论文部分内容阅读
摘 要：数学建模在高中数学学习过程中发挥着重要作用，不仅能够简化问题，帮助学生明晰相关概念，而且能够促进学生解题技巧的迁移，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。因此，本文结合教学实际，简要阐述核心素养下高中数学课堂建模意识培养的必要性，并以此为基础探究建模意识培养的策略，为促进高中数学教学质量做出基础贡献。
关键词：高中数学;数学模型;建模能力
数学以现实世界的空间形式和数量关系作为研究对象，表现为思考事物纯粹的量，广泛使用抽象符号，使得数学与其他学科相比，抽象程度较高。对学生而言，那些比较抽象的数学概念、公式等内容，是他们学好数学的最大阻碍，常常会出现学生跟不上教学进度的现象，而在课堂过程中，单一的讲授式教学容易让学生注意力不集中，在较短时间内学生难以理解并掌握这些抽象的内容。长期下来，学生不懂的问题就会越来越多。实践表明，建立数学模型可以使较为复杂的现实问题简化为数学问题，便于学生抓住问题的本质和规律。因此，培养学生数学建模能力，已经成为高中数学教学过程中的一个重要内容。
一、数学建模的内涵
数学建模作为一种新的数学学习方式，深受教育界的广泛关注，它为学生创造了自主学习的机会，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识。就高中数学教学而言，构建数学模型首先要深入了解问题的实际背景，提取关键的信息，做出相应的假设，其次根據假设，对于研究问题通过数学语言、公式依靠数学工具建立各部分之间的联系，建立起数学模型，最后对整个模型进行分析和检验，按照模型得出相应问题的答案[1]。因此，数学建模思想主要指的是引导学生将所学的数学知识应用到实际问题中，学会分析实际问题并抽象出一般的数学模型，从而应用模型来解决问题的一种思维方式。
二、核心素养下高中数学课堂建模意识培养的必要性
在高中数学教学过程中，培养学生的建模能力是非常有必要的，其重要性主要体现在以下两个方面：一方面在于数学模型的构建，能够使复杂的数学问题简单化，有助于学生抓住问题的本质[2]。高中数学内容具有很强的抽象性，使得学生不易理解教材中的数学问题，并且，单一的讲授方式并不利于调动学生学习数学的积极性，学生难以消化抽象的内容。长时间积累的问题越来越多，这会严重打击学生学好数学的自信心，同时，教师的教学工作也无法顺利进行，面对这种情况，教师如果不采取相应的策略，而是继续讲授新课的话，那么这很容易引起学生的逆反心理，与之相反的是，在教学过程中，有目的有意识地引导学生建构数学模型，不仅能够使学生容易抓住问题的本质，而且有助于学生准确把握数学原理，促进学生对于知识的理解与吸收。另一方面，培养学生的建模意识和建模能力，能够有助于他们养成良好的思考习惯，不仅如此，学生逐步具备建模能力后，就能够准确调动已有的数学知识将实际问题转化为数学问题，从而较好较高效的解决问题，不再需要浪费时间地去尝试。总而言之，培养学生的建模能力，能够帮助他们运用数学知识解决生活中的问题，将知识融会贯通，促进数学学科核心素养的发展。
三、核心素养下高中数学课堂建模意识培养的策略
（一）创设情境，感知建模思想
学生所学的数学知识最终都要回归到实际生活中，一方面，教师在教学过程中，要恰当地引入与教学内容相关的实际生活情境，让学生在生活情境中感悟数学元素，引导学生从实际案例中体会数学概念，从而加深学生对知识的理解和记忆，另一方面，要启发学生将所学知识应用到实际问题中，学会分析实际问题并抽象出一般的数学模型，从而掌握解决问题的技能与方法。在教学过程中创设生活情境，要重点突出“以学生发展为本，提高学生素养”的教学理念，促进学生对生活中模型的感知。其中，在《余弦定理》一课教学时，为了深化学生对模型的感知，可为他们创设这样一个生活情境：
