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摘要：作业讲评是日常教学过程中的一个基本环节，在课堂教学中，教师通过“点评优秀解法”“自我反思纠错”“变式思考”“类题辨析”等若干做法，提高作业讲评课的有效性、增加学生的解题能力，从而提升学生的数学素养。
关键词：高中数学教学；作业讲评；有效性；做法
作业讲评是日常教学过程中的一个基本环节，其目的在于纠正错误、巩固知识、积累经验、提高解题能力、培养思维能力、开阔解题思路、开发创新能力等，是数学教师必须掌握的基本功之一。目前作业讲评往往是教师讲得口干舌燥，却收效甚微，学生对错误的认识仍处于一种浅层阶段，无法留下深刻的印象。因此，提高作业讲评效率是值得研究的课题之一，下面谈谈笔者在实践中的一些做法，以此抛砖引玉。
一、 点评优秀解法，激发学习积极性
对于一道数学题目来说，从不同的角度审视、从不同的方位思考往往有多种解法。教师在平时批改作业时是深有感触的。因此，在讲评作业时点评优秀解法，即创新的解法，对学生而言，既肯定了自己的解题成果，又可以向其他同学学习，进而获取简洁明快、奇思妙想的解法的好机会，这样既激发了学生的学习积极性，培养了创新思维能力，又创造出一种群策群力、集思广益、合力攻关的理想课堂气氛。
例1当m 是实数时，求关于x 的方程f（x）=x2 （2m 1）x m2-1=0的最大实数解。
全班45人，解答结果：优秀解法8人，常规解法27 人，完全错误10 人。
常规解法思路：先利用求根公式求出实根x，再求其最大值，过程如下：
因为方程有实根，所以Δ=（2m 1）2-4（m2-1）≥0，即m≥-54，又由求根公式得x=-（2m 1）±4m 52，令t=4m 5（t≥0），则x=-14t2 12t 34，所以当t=1时，x最大值为1。
而8位同学的优秀解法，是把主元变量x与参数变量m进行“换位”思考，通过变换角度，即将m 看成未知数，把x看做参数，解答过程如下：
原方程可变为m2 2xm x2 x-1=0，因为m 为实数，所以Δ=（2x）2-4（x2 x-1）≥0，即x≤1，故所求x最大实根为1。
两种解法对比，哪种更优秀、更简洁明快，一目了然，在大家敬佩的目光下，优秀同学兴奋不已，更加促进了其学习数学的热情和动力，也帮助其他同学提高了审题、解题的能力，摆脱了计算繁杂的困扰。
二、 自我反思纠错，强调巩固性
建构主义学习理论认为：学生的错误绝对不能单靠教师在课堂上正面的示范和课后通过学生反复的练习来纠错，必须要让学生先有一个自我反思、自我发现、自我否定、自我订正的过程。教师在作业讲评时，要鼓励学生积极参与，根据学生的错误情况，善于引导学生经历自己发现错误、自我纠正错误的过程，才能提高作业讲评的有效性。
例2已知集合A=x-2≤x≤5，B=xm 1≤x≤2m-1，且A∪B=A，求实数m的取值范围。
不少学生在作业中这样解答：因为A∪B=A，所以BA，故有m 1≥-22m-1≤5，求得-3≤m≤3。
教师在讲评作业的课堂上，千万不要在第一时间指出学生的错误之处，一定要引导学生先有一个自我发现、自我否定、自我订正的过程，如本例m取特殊值m=-4时，B=显然也满足BA，从而让学生发现m 1>2m-1即B=时也满足条件BA。于是得到正确解答：
①当B=时，有m 1>2m-1，即m<2。
②当B≠时，有m 1≤2m-1-2≤m 12m-1≤5，得2≤m≤3。
综上得m的取值范围是（-∞，3]。
然后由学生反思总结：当BA时，别忘了B=这一特殊情况。
像这样让学生主动参与纠错过程，使其明白错误之处、错误之因及解决错误的办法，有利于深化学生对知识的巩固。
三、 变式思考，注重延展性
在新课程教学理念下，教学需要创新，其中发散性思维培养是教学创新重要活动之一，变式思考就是一种思维发散性，变则通，不变则废，没有变式思考训练，学生的思维能力就很难从一个水平提高到更高层次的水平。因此，教师讲评作业时千万不能就题论题，仅满足于如何获得正确的答案，更要注意对问题进行引申变式思考，并在引导学生从“变”中发现“不变”的本质，“以静制动，动中窥静” 从“不变”的本质中探究“变”的规律，并在学生變式思考过程中培养学生的思维品质，从而提高数学发散性思维能力。
