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【摘 要】人教版高中数学新教材已于2019年下半年在部分省区市推行试用，这是核心素养导向下的高中数学教材变革，充分体现了整体性、过程性、联系性、选择性、融合性、实践性的特点。研究者以人教版高中数学新教材“三角函数”为例，对新教材的课程结构、内容顺序、知识衔接等内容进行分析，为落实数学核心素养，实现数学育人奠定基础。
【关键词】新教材;旧教材;三角函数;课程结构
【作者简介】吕增锋，正高级教师，宁波大学兼职教授。
【基金项目】浙江省高等教育“十三五”第二批教学改革研究项目“HPM视野下的课程教学设计研究”（jg20190132）
人教版高中数学新教材已于2019年下半年在部分省区市推行试用，按照教材主编章建跃博士的说法，本次新教材是核心素养导向下的高中数学教材变革，充分体现了整体性、过程性、联系性、选择性、融合性、实践性的特点[1]。笔者研读了新教材的数学必修1与必修2，发现新教材在总体布局与细节处理上弥补了旧教材的很多不足，亮点颇多。下面笔者以“三角函数”这一章节为例，谈谈新教材的一些亮点，以期给教师的课堂教学提供有益的参考。
一、求精：优化整合教学内容，凸显核心主题
高中数学新教材通过“一删、二移、三连通”的做法，从知识系统的高度确立了三角函数的整体架构，避免了知识的碎片化，在实现单元教学内容的精选上，凸显了“函数”大单元下的“三角函数”这一核心主题。
首先，新教材删去了“三角函数线”这部分的内容。三角函数线作为解决三角函数问题的有力工具，其优点在于能够把三角函数的值通过有向线段直观地呈现出来，提供了用几何视角研究三角函数性质的新思路。新教材把这部分内容删去，笔者认为可能是基于三角函数线的实质只是单位圆模型的一种几何表征的角度考虑，舍弃三角函数线直接借助单位圆模型，利用任意角三角函数的定义不仅能够更直观的获得三角函数的相关性质，比如，周期性、单调性、奇偶性等，还能画出三角函数图象。因此，新教材的内容编排更符合学生的认知。
其次，新教材把“解三角形”这部分内容移到“平面向量”中，也就是说“解三角形”不再属于“三角函数”章节。这也恰恰说明了新教材尊重数学史实的编写思路。从数学发展史看，三角学与任意角三角函数并不是一回事，三角学源于天文学，后来主要用于平面三角的测量、测绘工作，于是就有了解三角形的问题;任意角三角函数的诞生主要是为了研究圆周运动，作为刻画周期现象的一种函数模型。当然，三角学中也定义了三角函数，但仅仅局限于锐角三角形，而任意角三角函数也不是锐角三角函数的简单推广。因此，把“解三角形”从“三角函数”中分离出来，有助于凸显三角函数的本质。“解三角形”融入“平面向量”章节也是比较合理的，主要原因是：一是正弦定理、余弦定理可以借助平面向量实现简单的推导与证明;二是平面向量可以作为解三角形的工具;三是可以充分彰显平面向量是沟通几何、代数、三角的桥梁的作用。
最后，新教材把“三角恒等变换”放在“三角函数”章节，实现了三角函数知识系统的上下连通。旧教材是把“三角恒等变换”放在“平面向量”之后，不可否认学生学习了平面向量之后确实有助于两角差余弦公式的推导与理解，有助于凸显平面向量的工具作用，但割断了三角恒等变换与三角函数的联系，阻碍了学生对三角函数的连续性认知。
二、求新：立足匀速圆周运动，发展数学核心素养
本次教材的变革是以核心素养为导向的一次创新，教材的编写过程围绕如何落实数学核心素养进行创新思考。对于“三角函数”而言，其最主要的任务就是发展学生数学建模核心素养，而新教材采取的策略是立足匀速圆周运动，构建从现实情境跨越到三角函数定义、图象、性质、公式的建模之路。
例如，锐角三角函数与任意角三角函数是两回事，既不能把任意角三角函数看成是锐角三角函数的推广（或一般化），又不能把锐角三角函数看成是任意角三角函数在锐角范围内的“限定”[2]。但旧教材在章节开头表述“我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？”，这样使得不少学生误认为“任意角三角函数是锐角三角函数的推广”。虽然，旧教材最后利用单位圆来定义任意角三角函数，但还是借助锐角三角函数的概念，并且没有对单位圆可以定义任意角三角函数的合理性、科学性做出明确的表述。由于受到锐角三角函数的影响，一些学生对三角函数值出现负数的情况不能理解，在求特殊角三角函数值时还是要作直角三角形。为此，新教材直接利用质点的匀速圆周运动来构建任意角三角函数模型。如图1，单位圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况。该题通过对质点P的运动位置的刻画来探究角与P点坐标之间的对应关系，从而自然获得任意角三角函数的定义，让学生对终边所在的象限决定三角函数值的正负的理解更深刻。
