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高中数学以集合与函数为预备性知识，以研究基本初等函数的性质为载体，在具体的问题解决过程中渗透数形结合的数学思想，在此基础上逐步展现探索更一般的函数性质与图像的方法系统——导数。导数的引入既是对研究函数性质方法体系的完善，更是对前期数形结合、分类讨论思想综合应用能力的提升.
一、从几何意义感知导数的概念
高中数学教材不追求导数概念的严密性，仅仅从感性理解的层次将函数f（x）在点P（x0，y0）处的导数f′（x0）描述为“f（x）在P点处的瞬时变化率”，其几何意义为“函数图像上P点处切线的斜率”，由此，导数应用最基本的问题是求曲线在某点处的切线.值得注意的是：“f（x）在P点处的切线”与“f（x）过P点的切线”具有不同的含义；此外解析几何中的切线与曲线常常只有一个交点，y=sinx与其在原点处的切线y=x也只有一个交点，但y=sinx在点（π2，1）处的切线y=1与y=sinx图像的交点并不唯一，由此，函数的切线与函数图像的交点个数不存在一般性的结论，这一点必须在具体函数性质的研究过程中逐步领会.
例1求f（x）=x3-2x+3过P（1，2）的切线方程.
分析：一般分类为“P是切点”和“P不是切点”，本题P点在f（x）图像上，即切点（x0，x30-2x0+3）包含了P（1，2），故无需分类.
设切线l：y-x30+2x0-3=f′（x0）（x-x0），l过P，故2x30-3x20+1=0，因为该方程必有一个根为x0=1，因而左式必有因式x0-1 ①
∴（x0-1）2（2x0+1）=0，得切点P（1，2）或Q（-12，318），
∴切线为y=x+1和y=-54x+134.
根据导数的几何意义，一个切点对应唯一的一条切线.本题步骤①运用了代数学基本定理，分解因式是难点，也是求切点的关键所在.
例2已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+clnx（abc≠0）.
（1）任取f（x）上两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点为C（x0，y0）.f（x）在x=x0处切线是否平行于直线AB？说明理由.
（2）“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+clnx是否有与（1）同样的性质？证明你的结论.
分析：（1）直线AB的斜率k=f（x1）-f（x2）x1-x2=a（x1+x2）+b，f（x）在x=x0处的切线斜率为f′（x0）=2ax0+b，∵x0=x1+x22，∴f′（x0）=k恒成立，即x=x0处f（x）的切线总与AB平行.
（2）g′（x0）=2ax0+b+cx0，对x1>0，x2>0，若g（x）有同样性质，
AB的斜率k=g（x1）-g（x2）x1-x2=a（x1+x2）+b+clnx1-lnx2x1-x2，∵x0=x1+x22，
∴2x1+x2=lnx1-lnx2x1-x2恒成立，取x1=1，x2=e，∴21+e=1e-1，∴e=3不成立.故伪二次函数g（x）不具有（1）同样的性质.
若从正面入手，将等式变形为
lnx1x2=2（x1-x2）x1+x2=2·x1x2-1x1x2+1
不妨设x1>x2>0，令t=x1x2>0，则lnt=2·t-1t+1.
构造函数g（t）=lnt-2·t-1t+1（t>1）
g′（t）=1t-4（t+1）2=（t-1）2t·（t+1）2≥0
∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，则g（t）>g（1）
而g（1）=0，∴lnt>2·t-1t+1.所以等式不成立，即不具备与（1）同样的性质.
如上所说，应用导数探究函数性质是对基本初等函数研究方法的补充与完善，知识的承继决定了方法的延续，基本初等函数性质及其研究方法与导数并非对立而恰恰是辩证统一的知识体系.例2中取x1=1，x2=e反映了y=lnx图像的基本特征：过（1，0）点和（e，1）点.
二、从“变化率”感悟导数的应用
函数归根到底是从变量x到y的对应，而图像是实数对（x，y）对应点的集合，由此，函数的性质总是指向“如何变化”——变化的范围（定义域、值域）、变化的趋势（单调性、渐近线等）、变化的特征（对称性、周期性、零点等）构成了研究函数的三个基本方面，高中关于导数的应用侧重于单调性、极值与最值.函数f（x）的性质与其导函数f′（x）的关系包括：①f（x）的极值点与f′（x）的零点的关系；②不等式f′（x）≥0（≤0）的解集与f（x）单调区间的关系.关系①表明f（x）的极值问题最终归结为方程解的讨论，而关系②说明单调性与解不等式密切相关.特别值得注意的是，f（x）本身的特征性性质常常是简化讨论的切入点.
