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在专家看来，垃圾只是放错了地方的资源。同样道理，学生在练习中出现的错误，也是宝贵的教学资源。它在暴露出学生知识与方法缺陷的同时，也能更好地帮助教师反思教学的内容与效能，并促使其作出相应的改进，从而提高教学的有效性。
一、根据错题纠正教材内容的偏差
【错例回放】分率与数值的困惑
人教版教材五年级下册“分数”单元后的作业题中，有这样一道题（如下图）。
在笔者教过的每一届五年级学生中，总有一半左右的学生把式子错列成与图中一样的“--”。经过访谈发现，除去少数几个学生因为读题不仔细而出现了错误外，绝大部分出错的学生是把“一块菜地公顷”这个条件想当然地理解成了“一块菜地的”， “公顷”这个强信息无形中代替了“一块菜地”，即单位“1”这个隐性条件。在备课组活动时，这个错例引起了同年级数学教师的共鸣。这样的错误，即使到了六年级，还有不少学生出现。
【追本溯源】 这个现象引起了笔者的深思，学生是不是习惯于把分数单纯地理解为“分率”的意义，而对于分数还能表示一个实实在在的数值没有很好的认识呢？不难发现，深深根植于五年级学生头脑中的分数都是“分率”意义、“比”的意义上的分数，对于分数同整数、小数一样作为一种“数”或者说“数值”的认识远远不够，全面地认识“分数”还没有“大功告成”。造成这种普遍性错误的原因与教材的内容编排是分不开的。
人教版教材在三年级上册和五年级下册集中安排了分数的两次认识。三年级上册共5课时的内容，都是从“份数”意义来学习分数，即把一个物体平均分成若干份，表示这样的一份或几份可以用分数表示。五年级下册分别从分数的产生、分数的意义（分数的份数定义）及分数与除法的关系三方面引导学生认识分数。综观教材中分数内容的编排，很明显是在着力围绕“分数作为表示两个数或两个数量之间的比的关系”展开。对于分数是可以表示具体大小的数量，教材上只有在“分数表示商”“表示数轴上的点”等少量内容中有涉及，而且部分内容仅是作为课后习题出现。从分数出现后，教材在分率与数值的权重上一直是分率占了很大的比重，浓墨重彩地渲染。
由于教材内容编排的偏向性，在学生的认知结构中，分数的“分率”意义占主体地位也就顺理成章了。所以，很多学生看到分数时，头脑中首先反应的是一个操作过程、运算过程，如就是把“单位1”平均分成8份，表示这样的7份。所以当学生看到“一块菜地公顷”这个条件时，自然而然地解读为“一块地的种菜”。
【应对策略】 为了补偏，教师需要在教材原有分数的“分率”意义的教学内容基础上，适时补充穿插“数值”意义的教学内容。增加一些用分数表示具体数量的练习，达到两个意义在学生认知上的平衡。通过想象、比画、描述等方式，把用分数表示的具体数量与学生原来所熟悉的量对应起来，写几句生活中可以用分数来表述具体数量的句子，为“分数表示具体数量的大小”提供现实支撑。如引导学生说一说“小时有多长”，学生可能说：小时就是1小时的一半；小时就是30分钟；小时比我们上一节课的时间少10分钟；小时我们可以做两面数学作业，可以看一集有趣的动画片；等等。学生利用原有的认识来描述小时的同时，体会着小时和2小时一样都是表示一段时间的长短，拉近了这个“新数”与学生的距离。为学生分数数值概念的建立找到了现实基础。