例1：轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船的航行方向之间的夹角为120°，轮船A的航行速度是25n mile/h，轮船B的航行速度是15n mile/h，下午2时两船之间的距离是多少？
面对这样一个生活情境，引导学生先根据题目中已知条件，画出数学模型，在构建模型的过程中，让学生认识到要求两船之间的距离，实际上根据已有的条件，只要利用余弦定理就可以进行求解，因此，结合数学模型并利用余弦定理。可以得到：
在△ABC中，已知∠BCA=120°，AC=25·2=50n mile/h，BC=15·2=30n mile/h，故=70n mile/h，学生们的建模能力将得到一定程度锻炼，养成良好建模思想。
与真实的生活场景的不同在于，数学课堂上的情境再现能够调动学生的生活经验和认知，促进学生应用已有的知识去思考、分析，进而将现实问题抽象为数学问题，强化学生对数学模型的感知，达到培养学生建模能力的目的。
（二）师生共析，理解建模思想
好的教学活动，应该是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一。在教学过程中，为加深学生对数学建模的理解，用心筛选经典的数学模型，是非常必要且关键的一环，并在师生互动的过程中，共同分析所选取的数学模型，从而促进学生对模型的理解。在对数学模型进行分析的过程中，一方面要重视对数学模型的应用价值进行探究，从而调动学生学习数学模型的兴趣，培养他们在解决问题时主动使用数学模型的意识，另一方面，根据教材内容的难易程度以及特点，适时地鼓励学生设计相应的练习题目，促进他们更好地理解数学模型，从而牢牢掌握相关数学模型。在《简单线性规划问题》的教学中，可向学生提出这样一个问题：
例2：甲、乙两个粮库要向A，B两镇运送大米，已知甲库可调出100t大米，乙库可调出80t大米，A镇需70t大米，B镇需110t大米，两库到两镇的路程和运费如下表： 问：这两个粮库各送往A，B两镇多少t大米，才能使总运费最省？此时总运费是多少？
在这个过程中，需要结合题意，与学生一起建立一个关于z的模型，设甲粮库要向A镇运送大米x吨，向B镇运送大米y吨，总运费为z，则乙库要向A镇运送大米（70-x）吨，向B镇运送大米（110-y）吨，目标函数（总运费）为z=60x+90y=30200，题目中包含的限制条件为
所以当x=70，y=30时，总运费最省Zmin=37100元。
在上述过程中，引导学生一起分析题意，快速弄清数据之间的关系，建立关于总运费的模型，最终得到最省的运费，加深了对数学模型的理解，得到较好的数学模型思想锻炼。
（三）加强训练，提升建模意识
适当进行建模训练活动，能够不断提升学生的建模意识，使他们在训练中积累建模经验与技巧，增强应用模型解决问题的能力。因此，根据学生的建模基础，认真筛选代表性较强的训练试题，促进学生在原有的建模基础上得到进一步的提升。其中，在《等比数列》一课教学时，为了锻炼学生应用等比数列通项公式解决问题，发展他们模型应用能力，可学生提出这样一个问题：
例3：某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧，如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
分析可知该题目需要构建等比数列模型，其中以13.5为首项，（1-10%）为公比的等比数列，根据题意可知需要求用满4年后此车的价值，则an=a1·qn-1=13.5·（1-10%）5-1=8.857万元，即当用满4年时，车的价值为8.857万元。
综上所述，应认真落实以培养数学建模思想为重点的教育，在加强训练的过程中，注重引导学生归纳常见的建模题型，挖掘其中的共性，深化建模思想，掌握建模技巧和应用模型解決问题的方法，达到及时巩固数学知识、促进建模能力提升的目标。
（四）变式训练，增强建模能力