1.尽量运用基本函数及其特征性质优化讨论过程
函数的特征性质使得某一个确定的函数或某一类特定的函数区别于其他函数，因而常常是优化思维的切入点，上述例2提供了一个典型案例.2013江苏高考20（2）：“g（x）=ex-ax在（-1，+∞）递增，讨论f（x）=lnx-ax的零点个数”.这个问题中g′（x）=ex-a≥0在（-1，+∞）上恒成立，故a≤1e.
分析Ⅰ：由f′（x）=1x-a=1-axx，（1）a=0，f（x）=lnx；（2）a<0，∵f′（x）>0恒成立，f（x）对x>0递增；（3）0 分析Ⅱ：f（x）为随着a变化的动曲线，变形得a=lnxx，f（x）零点个数即动直线y=a与定曲线h（x）=lnxx（x>0图像的交点个数.由h′（x）=1-lnxx2知h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，h（x）的最大值h（e）=1e>0，又h（1）=0，∴00，结合图像得：a≤0或a=1e时，f（x）有1个零点，0 已知a>12（e+1e），试比较ae-1和ea-1的大小，即比较（e-1）lna和（a-1）lne.令g（a）=a-1-（e-1）lna，显然有定值点g（1）=0，g（e）=0 ①，这是本题关键！
求导可知g（a）在[e-1，+∞）递增，在（0，e-1]递减②.
综合①②作出g（a）图像，a=e，g（a）=0；a>e，g（a）>0；e>a>12（e+1e），g（a）<0.
故a=e时ea-1=ae-1；a>e时ea-1>ae-1，e>a>12（e+1e）时ea-1 2.对比函数与导函数的图像确定分类讨论的依据
极值点与导数的关系为：x=x0为f（x）的极值点，则f′（x0）=0，反之，f′（x0）=0且f（x）在x0两侧具有相反的单调性时f（x0）才称为f（x）的极值，典型的函数是f（x）=x3，f′（0）=0，但f（x）=x3没有极值.极值是否最大（小）值对不同的函数没有统一的结论，有极值的函数未必有最值，有最值的函数也未必有极值.由于单调区间直接表现为不等式f′（x0）≥0或f′（x0）≤0的解集，从几何意义理解，f（x）的单调区间与导函数图像位于x轴上方还是下方直接相关，因此，在同一坐标系中作出f（x）和f′（x）的图像是发现函数单调性及其极值的有效方法.
例3已知函数f（x）=（m-3）x3+9x.
（1）若函数f（x）在区间（-∞，+∞）上是单调函数，求m的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为4，求m的值.
分析：（1）f′（x）=3（m-3）x2+9，对于二次函数，与坐标轴的交点常常是解题的关键.∵f′（0）=9>0，所以f（x）在区间（-∞，+∞）上只能是单调增函数.
由f′（x）=3（m-3）x2+9≥0在区间（-∞，+∞）上恒成立，故m的取值范围是[3，+∞）.
（2）讨论f′（x）图像开口，当m≥3时，f（x）在[1，2]递增，∴[f（x）]max=f（2）=8（m-3）+18=4，得m=54，舍去.
当m<3时，f′（x）=3（m-3）x2+9=0的零点为x=±33-m.由f′（x）图像知
f（x）在（-∞，-33-m）上单调减，在（-33-m，33-m）上单调增，在（33-m，+∞）上单调减.
①当33-m≥2，即94≤m<3时，[1，2]（-33-m，33-m]，f（x）在区间[1，2]上单调增，[f（x）]max=f（2）=8（m-3）+18=4，m=54，舍去.
②当1<33-m<2，即0 ③当33-m≤1，即m≤0时，[1，2]（33-m，+∞]，f（x）在区间[1，2]上单调减，
[f（x）]max=f（1）=m+6=4，m=-2.