【思考】教材是教师进行教学最为重要的依据，也是学生学习最为重要的载体。开展教学活动需要教材，而教材由于种种原因，它并不是完美无缺的。会有一些因素不利于学生掌握知识。有时候，学生练习上的错误，正是教材编排所致，人教版教材关于分数内容的编排就是其中一个例证。面对学生的错误，教师首先要分析并发现真实的原因，然后对教材的内容作一些适当的改进，使之既体现知识的正确性，又有利于学生掌握。为此，教师要树立正确的教材观：教材只是用来教的，教材是可能有缺陷的，教师并不需要一成不变地教教材，更多的时候，需要对教材的内容进行补充、调整，灵活呈现，当然，前提是教师要对整个教材的编排体系了然于胸。
二、根据错题适时调整教学目标及重难点
【情境再现】 一年级上学期末，有这样一道习题（见下图）学生的错误率很高。普遍的错误解答是：3 3=6。对此，有教师认为原因之一是：“对题意理解不清晰……有些学生读题后的第一反应是‘树前面有3个人，后面有3个人’，所以一共有6个人。这里的难点就在于除了能从图中孩子的语言中知道‘后面有8人’，还要通过思考，理解还有一个条件是‘我’这‘1个人’，这不仅需要仔细观察图和文，还需要思考语言中蕴含的隐性条件。”
【追本溯源】上述错因分析虽有道理，但没有说到本质，学生之所以没有注意到图中第一个小朋友所说的“我后面还有8人”，并不仅仅是因为观察图和文不仔细，而是仔细不起来。遇到这样的错题，教师就要考虑到一年级学生形象思维能力强而抽象思维能力弱的认知心理。首先吸引学生的是图画的内容，而不是解释性文字。所以图片中露出来的前三个孩子与后三个孩子，对学生构成了强势信号；那被大树遮住的三个孩子，他们因为没有被看到就不计在内了。而第一个小朋友所说的“我后面有8人”这个解释语，一些学生也同样会忽略不计，另一些学生也可能会觉得匪夷所思——他们看到的是“我”后面明明只有5个小朋友。因此，出现错误解答的最根本原因应该是因为抽象思维能力不足而导致不能全面地读懂图文的内容。
【思考】 基于这样的认识，教师在对一年级学生进行图文题教学时，就需要把培养学生的读图文能力作为教学目标之一。这在数学课中往往被认为是非数学的，而被忽略。在这方面，教师至少要强化这样一些意识与习惯：①看清楚整个图文由哪些部分构成，明确哪些是图形，哪些是解释语与数字；②这些图形与图形、图形与解释语都表示什么意思；③问题是什么。
如果在平时的教学中，教师把学生读图文的能力作为教学的目标甚至是重点在训练，那么对于上题，应该会有更多的学生认识到：①大树在图中的意思是：它挡住了3个小朋友，树的后面还有3个小朋友；②图中那句“我后面有8人”解释语下面的尖头，表示这句话是由拿着红旗的小朋友说的。这句话的意思是他的后面还有8个人；③拿红旗的小朋友是站在排头的；④问题是要算出整排总共有多少个小朋友。 如果学生拥有了这样有条理的读图能力，是不难列式并得出答案的：1 8=9。如果从一年级开始教师就有意识、有步骤地培养学生的读图、审题能力，那么到三年级时学生出现以下几种错误解答的现象（见下图）应该会明显减少。
在日常教学活动中，教师确定教学目标及其重点、难点，往往依据知识本身的特点、教师自身对学情的估计或者是习惯。但估计与习惯有时候并不符合学情，要改变这种不切实际的教学目标及重难点，就需要准确地把握学情。而要准确地把握学情，则需要借助对学生错题的分析与诊断。事实上，当下的学生是无法直接告诉教师什么是他会的，什么是他不会的。而且教师的知识、能力、阅历、心理及思维方式又与学生有着极大的不同，与学生有着很深的“隔阂”，“教师眼中的儿童”与“真实的儿童”存在着一定的差距，在教师看来很简单的知识，在学生那里可能是不可逾越的障碍；在教师看来可能会产生认知困难的地方，学生恰恰并不怎么困难。而通过分析以前的学生或现在的学生的板演、课后作业、检测及相关的调测，则有可能发现学生在相关知识学习上的薄弱环节，从而确定真实有效的教学目标或重难点。
三、根据错例开展“变式”教学