由此可见，证明中所采用的方法不能偏离单元的主题，既然三角函数的性质及相关公式都是圆的性质的表征，那么借助同样的单位圆来进行三角函数公式的推导、证明，不仅符合新教材的求同理念，而且能让学生对数学知识有一个整体的认知。
四、求实：尊重生活现实真相，凸显问题的严密性
新教材强调以反映学生所熟悉的现实的事实为素材创设问题情境，这不仅体现在三角函数的教学引入环节，还体现在三角函数的应用中。在“三角函数”这一章节内容中，旧教材设置了温度变化曲线、画y=|sinx|图象、太阳高度角问题、潮汐问题等。由于画y=|sinx|图象应用属性不强，而太阳高度角问题对于学生来说太过于陌生，难以理解，因此，新教材只保留温度变化曲线与潮汐问题。但同样的潮汐问题，新教材在问题的表述与数据的设置上更加严密，更加符合现实。海水受日月的引力，在一定的時候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头;卸货后，在落潮时返回海洋，下表（略）是某港口某天（旧教材是“某季节每天”）的时刻与水深关系的预报。虽然新教材的“某天”和旧教材的“每天”，只是一字之差，但更符合客观事实，体现了新教材的严谨性。因为，潮汐是在月球和太阳引力共同作用下形成的海水周期性涨落现象，而太阳、月球和地球的相对位置都是在变化的，导致每天涨潮和落潮的时间也不一样，基本上每天涨落潮的时间比前一天推迟约48分钟，每半个月轮回一次[3]。所以，新教材的表述更准确、严谨。
新教材本着求精、求新、求同、求实的精神，对课程结构、内容顺序、知识衔接等内容，按照“函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动”四条主线对高中数学知识进行重新串联、整合、重构，形成了新的主题单元，为落实数学核心素养，实现数学育人奠定了基础。
参考文献：
[1]章建跃.核心素养导向的高中数学教材变革（续3）：《普通高中教科书·数学（人教A版》的研究与编写[J].中学数学教学参考，2019（25）：5-10.
[2]章建跃.为什么用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数[J].数学通报，2017（1）：15-18.
[3]吕增锋.教材中一道应用题引发的现实思考[J].中学数学杂志，2008（3）：18-19.
（责任编辑：陆顺演）
【关键词】新教材;旧教材;三角函数;课程结构
【作者简介】吕增锋，正高级教师，宁波大学兼职教授。
【基金项目】浙江省高等教育“十三五”第二批教学改革研究项目“HPM视野下的课程教学设计研究”（jg20190132）
人教版高中数学新教材已于2019年下半年在部分省区市推行试用，按照教材主编章建跃博士的说法，本次新教材是核心素养导向下的高中数学教材变革，充分体现了整体性、过程性、联系性、选择性、融合性、实践性的特点[1]。笔者研读了新教材的数学必修1与必修2，发现新教材在总体布局与细节处理上弥补了旧教材的很多不足，亮点颇多。下面笔者以“三角函数”这一章节为例，谈谈新教材的一些亮点，以期给教师的课堂教学提供有益的参考。
一、求精：优化整合教学内容，凸显核心主题
高中数学新教材通过“一删、二移、三连通”的做法，从知识系统的高度确立了三角函数的整体架构，避免了知识的碎片化，在实现单元教学内容的精选上，凸显了“函数”大单元下的“三角函数”这一核心主题。
首先，新教材删去了“三角函数线”这部分的内容。三角函数线作为解决三角函数问题的有力工具，其优点在于能够把三角函数的值通过有向线段直观地呈现出来，提供了用几何视角研究三角函数性质的新思路。新教材把这部分内容删去，笔者认为可能是基于三角函数线的实质只是单位圆模型的一种几何表征的角度考虑，舍弃三角函数线直接借助单位圆模型，利用任意角三角函数的定义不仅能够更直观的获得三角函数的相关性质，比如，周期性、单调性、奇偶性等，还能画出三角函数图象。因此，新教材的内容编排更符合学生的认知。
其次，新教材把“解三角形”这部分内容移到“平面向量”中，也就是说“解三角形”不再属于“三角函数”章节。这也恰恰说明了新教材尊重数学史实的编写思路。从数学发展史看，三角学与任意角三角函数并不是一回事，三角学源于天文学，后来主要用于平面三角的测量、测绘工作，于是就有了解三角形的问题;任意角三角函数的诞生主要是为了研究圆周运动，作为刻画周期现象的一种函数模型。当然，三角学中也定义了三角函数，但仅仅局限于锐角三角形，而任意角三角函数也不是锐角三角函数的简单推广。因此，把“解三角形”从“三角函数”中分离出来，有助于凸显三角函数的本质。“解三角形”融入“平面向量”章节也是比较合理的，主要原因是：一是正弦定理、余弦定理可以借助平面向量实现简单的推导与证明;二是平面向量可以作为解三角形的工具;三是可以充分彰显平面向量是沟通几何、代数、三角的桥梁的作用。