对于任何函数的最值问题，优先考虑函数是否单调是最基本的思路；对于给定区间A上f（x）的极值或最值问题，基本情形是A为某一个单调区间的子集，其次是A包含在两个或多个相邻的单调区间内，这样的分类可由f′（x）的图像，根据f′（x）值的正负判断f（x）的增减性继而作出f（x）图像——数形结合是研究一切函数性质的基础.就江苏高考而言，与函数单调性相关的讨论难点一般归结为一元二次不等式解的讨论.
3.拓展问题：运用二分法探求极值点的分布
探求极值点的关键是讨论方程f′（x）=0的解，对于方程无法直接求解的问题，教材介绍了“二分法”，这为此类问题提供了新的思路.
例4已知函数f（x）=ax3+bx2+（b-a）x（a，b是不同时为零的常数），x∈R时其导函数为f′（x）.
（1）当a=13时，若存在x∈[-3，-1]使得f′（x）>0成立，求b的取值范围；
（2）求证：函数y=f（x）在（-1，0）内至少有一个极值点.
分析：（1）当a=13时，f′（x）=x2+2bx+b-13=（x+b）2-b2+b-13，存在性问题常用“补集法”：若x∈[-3，-1]，f′（x）≤0恒成立，因为f′（x）为开口向上，
f′（x）≤0f′（-3）≤0，f′（-1）≤0b≥2615，
∴b∈（-∞，2615）为所求.
（2）f′（x）=3ax2+2bx+（b-a），
①当a=0时，f′（x）=2bx+b，x=-12为f（x）极值点.
②当a≠0时，令t=ba，f′（x）=0即h（x）=3x2+2tx+（t-1）=0，由于无法分解因式，讨论Δ用求根公式将陷入繁琐的运算.由h（-1）=2-t，h（0）=t-1.
因为h（-12）=-14<0，当t≤1时，h（-1）=2-t≥1>0，所以y=h（x）在（-1，-12）内有零点.f′（x）在（-1，-12）内必有极值点.
当t>1时，h（0）=t-1>0，所以y=h（x）在（-12，0）内有零点.f（x）在（-12，0）内有极值点.故函数y=f（x）在（-1，0）内至少有一个极值点.
综上所述，导数在研究函数性质中的运用分为与切线有关的基本问题和与单调性相关的重点问题，最终指向为导函数的性质探究，包括零点分布及与之相关的不等式问题.导函数的性质基于基本初等函数的性质及其研究方法，无论是导函数还是原函数，优先考虑其特征性性质并灵活运用数形结合的思想，合理转化、优化分类讨论的过程是简捷严谨解决相关问题的关键所在.
（作者：吉冬林，江苏省邗江中学）
一、从几何意义感知导数的概念
高中数学教材不追求导数概念的严密性，仅仅从感性理解的层次将函数f（x）在点P（x0，y0）处的导数f′（x0）描述为“f（x）在P点处的瞬时变化率”，其几何意义为“函数图像上P点处切线的斜率”，由此，导数应用最基本的问题是求曲线在某点处的切线.值得注意的是：“f（x）在P点处的切线”与“f（x）过P点的切线”具有不同的含义；此外解析几何中的切线与曲线常常只有一个交点，y=sinx与其在原点处的切线y=x也只有一个交点，但y=sinx在点（π2，1）处的切线y=1与y=sinx图像的交点并不唯一，由此，函数的切线与函数图像的交点个数不存在一般性的结论，这一点必须在具体函数性质的研究过程中逐步领会.
例1求f（x）=x3-2x+3过P（1，2）的切线方程.
分析：一般分类为“P是切点”和“P不是切点”，本题P点在f（x）图像上，即切点（x0，x30-2x0+3）包含了P（1，2），故无需分类.
设切线l：y-x30+2x0-3=f′（x0）（x-x0），l过P，故2x30-3x20+1=0，因为该方程必有一个根为x0=1，因而左式必有因式x0-1 ①
∴（x0-1）2（2x0+1）=0，得切点P（1，2）或Q（-12，318），
∴切线为y=x+1和y=-54x+134.
根据导数的几何意义，一个切点对应唯一的一条切线.本题步骤①运用了代数学基本定理，分解因式是难点，也是求切点的关键所在.