在概念教学提示本质属性之后，由于用以提示本质属性的材料具有一些非本质属性，这些属性会产生负迁移，使学生误以为它们也是该概念的本质属性。尤其是对于中下学生，其抽象能力较弱，不能切实领会知识的实质，容易受无关因素的干扰与束缚，难以从知识的定义出发，演绎出下位的知识，他们多止步于闻一知一，无法理解知识的变式。所以，为了充分呈现概念的本质特征，教学当中要尽量展现知识的变式。而当学生做错了题目时，教师也应从中反思，是不是变式教学不够充分所致。
如下图，要求出三角形ABC的面积，当图形中出现多余信息时，学生的选择会受到影响，有的把9当作图形的边长，有的把（7 9）当作图形的边长，有的以20为底、12为高……
产生这些错误的根本原因是学生还没有掌握三角形的高与底的本质知识，直接原因则是对高与底的变式学习不够。平时，在学习三角形高的知识时，出现的图形多是像上图中的虚线部分那样比较“标准”的样子，而三角形ABC这样的图形就不符合学生的心理图式。因此，他们找不到有效的高线与底边。所以，在教学三角形的高的知识时，就需要把直角三形、锐角三角形、钝角三角形每一种情况下，每一条边上的高的情况都展示出来，通过适当的图形与练习让学生感悟到，所谓高，是相对于底边而言的，不同的底边对应着不同的高，不同的高也对应着不同的底边，高与底边是相对应的，在同一个三角形中，这些相对应的高与底边的乘积是相等的。
从错题中发现变式教学不足的原因之后，教师在开展变式教学时，应注重引导学生进行横向、纵向的对比、消化，促使学生把相通的知识归纳成体系，形成知识网络，促进知识的内化。
学生的错题在教学活动中有着不可替代的作用。它是学生在学习、建构新知识过程中的必然产物，也是教学诊断的第一手材料，是教学活动的起点，也是设计与开展教学活动的重要依据之一。教师对学生的错题，需要作系统的收集、分析，并相应地调整教学内容与教学方法，作为一种教学资源反馈到学生中去。
（浙江省绍兴市柯桥区马鞍镇中心小学滨海校区 312073）
一、根据错题纠正教材内容的偏差
【错例回放】分率与数值的困惑
人教版教材五年级下册“分数”单元后的作业题中，有这样一道题（如下图）。
在笔者教过的每一届五年级学生中，总有一半左右的学生把式子错列成与图中一样的“--”。经过访谈发现，除去少数几个学生因为读题不仔细而出现了错误外，绝大部分出错的学生是把“一块菜地公顷”这个条件想当然地理解成了“一块菜地的”， “公顷”这个强信息无形中代替了“一块菜地”，即单位“1”这个隐性条件。在备课组活动时，这个错例引起了同年级数学教师的共鸣。这样的错误，即使到了六年级，还有不少学生出现。
【追本溯源】 这个现象引起了笔者的深思，学生是不是习惯于把分数单纯地理解为“分率”的意义，而对于分数还能表示一个实实在在的数值没有很好的认识呢？不难发现，深深根植于五年级学生头脑中的分数都是“分率”意义、“比”的意义上的分数，对于分数同整数、小数一样作为一种“数”或者说“数值”的认识远远不够，全面地认识“分数”还没有“大功告成”。造成这种普遍性错误的原因与教材的内容编排是分不开的。
人教版教材在三年级上册和五年级下册集中安排了分数的两次认识。三年级上册共5课时的内容，都是从“份数”意义来学习分数，即把一个物体平均分成若干份，表示这样的一份或几份可以用分数表示。五年级下册分别从分数的产生、分数的意义（分数的份数定义）及分数与除法的关系三方面引导学生认识分数。综观教材中分数内容的编排，很明显是在着力围绕“分数作为表示两个数或两个数量之间的比的关系”展开。对于分数是可以表示具体大小的数量，教材上只有在“分数表示商”“表示数轴上的点”等少量内容中有涉及，而且部分内容仅是作为课后习题出现。从分数出现后，教材在分率与数值的权重上一直是分率占了很大的比重，浓墨重彩地渲染。
