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【摘要】枯燥单调的数，自从与图形结合后，就有了飞翔的翅膀.
【关键词】数形结合；基本数学思想；数学思维活动
数与形是数学中的两个最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非.”这里一语成偈，道出了“数”和“形”不可分割的特点.
数形结合思想是中学阶段的基本数学思想之一.所谓数形结合主要是指数与形之间的对应关系，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”的方法，使复杂问题简单化，使抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.
数形结合有两种基本形式，一是“形”的问题转化为用数量关系去解决，运用代数、三角知识进行讨论，它往往把技巧性极强的推理论证转化为可具体操作的代数运算，很好地起到化难为易的作用，在解析几何（是以数形结合思想为核心思想的数学学科）中就常常利用数量关系去解决图形问题.二是“数”的问题转化为形状的性质去解决，它往往具有直观性，易于理解与接受.数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域和最值问题中，在求数列、线性规划中，在求复数和三角函数问题中都有体现.运用数形结合思想解题，不仅直观，易于寻找解题途径，而且能避免复杂的计算和推理，优化解题过程.下面就数形结合思想在学习中的应用作一个简单的分析.
中学数学教学中处处渗透着基本数学思想.如果能使它落实到学生和运用数学思维活动，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能.在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的教学课程，本文对数形结合思想在数学教学中的应用谈谈一些自己的看法.
一、以“形”解决“数”的问题
例1 已知Sn是等差数列｛an｝的前n项和，且Sp=Sq（p≠q），求Sp+q.
解 ∵Sn=na1+n(n+1)2d=d2n2+a-d2n，
由题设知d≠0，
∴Sn是关于n的缺常数项的二次函数，其图像是过原点的抛物线上的点构成的，如图所示抛物线对称轴方程为x=p+q2,故Sp+q=0.
说明 数列的通项公式及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数，因此，有关数列问题可以转化函数问题来解决.
例2 已知M(x，y)是圆x2+y2=1上的任意一点，则yx+2的取值范围是().
A.-33，33
B.［-3，3］
C.-∞,-33∪33,+∞
D.(-∞,-3］∪［3,+∞)
解 将yx+2看成动点M（x，y）和定点N（－2，0）这两点直线的斜率，则问题转化为直线MN斜率的取值范围，故选A.倾斜角0°≤α≤30°或150°≤α＜180°.
说明 赋予了yx+2几何意义，使看似不好解决的问题得以解决.
二、以“数”解决“形”的问题
例3 设在△ABC中，AB＞AC，CF，BE分别是AB及AC边上的高，试证AB+CF≥AC+BE，并指出等号何时成立.
解 ∵AC•BE＝AB•CF，
即BEAB＝CFAC＝sinA.
则BE=ABsinA，CF=ACsinA，
BE-CF=(AB-AC)sinA.
又 ∵AB-AC＞0，
即AB+CF≥AC+BE，0＜sinA≤1.
(当A=90°时，取等号)
说明 把问题中的几何关系代数化，比较纯几何证法要易于想到.
【参考文献】
樊恺.数学解题方法论（第一版）.杭州：杭州大学出版社，1991.
【关键词】数形结合；基本数学思想；数学思维活动
数与形是数学中的两个最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非.”这里一语成偈，道出了“数”和“形”不可分割的特点.
数形结合思想是中学阶段的基本数学思想之一.所谓数形结合主要是指数与形之间的对应关系，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”的方法，使复杂问题简单化，使抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.
数形结合有两种基本形式，一是“形”的问题转化为用数量关系去解决，运用代数、三角知识进行讨论，它往往把技巧性极强的推理论证转化为可具体操作的代数运算，很好地起到化难为易的作用，在解析几何（是以数形结合思想为核心思想的数学学科）中就常常利用数量关系去解决图形问题.二是“数”的问题转化为形状的性质去解决，它往往具有直观性，易于理解与接受.数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域和最值问题中，在求数列、线性规划中，在求复数和三角函数问题中都有体现.运用数形结合思想解题，不仅直观，易于寻找解题途径，而且能避免复杂的计算和推理，优化解题过程.下面就数形结合思想在学习中的应用作一个简单的分析.
中学数学教学中处处渗透着基本数学思想.如果能使它落实到学生和运用数学思维活动，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能.在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的教学课程，本文对数形结合思想在数学教学中的应用谈谈一些自己的看法.
一、以“形”解决“数”的问题
例1 已知Sn是等差数列｛an｝的前n项和，且Sp=Sq（p≠q），求Sp+q.
解 ∵Sn=na1+n(n+1)2d=d2n2+a-d2n，
由题设知d≠0，
∴Sn是关于n的缺常数项的二次函数，其图像是过原点的抛物线上的点构成的，如图所示抛物线对称轴方程为x=p+q2,故Sp+q=0.
说明 数列的通项公式及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数，因此，有关数列问题可以转化函数问题来解决.
例2 已知M(x，y)是圆x2+y2=1上的任意一点，则yx+2的取值范围是().
A.-33，33
B.［-3，3］
C.-∞,-33∪33,+∞
D.(-∞,-3］∪［3,+∞)
解 将yx+2看成动点M（x，y）和定点N（－2，0）这两点直线的斜率，则问题转化为直线MN斜率的取值范围，故选A.倾斜角0°≤α≤30°或150°≤α＜180°.
说明 赋予了yx+2几何意义，使看似不好解决的问题得以解决.
二、以“数”解决“形”的问题
例3 设在△ABC中，AB＞AC，CF，BE分别是AB及AC边上的高，试证AB+CF≥AC+BE，并指出等号何时成立.
解 ∵AC•BE＝AB•CF，
即BEAB＝CFAC＝sinA.
则BE=ABsinA，CF=ACsinA，
BE-CF=(AB-AC)sinA.
又 ∵AB-AC＞0，
即AB+CF≥AC+BE，0＜sinA≤1.
(当A=90°时，取等号)
说明 把问题中的几何关系代数化，比较纯几何证法要易于想到.
【参考文献】
樊恺.数学解题方法论（第一版）.杭州：杭州大学出版社，1991.