例2已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+clnx（abc≠0）.
（1）任取f（x）上两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点为C（x0，y0）.f（x）在x=x0处切线是否平行于直线AB？说明理由.
（2）“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+clnx是否有与（1）同样的性质？证明你的结论.
分析：（1）直线AB的斜率k=f（x1）-f（x2）x1-x2=a（x1+x2）+b，f（x）在x=x0处的切线斜率为f′（x0）=2ax0+b，∵x0=x1+x22，∴f′（x0）=k恒成立，即x=x0处f（x）的切线总与AB平行.
（2）g′（x0）=2ax0+b+cx0，对x1>0，x2>0，若g（x）有同样性质，
AB的斜率k=g（x1）-g（x2）x1-x2=a（x1+x2）+b+clnx1-lnx2x1-x2，∵x0=x1+x22，
∴2x1+x2=lnx1-lnx2x1-x2恒成立，取x1=1，x2=e，∴21+e=1e-1，∴e=3不成立.故伪二次函数g（x）不具有（1）同样的性质.
若从正面入手，将等式变形为
lnx1x2=2（x1-x2）x1+x2=2·x1x2-1x1x2+1
不妨设x1>x2>0，令t=x1x2>0，则lnt=2·t-1t+1.
构造函数g（t）=lnt-2·t-1t+1（t>1）
g′（t）=1t-4（t+1）2=（t-1）2t·（t+1）2≥0
∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，则g（t）>g（1）
而g（1）=0，∴lnt>2·t-1t+1.所以等式不成立，即不具备与（1）同样的性质.
如上所说，应用导数探究函数性质是对基本初等函数研究方法的补充与完善，知识的承继决定了方法的延续，基本初等函数性质及其研究方法与导数并非对立而恰恰是辩证统一的知识体系.例2中取x1=1，x2=e反映了y=lnx图像的基本特征：过（1，0）点和（e，1）点.
二、从“变化率”感悟导数的应用
函数归根到底是从变量x到y的对应，而图像是实数对（x，y）对应点的集合，由此，函数的性质总是指向“如何变化”——变化的范围（定义域、值域）、变化的趋势（单调性、渐近线等）、变化的特征（对称性、周期性、零点等）构成了研究函数的三个基本方面，高中关于导数的应用侧重于单调性、极值与最值.函数f（x）的性质与其导函数f′（x）的关系包括：①f（x）的极值点与f′（x）的零点的关系；②不等式f′（x）≥0（≤0）的解集与f（x）单调区间的关系.关系①表明f（x）的极值问题最终归结为方程解的讨论，而关系②说明单调性与解不等式密切相关.特别值得注意的是，f（x）本身的特征性性质常常是简化讨论的切入点.
1.尽量运用基本函数及其特征性质优化讨论过程
函数的特征性质使得某一个确定的函数或某一类特定的函数区别于其他函数，因而常常是优化思维的切入点，上述例2提供了一个典型案例.2013江苏高考20（2）：“g（x）=ex-ax在（-1，+∞）递增，讨论f（x）=lnx-ax的零点个数”.这个问题中g′（x）=ex-a≥0在（-1，+∞）上恒成立，故a≤1e.
分析Ⅰ：由f′（x）=1x-a=1-axx，（1）a=0，f（x）=lnx；（2）a<0，∵f′（x）>0恒成立，f（x）对x>0递增；（3）0
求导可知g（a）在[e-1，+∞）递增，在（0，e-1]递减②.
综合①②作出g（a）图像，a=e，g（a）=0；a>e，g（a）>0；e>a>12（e+1e），g（a）<0.
故a=e时ea-1=ae-1；a>e时ea-1>ae-1，e>a>12（e+1e）时ea-1
极值点与导数的关系为：x=x0为f（x）的极值点，则f′（x0）=0，反之，f′（x0）=0且f（x）在x0两侧具有相反的单调性时f（x0）才称为f（x）的极值，典型的函数是f（x）=x3，f′（0）=0，但f（x）=x3没有极值.极值是否最大（小）值对不同的函数没有统一的结论，有极值的函数未必有最值，有最值的函数也未必有极值.由于单调区间直接表现为不等式f′（x0）≥0或f′（x0）≤0的解集，从几何意义理解，f（x）的单调区间与导函数图像位于x轴上方还是下方直接相关，因此，在同一坐标系中作出f（x）和f′（x）的图像是发现函数单调性及其极值的有效方法.