例3《普通高中课程标准实验教科书数学2必修2人民教育出版社A版》第101页第11题：一条光线从点P（6，4）射出，与x轴相交于Q（2，0），经x轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程。
解法思路：抓住物理知识点：入射角=反射角，得已知点P关于x轴的对称点P′在反射光线所在直线上可解。
教师作业讲评不能就此结束，若能将其条件改变得以下问题让学生思考，有利于培养学生的发散性思维。
变式1已知光线所在直线的方程为x-y 5=0，且该光线从点P（-2，3）射出，与x轴相交于点Q，经x轴反射，求反射光线所在直线方程。
变式2光线从点M（-2，3）射出，与x轴相交于点P，经x轴反射，且反射光线所在直线与抛物线y=-x2相切，求反射光线所在直线的方程。
反思总结：原题条件给出射到x轴上一点P（1，0），而变式1将此条件换为入射光线所在直线方程，变式2又将变式1给出入射光线所在直线方程换为反射光线所在直线与抛物线y=-x2相切。这不仅是一种创新，在思维层面较变式1又有质的飞跃：由变式1的求入射光线所在直线与x轴的交点P的坐标而解决问题，变为应用导数和直线方程的知识求解。它们虽然题型有所不同，但有共同解决的方法：即抓住反射光线所在直线过已知点M关于x轴的对称点M′以及切点Q，所以，只要据导数的几何意义以及斜率的坐标公式求出切点Q的坐标则可解。 以上通过问题的变式与拓展，“通法、通解”的探究，帮助了学生形成思维的正向定势，提高了作业讲评的延伸性，也有效地促进了学生核心素养的养成。
四、 类题剖析，揭示本质特性
分析出错原因，并挖掘出题目本质，从中探求一般的解题规律是讲评错解课的主要任务。所以在作业讲评课上，尽量设置容易混淆的一些题目让学生来共同思考探究，是剖析错误、提升解题能力的一个有力手段。利用“形同似异”的题组进行作业讲评，有利于揭示数学问题的本质特性，提高学生的领悟能力。
例4已知函数f（x）=lg（x2 3x 1），g（x）=12x-m。
（1）若对x1∈[0，3]，x2∈[1，2]，都有f（x1）>g（x2），求实数m的取值范围。
（2）若对x2∈[1，2]，x1∈[0，3]，都有f（x1）>g（x2），求实数m的取值范围。
（3）若对x1∈[0，3]，x2∈[1，2]，都有f（x1）>g（x2），求实数m的取值范围。
（4） 若对x∈[1，2]，都有f（x）>g（x），求實数m的取值范围。
通过这三道类题的比较与剖析，引导学生探究分析致错原因，反思并总结如下。
反思1：上面四题的共性是什么？（都是已知x1、x2的取值范围，求实数m的取值，可化归为f（x1）、g（x2）最值问题）；区别是什么？（大前提条件是“任意”还是“存在”）
反思2：根据大前提条件是“任意”还是“存在”，正确确定f（x1）、g（x2）取最大值还是最小值问题，也可以采用分离变量法或数形结合求解。
如此的讲评作业课堂的做法，不仅可以让学生知道该如何解决问题，而且还知道思路来龙去脉，为什么要这样思考。这样让学生先通过自己分析并反思已解决过的数学题，从而去真正领悟解题数学的思想，并通过应用解题数学思想去驾驭并灵活运用知识与方法，从而达到增强分析解题的能力，提高思维领悟水平，使讲评作业课真正走向实效，只有这样解题正确率才会大大提高。
总之，教师在讲评作业题目之前，既要从学生做题的角度去揣摩习题，还要从教师自己做题的角度去思考习题，更要以命题者的角度去审视习题，只要这样，才能最大限度地挖掘习题的各种潜能，提高习题讲评的效率。
参考文献：
[1] 黄煌海.关注“错误”资源 成就“人本”课堂[N].陕西教育报刊社，2014-05-12.
[2] 钱伟英.作业讲评的有效性[J]. 中学数学月刊，2009，（7）：19.
[3] 王克亮.提升数学问题探究价值的策略初探[J].中学数学月刊，2009，（1）：19-21.
[4] 黄金声.讲题的四种境界[J].数学通报，2009，（10）：43-46.