在教学过程中，常常会出现这样的现象：在课堂上，通过观察学生的反应，他们对知识似乎掌握得不错，一旦进行综合测试，效果都不太理想。题目稍作改动，很多学生便无从下手，没能真正做到灵活运用知识解决问题，其主要原因有以下两点：一是学生对知识的学习只是停留在表面，按照教师讲的例题照葫芦画瓢，二是思维定式。因此，在具体习题训练中，教师应该在学生掌握相应基础知识的情况下，进行数学建模教学，增强学生的建模能力，并通过习题变式的方式对同一模型进行反复的训练，促进学生不断加深对模型的理解以及能够真正地灵活应用相关的数学知识解决问题。
例4：已知函数若f（x）恰好有2个零点，则m的取值范围是（ ）
A.（2，3] B.[2，3） C.[1，2）∪[3，+∞） D.（1，2]∪[3，+∞）
变 式 1 ：已 知 函 数 恰好有2个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C.[-1，+∞） D.（5，+∞）
变式2：已知函数若g（x）存在两个零点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
通常情况下，此类问题的解法是利用数形结合法将其转化为两个函数图像的交点个数问题，需准确画出两个函数的图像，利用图像写出满足条件的参数范围，值得说明的是，通过变式训练，使学生逐渐清晰问题的主要因素，不仅要求学生根据函数模型的特点，准确提炼出相应的解题技巧和方法，从而能够有效巩固同一模型的应用，而且要求学生认真分析问题，提高他们对同一类问题的整体认识，以达到提升学生数学建模素养的目的。
（五）组织活动，拓展建模视野
在数学教学过程中，通过组织有效的教学活动，能够促进学生对数学模型的理解和掌握。在组织活动之前，要认真钻研教材，根据教学内容的特点组织数学活动，以到达丰富学生数学建模经验，拓展他们的建模视野。在具体组织过程中，不仅要保证活动内容能够吸引学生注意力，而且还要达到促进其建模能力提升的目的，使得他们的思维能力得到良好发展。因此，在数学活动组织中，要充分尊重学生的主体性，让学生成为学习的主体，以保证学生通过洞察与探究数学活动，促进他们建模思想良性发展，在《指数函数》一课教学时，为加深他们对指数函数模型的理解，在课堂上就可以组织一次实践动手操作活动，如：
例5：一张纸厚度是0.01mm，对折一次得两层，对折两次得4层，对折3次得8层，现将一张厚0.01mm的白纸对折20次后，其高度约为多少米？（210=1000）
问题驱动下，引导学生拿出准备好的白纸，亲自动手参与对折白纸的活动，鼓励学生根据活动的结果，建立层数y随对折次数x变化的函数模型，其中，学生通过活动分析得到对折1次后，层数y=2。对折2次后，层数y=22。对折x次之后，得到y=2x的指数函数模型，并作出函数图象。结合图象，观察到x=20时，y=220层，并根据纸张厚度为0.01mm，计算得到其高度为10米。
上述教学活动，为拓展学生数学建模的视野，巩固所学的知识，在《指数函数》这一课时的教学中，根据学生的实际情况，组织学生积极参与动手折纸的活动，通过交流和讨论，构建层数y随对折次数x变化的函数模型，根据所学的数学知识，动手绘制指数函数图象，并通过对图像的观察，提取图像所蕴含的关键信息，最终利用函数模型得出对折20次后的层数。通过这样的活动，能够促进学生对指数函数模型的了解。
四、结束语
综上所述，高中数学学科的抽象性和复杂性，要求教师在教学中必须重视培养学生利用建模能力简化现实问题，降低学生对于新知识的认知难度，有助于教师对相关课程的展开，提高教学质量和形成良好的学习效果。因此，在实际的教学过程中，教师要根据教学内容的特点，用心筛选适合的模型辅助学生的学习，积极创设与学生生活实际相关的情境，并引导学生通过动手操作和合作探究的学习方式，亲身参与模型构建的活动，帮助他们提升获取有价值信息并进行定量分析的意识和能力，使学生真正养成良好数学建模思想，提高学科核心素养。
参考文献：
[1]张伟. 在高中数学教学中应用数学建模思想的策略分析[J]. 天天爱科学（教学研究），2021（03）：129-130.