例3已知函数f（x）=（m-3）x3+9x.
（1）若函数f（x）在区间（-∞，+∞）上是单调函数，求m的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为4，求m的值.
分析：（1）f′（x）=3（m-3）x2+9，对于二次函数，与坐标轴的交点常常是解题的关键.∵f′（0）=9>0，所以f（x）在区间（-∞，+∞）上只能是单调增函数.
由f′（x）=3（m-3）x2+9≥0在区间（-∞，+∞）上恒成立，故m的取值范围是[3，+∞）.
（2）讨论f′（x）图像开口，当m≥3时，f（x）在[1，2]递增，∴[f（x）]max=f（2）=8（m-3）+18=4，得m=54，舍去.
当m<3时，f′（x）=3（m-3）x2+9=0的零点为x=±33-m.由f′（x）图像知
f（x）在（-∞，-33-m）上单调减，在（-33-m，33-m）上单调增，在（33-m，+∞）上单调减.
①当33-m≥2，即94≤m<3时，[1，2]（-33-m，33-m]，f（x）在区间[1，2]上单调增，[f（x）]max=f（2）=8（m-3）+18=4，m=54，舍去.
②当1<33-m<2，即0
[f（x）]max=f（1）=m+6=4，m=-2.
对于任何函数的最值问题，优先考虑函数是否单调是最基本的思路；对于给定区间A上f（x）的极值或最值问题，基本情形是A为某一个单调区间的子集，其次是A包含在两个或多个相邻的单调区间内，这样的分类可由f′（x）的图像，根据f′（x）值的正负判断f（x）的增减性继而作出f（x）图像——数形结合是研究一切函数性质的基础.就江苏高考而言，与函数单调性相关的讨论难点一般归结为一元二次不等式解的讨论.
3.拓展问题：运用二分法探求极值点的分布
探求极值点的关键是讨论方程f′（x）=0的解，对于方程无法直接求解的问题，教材介绍了“二分法”，这为此类问题提供了新的思路.
例4已知函数f（x）=ax3+bx2+（b-a）x（a，b是不同时为零的常数），x∈R时其导函数为f′（x）.
（1）当a=13时，若存在x∈[-3，-1]使得f′（x）>0成立，求b的取值范围；
（2）求证：函数y=f（x）在（-1，0）内至少有一个极值点.
分析：（1）当a=13时，f′（x）=x2+2bx+b-13=（x+b）2-b2+b-13，存在性问题常用“补集法”：若x∈[-3，-1]，f′（x）≤0恒成立，因为f′（x）为开口向上，
f′（x）≤0f′（-3）≤0，f′（-1）≤0b≥2615，
∴b∈（-∞，2615）为所求.
（2）f′（x）=3ax2+2bx+（b-a），
①当a=0时，f′（x）=2bx+b，x=-12为f（x）极值点.
②当a≠0时，令t=ba，f′（x）=0即h（x）=3x2+2tx+（t-1）=0，由于无法分解因式，讨论Δ用求根公式将陷入繁琐的运算.由h（-1）=2-t，h（0）=t-1.
因为h（-12）=-14<0，当t≤1时，h（-1）=2-t≥1>0，所以y=h（x）在（-1，-12）内有零点.f′（x）在（-1，-12）内必有极值点.
当t>1时，h（0）=t-1>0，所以y=h（x）在（-12，0）内有零点.f（x）在（-12，0）内有极值点.故函数y=f（x）在（-1，0）内至少有一个极值点.
综上所述，导数在研究函数性质中的运用分为与切线有关的基本问题和与单调性相关的重点问题，最终指向为导函数的性质探究，包括零点分布及与之相关的不等式问题.导函数的性质基于基本初等函数的性质及其研究方法，无论是导函数还是原函数，优先考虑其特征性性质并灵活运用数形结合的思想，合理转化、优化分类讨论的过程是简捷严谨解决相关问题的关键所在.
（作者：吉冬林，江苏省邗江中学）