由于教材内容编排的偏向性，在学生的认知结构中，分数的“分率”意义占主体地位也就顺理成章了。所以，很多学生看到分数时，头脑中首先反应的是一个操作过程、运算过程，如就是把“单位1”平均分成8份，表示这样的7份。所以当学生看到“一块菜地公顷”这个条件时，自然而然地解读为“一块地的种菜”。
【应对策略】 为了补偏，教师需要在教材原有分数的“分率”意义的教学内容基础上，适时补充穿插“数值”意义的教学内容。增加一些用分数表示具体数量的练习，达到两个意义在学生认知上的平衡。通过想象、比画、描述等方式，把用分数表示的具体数量与学生原来所熟悉的量对应起来，写几句生活中可以用分数来表述具体数量的句子，为“分数表示具体数量的大小”提供现实支撑。如引导学生说一说“小时有多长”，学生可能说：小时就是1小时的一半；小时就是30分钟；小时比我们上一节课的时间少10分钟；小时我们可以做两面数学作业，可以看一集有趣的动画片；等等。学生利用原有的认识来描述小时的同时，体会着小时和2小时一样都是表示一段时间的长短，拉近了这个“新数”与学生的距离。为学生分数数值概念的建立找到了现实基础。
【思考】教材是教师进行教学最为重要的依据，也是学生学习最为重要的载体。开展教学活动需要教材，而教材由于种种原因，它并不是完美无缺的。会有一些因素不利于学生掌握知识。有时候，学生练习上的错误，正是教材编排所致，人教版教材关于分数内容的编排就是其中一个例证。面对学生的错误，教师首先要分析并发现真实的原因，然后对教材的内容作一些适当的改进，使之既体现知识的正确性，又有利于学生掌握。为此，教师要树立正确的教材观：教材只是用来教的，教材是可能有缺陷的，教师并不需要一成不变地教教材，更多的时候，需要对教材的内容进行补充、调整，灵活呈现，当然，前提是教师要对整个教材的编排体系了然于胸。
二、根据错题适时调整教学目标及重难点
【情境再现】 一年级上学期末，有这样一道习题（见下图）学生的错误率很高。普遍的错误解答是：3 3=6。对此，有教师认为原因之一是：“对题意理解不清晰……有些学生读题后的第一反应是‘树前面有3个人，后面有3个人’，所以一共有6个人。这里的难点就在于除了能从图中孩子的语言中知道‘后面有8人’，还要通过思考，理解还有一个条件是‘我’这‘1个人’，这不仅需要仔细观察图和文，还需要思考语言中蕴含的隐性条件。”
【追本溯源】上述错因分析虽有道理，但没有说到本质，学生之所以没有注意到图中第一个小朋友所说的“我后面还有8人”，并不仅仅是因为观察图和文不仔细，而是仔细不起来。遇到这样的错题，教师就要考虑到一年级学生形象思维能力强而抽象思维能力弱的认知心理。首先吸引学生的是图画的内容，而不是解释性文字。所以图片中露出来的前三个孩子与后三个孩子，对学生构成了强势信号；那被大树遮住的三个孩子，他们因为没有被看到就不计在内了。而第一个小朋友所说的“我后面有8人”这个解释语，一些学生也同样会忽略不计，另一些学生也可能会觉得匪夷所思——他们看到的是“我”后面明明只有5个小朋友。因此，出现错误解答的最根本原因应该是因为抽象思维能力不足而导致不能全面地读懂图文的内容。
【思考】 基于这样的认识，教师在对一年级学生进行图文题教学时，就需要把培养学生的读图文能力作为教学目标之一。这在数学课中往往被认为是非数学的，而被忽略。在这方面，教师至少要强化这样一些意识与习惯：①看清楚整个图文由哪些部分构成，明确哪些是图形，哪些是解释语与数字；②这些图形与图形、图形与解释语都表示什么意思；③问题是什么。