[2]周国峰. 对高中物理教学中学生建模能力的培养[J]. 学苑教育，2020（31）：55-56.
作者简介：覃莉娟（1996.02-），女，汉族，广西博白人，在读研究生，本科学历，研究方向：学科教育
关键词：高中数学;数学模型;建模能力
数学以现实世界的空间形式和数量关系作为研究对象，表现为思考事物纯粹的量，广泛使用抽象符号，使得数学与其他学科相比，抽象程度较高。对学生而言，那些比较抽象的数学概念、公式等内容，是他们学好数学的最大阻碍，常常会出现学生跟不上教学进度的现象，而在课堂过程中，单一的讲授式教学容易让学生注意力不集中，在较短时间内学生难以理解并掌握这些抽象的内容。长期下来，学生不懂的问题就会越来越多。实践表明，建立数学模型可以使较为复杂的现实问题简化为数学问题，便于学生抓住问题的本质和规律。因此，培养学生数学建模能力，已经成为高中数学教学过程中的一个重要内容。
一、数学建模的内涵
数学建模作为一种新的数学学习方式，深受教育界的广泛关注，它为学生创造了自主学习的机会，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识。就高中数学教学而言，构建数学模型首先要深入了解问题的实际背景，提取关键的信息，做出相应的假设，其次根據假设，对于研究问题通过数学语言、公式依靠数学工具建立各部分之间的联系，建立起数学模型，最后对整个模型进行分析和检验，按照模型得出相应问题的答案[1]。因此，数学建模思想主要指的是引导学生将所学的数学知识应用到实际问题中，学会分析实际问题并抽象出一般的数学模型，从而应用模型来解决问题的一种思维方式。
二、核心素养下高中数学课堂建模意识培养的必要性
在高中数学教学过程中，培养学生的建模能力是非常有必要的，其重要性主要体现在以下两个方面：一方面在于数学模型的构建，能够使复杂的数学问题简单化，有助于学生抓住问题的本质[2]。高中数学内容具有很强的抽象性，使得学生不易理解教材中的数学问题，并且，单一的讲授方式并不利于调动学生学习数学的积极性，学生难以消化抽象的内容。长时间积累的问题越来越多，这会严重打击学生学好数学的自信心，同时，教师的教学工作也无法顺利进行，面对这种情况，教师如果不采取相应的策略，而是继续讲授新课的话，那么这很容易引起学生的逆反心理，与之相反的是，在教学过程中，有目的有意识地引导学生建构数学模型，不仅能够使学生容易抓住问题的本质，而且有助于学生准确把握数学原理，促进学生对于知识的理解与吸收。另一方面，培养学生的建模意识和建模能力，能够有助于他们养成良好的思考习惯，不仅如此，学生逐步具备建模能力后，就能够准确调动已有的数学知识将实际问题转化为数学问题，从而较好较高效的解决问题，不再需要浪费时间地去尝试。总而言之，培养学生的建模能力，能够帮助他们运用数学知识解决生活中的问题，将知识融会贯通，促进数学学科核心素养的发展。
三、核心素养下高中数学课堂建模意识培养的策略
（一）创设情境，感知建模思想
学生所学的数学知识最终都要回归到实际生活中，一方面，教师在教学过程中，要恰当地引入与教学内容相关的实际生活情境，让学生在生活情境中感悟数学元素，引导学生从实际案例中体会数学概念，从而加深学生对知识的理解和记忆，另一方面，要启发学生将所学知识应用到实际问题中，学会分析实际问题并抽象出一般的数学模型，从而掌握解决问题的技能与方法。在教学过程中创设生活情境，要重点突出“以学生发展为本，提高学生素养”的教学理念，促进学生对生活中模型的感知。其中，在《余弦定理》一课教学时，为了深化学生对模型的感知，可为他们创设这样一个生活情境：
例1：轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船的航行方向之间的夹角为120°，轮船A的航行速度是25n mile/h，轮船B的航行速度是15n mile/h，下午2时两船之间的距离是多少？