最后，新教材把“三角恒等变换”放在“三角函数”章节，实现了三角函数知识系统的上下连通。旧教材是把“三角恒等变换”放在“平面向量”之后，不可否认学生学习了平面向量之后确实有助于两角差余弦公式的推导与理解，有助于凸显平面向量的工具作用，但割断了三角恒等变换与三角函数的联系，阻碍了学生对三角函数的连续性认知。
二、求新：立足匀速圆周运动，发展数学核心素养
本次教材的变革是以核心素养为导向的一次创新，教材的编写过程围绕如何落实数学核心素养进行创新思考。对于“三角函数”而言，其最主要的任务就是发展学生数学建模核心素养，而新教材采取的策略是立足匀速圆周运动，构建从现实情境跨越到三角函数定义、图象、性质、公式的建模之路。
例如，锐角三角函数与任意角三角函数是两回事，既不能把任意角三角函数看成是锐角三角函数的推广（或一般化），又不能把锐角三角函数看成是任意角三角函数在锐角范围内的“限定”[2]。但旧教材在章节开头表述“我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？”，这样使得不少学生误认为“任意角三角函数是锐角三角函数的推广”。虽然，旧教材最后利用单位圆来定义任意角三角函数，但还是借助锐角三角函数的概念，并且没有对单位圆可以定义任意角三角函数的合理性、科学性做出明确的表述。由于受到锐角三角函数的影响，一些学生对三角函数值出现负数的情况不能理解，在求特殊角三角函数值时还是要作直角三角形。为此，新教材直接利用质点的匀速圆周运动来构建任意角三角函数模型。如图1，单位圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况。该题通过对质点P的运动位置的刻画来探究角与P点坐标之间的对应关系，从而自然获得任意角三角函数的定义，让学生对终边所在的象限决定三角函数值的正负的理解更深刻。
由此可见，证明中所采用的方法不能偏离单元的主题，既然三角函数的性质及相关公式都是圆的性质的表征，那么借助同样的单位圆来进行三角函数公式的推导、证明，不仅符合新教材的求同理念，而且能让学生对数学知识有一个整体的认知。
四、求实：尊重生活现实真相，凸显问题的严密性
新教材强调以反映学生所熟悉的现实的事实为素材创设问题情境，这不仅体现在三角函数的教学引入环节，还体现在三角函数的应用中。在“三角函数”这一章节内容中，旧教材设置了温度变化曲线、画y=|sinx|图象、太阳高度角问题、潮汐问题等。由于画y=|sinx|图象应用属性不强，而太阳高度角问题对于学生来说太过于陌生，难以理解，因此，新教材只保留温度变化曲线与潮汐问题。但同样的潮汐问题，新教材在问题的表述与数据的设置上更加严密，更加符合现实。海水受日月的引力，在一定的時候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头;卸货后，在落潮时返回海洋，下表（略）是某港口某天（旧教材是“某季节每天”）的时刻与水深关系的预报。虽然新教材的“某天”和旧教材的“每天”，只是一字之差，但更符合客观事实，体现了新教材的严谨性。因为，潮汐是在月球和太阳引力共同作用下形成的海水周期性涨落现象，而太阳、月球和地球的相对位置都是在变化的，导致每天涨潮和落潮的时间也不一样，基本上每天涨落潮的时间比前一天推迟约48分钟，每半个月轮回一次[3]。所以，新教材的表述更准确、严谨。
新教材本着求精、求新、求同、求实的精神，对课程结构、内容顺序、知识衔接等内容，按照“函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动”四条主线对高中数学知识进行重新串联、整合、重构，形成了新的主题单元，为落实数学核心素养，实现数学育人奠定了基础。
参考文献：
[1]章建跃.核心素养导向的高中数学教材变革（续3）：《普通高中教科书·数学（人教A版》的研究与编写[J].中学数学教学参考，2019（25）：5-10.
[2]章建跃.为什么用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数[J].数学通报，2017（1）：15-18.
[3]吕增锋.教材中一道应用题引发的现实思考[J].中学数学杂志，2008（3）：18-19.
（责任编辑：陆顺演）