如果在平时的教学中，教师把学生读图文的能力作为教学的目标甚至是重点在训练，那么对于上题，应该会有更多的学生认识到：①大树在图中的意思是：它挡住了3个小朋友，树的后面还有3个小朋友；②图中那句“我后面有8人”解释语下面的尖头，表示这句话是由拿着红旗的小朋友说的。这句话的意思是他的后面还有8个人；③拿红旗的小朋友是站在排头的；④问题是要算出整排总共有多少个小朋友。 如果学生拥有了这样有条理的读图能力，是不难列式并得出答案的：1 8=9。如果从一年级开始教师就有意识、有步骤地培养学生的读图、审题能力，那么到三年级时学生出现以下几种错误解答的现象（见下图）应该会明显减少。
在日常教学活动中，教师确定教学目标及其重点、难点，往往依据知识本身的特点、教师自身对学情的估计或者是习惯。但估计与习惯有时候并不符合学情，要改变这种不切实际的教学目标及重难点，就需要准确地把握学情。而要准确地把握学情，则需要借助对学生错题的分析与诊断。事实上，当下的学生是无法直接告诉教师什么是他会的，什么是他不会的。而且教师的知识、能力、阅历、心理及思维方式又与学生有着极大的不同，与学生有着很深的“隔阂”，“教师眼中的儿童”与“真实的儿童”存在着一定的差距，在教师看来很简单的知识，在学生那里可能是不可逾越的障碍；在教师看来可能会产生认知困难的地方，学生恰恰并不怎么困难。而通过分析以前的学生或现在的学生的板演、课后作业、检测及相关的调测，则有可能发现学生在相关知识学习上的薄弱环节，从而确定真实有效的教学目标或重难点。
三、根据错例开展“变式”教学
在概念教学提示本质属性之后，由于用以提示本质属性的材料具有一些非本质属性，这些属性会产生负迁移，使学生误以为它们也是该概念的本质属性。尤其是对于中下学生，其抽象能力较弱，不能切实领会知识的实质，容易受无关因素的干扰与束缚，难以从知识的定义出发，演绎出下位的知识，他们多止步于闻一知一，无法理解知识的变式。所以，为了充分呈现概念的本质特征，教学当中要尽量展现知识的变式。而当学生做错了题目时，教师也应从中反思，是不是变式教学不够充分所致。
如下图，要求出三角形ABC的面积，当图形中出现多余信息时，学生的选择会受到影响，有的把9当作图形的边长，有的把（7 9）当作图形的边长，有的以20为底、12为高……
产生这些错误的根本原因是学生还没有掌握三角形的高与底的本质知识，直接原因则是对高与底的变式学习不够。平时，在学习三角形高的知识时，出现的图形多是像上图中的虚线部分那样比较“标准”的样子，而三角形ABC这样的图形就不符合学生的心理图式。因此，他们找不到有效的高线与底边。所以，在教学三角形的高的知识时，就需要把直角三形、锐角三角形、钝角三角形每一种情况下，每一条边上的高的情况都展示出来，通过适当的图形与练习让学生感悟到，所谓高，是相对于底边而言的，不同的底边对应着不同的高，不同的高也对应着不同的底边，高与底边是相对应的，在同一个三角形中，这些相对应的高与底边的乘积是相等的。
从错题中发现变式教学不足的原因之后，教师在开展变式教学时，应注重引导学生进行横向、纵向的对比、消化，促使学生把相通的知识归纳成体系，形成知识网络，促进知识的内化。
学生的错题在教学活动中有着不可替代的作用。它是学生在学习、建构新知识过程中的必然产物，也是教学诊断的第一手材料，是教学活动的起点，也是设计与开展教学活动的重要依据之一。教师对学生的错题，需要作系统的收集、分析，并相应地调整教学内容与教学方法，作为一种教学资源反馈到学生中去。
（浙江省绍兴市柯桥区马鞍镇中心小学滨海校区 312073）