面对这样一个生活情境，引导学生先根据题目中已知条件，画出数学模型，在构建模型的过程中，让学生认识到要求两船之间的距离，实际上根据已有的条件，只要利用余弦定理就可以进行求解，因此，结合数学模型并利用余弦定理。可以得到：
在△ABC中，已知∠BCA=120°，AC=25·2=50n mile/h，BC=15·2=30n mile/h，故=70n mile/h，学生们的建模能力将得到一定程度锻炼，养成良好建模思想。
与真实的生活场景的不同在于，数学课堂上的情境再现能够调动学生的生活经验和认知，促进学生应用已有的知识去思考、分析，进而将现实问题抽象为数学问题，强化学生对数学模型的感知，达到培养学生建模能力的目的。
（二）师生共析，理解建模思想
好的教学活动，应该是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一。在教学过程中，为加深学生对数学建模的理解，用心筛选经典的数学模型，是非常必要且关键的一环，并在师生互动的过程中，共同分析所选取的数学模型，从而促进学生对模型的理解。在对数学模型进行分析的过程中，一方面要重视对数学模型的应用价值进行探究，从而调动学生学习数学模型的兴趣，培养他们在解决问题时主动使用数学模型的意识，另一方面，根据教材内容的难易程度以及特点，适时地鼓励学生设计相应的练习题目，促进他们更好地理解数学模型，从而牢牢掌握相关数学模型。在《简单线性规划问题》的教学中，可向学生提出这样一个问题：
例2：甲、乙两个粮库要向A，B两镇运送大米，已知甲库可调出100t大米，乙库可调出80t大米，A镇需70t大米，B镇需110t大米，两库到两镇的路程和运费如下表： 问：这两个粮库各送往A，B两镇多少t大米，才能使总运费最省？此时总运费是多少？
在这个过程中，需要结合题意，与学生一起建立一个关于z的模型，设甲粮库要向A镇运送大米x吨，向B镇运送大米y吨，总运费为z，则乙库要向A镇运送大米（70-x）吨，向B镇运送大米（110-y）吨，目标函数（总运费）为z=60x+90y=30200，题目中包含的限制条件为
所以当x=70，y=30时，总运费最省Zmin=37100元。
在上述过程中，引导学生一起分析题意，快速弄清数据之间的关系，建立关于总运费的模型，最终得到最省的运费，加深了对数学模型的理解，得到较好的数学模型思想锻炼。
（三）加强训练，提升建模意识
适当进行建模训练活动，能够不断提升学生的建模意识，使他们在训练中积累建模经验与技巧，增强应用模型解决问题的能力。因此，根据学生的建模基础，认真筛选代表性较强的训练试题，促进学生在原有的建模基础上得到进一步的提升。其中，在《等比数列》一课教学时，为了锻炼学生应用等比数列通项公式解决问题，发展他们模型应用能力，可学生提出这样一个问题：
例3：某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧，如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
分析可知该题目需要构建等比数列模型，其中以13.5为首项，（1-10%）为公比的等比数列，根据题意可知需要求用满4年后此车的价值，则an=a1·qn-1=13.5·（1-10%）5-1=8.857万元，即当用满4年时，车的价值为8.857万元。
综上所述，应认真落实以培养数学建模思想为重点的教育，在加强训练的过程中，注重引导学生归纳常见的建模题型，挖掘其中的共性，深化建模思想，掌握建模技巧和应用模型解決问题的方法，达到及时巩固数学知识、促进建模能力提升的目标。
（四）变式训练，增强建模能力
在教学过程中，常常会出现这样的现象：在课堂上，通过观察学生的反应，他们对知识似乎掌握得不错，一旦进行综合测试，效果都不太理想。题目稍作改动，很多学生便无从下手，没能真正做到灵活运用知识解决问题，其主要原因有以下两点：一是学生对知识的学习只是停留在表面，按照教师讲的例题照葫芦画瓢，二是思维定式。因此，在具体习题训练中，教师应该在学生掌握相应基础知识的情况下，进行数学建模教学，增强学生的建模能力，并通过习题变式的方式对同一模型进行反复的训练，促进学生不断加深对模型的理解以及能够真正地灵活应用相关的数学知识解决问题。
