思维。首位女菲尔兹奖获得者——伊朗籍数学家玛丽亚姆·米尔扎哈尼（Maryam Mirzakhani，1977—2017）就钟情于视觉化，习惯用建立图像的方式去思考数学，经常在一张巨大的纸片上涂鸦她的各种想法（画曲面和其他与她的研究相关的图像）。她认为涂鸦可以帮助自己集中注意力，在思考一个困难的数学题时，“不想写下所有细节，但是，在画的过程中可以帮助你以某种方式理解它们”。
毕肖普（Bishop）对数学教育的视觉化进行了重要的前期研究，在1988年召开的第12届国际数学教育心理学大会（Psychology of Mathematics Education，以下简称PME）上，他提交了关于数学教育中视觉化的研究综述。此后，随着第15届PME的召开，数学教育中的视觉化作为一个研究领域开始成熟；第23届PME中《视觉化作为代数问题解决中的有效手段》一文，阐明了视觉化不仅可用于直观的数学问题，如几何学和三角学，还可用于代数学。但迄今为
止，“视觉化如何与数学教学相互影响”仍是一个被忽视的重要主题[2]。目前，大量的实证研究表明，视觉化有助于学生解决数学问题。
值得一提的是，学生数学建模素养不是自然形成的，亦即较高层次的数学理论知识未必天然地能较好解决那些只用较低数学理论知识就能解答的数学应用/建模问题，数学建模素养需要有意识地培养[3]。
视觉化数学教学是提高青少年解决数学应用/建模问题认知水平的有效教学策略，能显著提升青少年解决数学应用/建模问题的能力，促进青少年数学建模素养的发展。
參考文献：
[1]唐剑岚.数学多元表征学习及教学[M].南京：南京师范大学出版社，2009.
[2]古铁雷斯，伯拉.数学教育心理学研究手册：过去、现在与未来[M].徐文彬，喻平，孙玲，译.桂林：广西师范大学出版社，2009.
[3]廖运章.初中生解决贝叶斯推理问题的认知研究[J].数学教育学报，2010（5）：56-58.