例4：已知函数若f（x）恰好有2个零点，则m的取值范围是（ ）
A.（2，3] B.[2，3） C.[1，2）∪[3，+∞） D.（1，2]∪[3，+∞）
变 式 1 ：已 知 函 数 恰好有2个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C.[-1，+∞） D.（5，+∞）
变式2：已知函数若g（x）存在两个零点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
通常情况下，此类问题的解法是利用数形结合法将其转化为两个函数图像的交点个数问题，需准确画出两个函数的图像，利用图像写出满足条件的参数范围，值得说明的是，通过变式训练，使学生逐渐清晰问题的主要因素，不仅要求学生根据函数模型的特点，准确提炼出相应的解题技巧和方法，从而能够有效巩固同一模型的应用，而且要求学生认真分析问题，提高他们对同一类问题的整体认识，以达到提升学生数学建模素养的目的。
（五）组织活动，拓展建模视野
在数学教学过程中，通过组织有效的教学活动，能够促进学生对数学模型的理解和掌握。在组织活动之前，要认真钻研教材，根据教学内容的特点组织数学活动，以到达丰富学生数学建模经验，拓展他们的建模视野。在具体组织过程中，不仅要保证活动内容能够吸引学生注意力，而且还要达到促进其建模能力提升的目的，使得他们的思维能力得到良好发展。因此，在数学活动组织中，要充分尊重学生的主体性，让学生成为学习的主体，以保证学生通过洞察与探究数学活动，促进他们建模思想良性发展，在《指数函数》一课教学时，为加深他们对指数函数模型的理解，在课堂上就可以组织一次实践动手操作活动，如：
例5：一张纸厚度是0.01mm，对折一次得两层，对折两次得4层，对折3次得8层，现将一张厚0.01mm的白纸对折20次后，其高度约为多少米？（210=1000）
问题驱动下，引导学生拿出准备好的白纸，亲自动手参与对折白纸的活动，鼓励学生根据活动的结果，建立层数y随对折次数x变化的函数模型，其中，学生通过活动分析得到对折1次后，层数y=2。对折2次后，层数y=22。对折x次之后，得到y=2x的指数函数模型，并作出函数图象。结合图象，观察到x=20时，y=220层，并根据纸张厚度为0.01mm，计算得到其高度为10米。
上述教学活动，为拓展学生数学建模的视野，巩固所学的知识，在《指数函数》这一课时的教学中，根据学生的实际情况，组织学生积极参与动手折纸的活动，通过交流和讨论，构建层数y随对折次数x变化的函数模型，根据所学的数学知识，动手绘制指数函数图象，并通过对图像的观察，提取图像所蕴含的关键信息，最终利用函数模型得出对折20次后的层数。通过这样的活动，能够促进学生对指数函数模型的了解。
四、结束语
综上所述，高中数学学科的抽象性和复杂性，要求教师在教学中必须重视培养学生利用建模能力简化现实问题，降低学生对于新知识的认知难度，有助于教师对相关课程的展开，提高教学质量和形成良好的学习效果。因此，在实际的教学过程中，教师要根据教学内容的特点，用心筛选适合的模型辅助学生的学习，积极创设与学生生活实际相关的情境，并引导学生通过动手操作和合作探究的学习方式，亲身参与模型构建的活动，帮助他们提升获取有价值信息并进行定量分析的意识和能力，使学生真正养成良好数学建模思想，提高学科核心素养。
参考文献：
[1]张伟. 在高中数学教学中应用数学建模思想的策略分析[J]. 天天爱科学（教学研究），2021（03）：129-130.
[2]周国峰. 对高中物理教学中学生建模能力的培养[J]. 学苑教育，2020（31）：55-56.
作者简介：覃莉娟（1996.02-），女，汉族，广西博白人，在读研究生，本科学历，研究方向：学科教育