关键词：高中数学教学；作业讲评；有效性；做法
作业讲评是日常教学过程中的一个基本环节，其目的在于纠正错误、巩固知识、积累经验、提高解题能力、培养思维能力、开阔解题思路、开发创新能力等，是数学教师必须掌握的基本功之一。目前作业讲评往往是教师讲得口干舌燥，却收效甚微，学生对错误的认识仍处于一种浅层阶段，无法留下深刻的印象。因此，提高作业讲评效率是值得研究的课题之一，下面谈谈笔者在实践中的一些做法，以此抛砖引玉。
一、 点评优秀解法，激发学习积极性
对于一道数学题目来说，从不同的角度审视、从不同的方位思考往往有多种解法。教师在平时批改作业时是深有感触的。因此，在讲评作业时点评优秀解法，即创新的解法，对学生而言，既肯定了自己的解题成果，又可以向其他同学学习，进而获取简洁明快、奇思妙想的解法的好机会，这样既激发了学生的学习积极性，培养了创新思维能力，又创造出一种群策群力、集思广益、合力攻关的理想课堂气氛。
例1当m 是实数时，求关于x 的方程f（x）=x2 （2m 1）x m2-1=0的最大实数解。
全班45人，解答结果：优秀解法8人，常规解法27 人，完全错误10 人。
常规解法思路：先利用求根公式求出实根x，再求其最大值，过程如下：
因为方程有实根，所以Δ=（2m 1）2-4（m2-1）≥0，即m≥-54，又由求根公式得x=-（2m 1）±4m 52，令t=4m 5（t≥0），则x=-14t2 12t 34，所以当t=1时，x最大值为1。
而8位同学的优秀解法，是把主元变量x与参数变量m进行“换位”思考，通过变换角度，即将m 看成未知数，把x看做参数，解答过程如下：
原方程可变为m2 2xm x2 x-1=0，因为m 为实数，所以Δ=（2x）2-4（x2 x-1）≥0，即x≤1，故所求x最大实根为1。
两种解法对比，哪种更优秀、更简洁明快，一目了然，在大家敬佩的目光下，优秀同学兴奋不已，更加促进了其学习数学的热情和动力，也帮助其他同学提高了审题、解题的能力，摆脱了计算繁杂的困扰。
二、 自我反思纠错，强调巩固性
建构主义学习理论认为：学生的错误绝对不能单靠教师在课堂上正面的示范和课后通过学生反复的练习来纠错，必须要让学生先有一个自我反思、自我发现、自我否定、自我订正的过程。教师在作业讲评时，要鼓励学生积极参与，根据学生的错误情况，善于引导学生经历自己发现错误、自我纠正错误的过程，才能提高作业讲评的有效性。
例2已知集合A=x-2≤x≤5，B=xm 1≤x≤2m-1，且A∪B=A，求实数m的取值范围。
不少学生在作业中这样解答：因为A∪B=A，所以BA，故有m 1≥-22m-1≤5，求得-3≤m≤3。
教师在讲评作业的课堂上，千万不要在第一时间指出学生的错误之处，一定要引导学生先有一个自我发现、自我否定、自我订正的过程，如本例m取特殊值m=-4时，B=显然也满足BA，从而让学生发现m 1>2m-1即B=时也满足条件BA。于是得到正确解答：
①当B=时，有m 1>2m-1，即m<2。
②当B≠时，有m 1≤2m-1-2≤m 12m-1≤5，得2≤m≤3。
综上得m的取值范围是（-∞，3]。
然后由学生反思总结：当BA时，别忘了B=这一特殊情况。
像这样让学生主动参与纠错过程，使其明白错误之处、错误之因及解决错误的办法，有利于深化学生对知识的巩固。
三、 变式思考，注重延展性
在新课程教学理念下，教学需要创新，其中发散性思维培养是教学创新重要活动之一，变式思考就是一种思维发散性，变则通，不变则废，没有变式思考训练，学生的思维能力就很难从一个水平提高到更高层次的水平。因此，教师讲评作业时千万不能就题论题，仅满足于如何获得正确的答案，更要注意对问题进行引申变式思考，并在引导学生从“变”中发现“不变”的本质，“以静制动，动中窥静” 从“不变”的本质中探究“变”的规律，并在学生變式思考过程中培养学生的思维品质，从而提高数学发散性思维能力。
例3《普通高中课程标准实验教科书数学2必修2人民教育出版社A版》第101页第11题：一条光线从点P（6，4）射出，与x轴相交于Q（2，0），经x轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程。
解法思路：抓住物理知识点：入射角=反射角，得已知点P关于x轴的对称点P′在反射光线所在直线上可解。
教师作业讲评不能就此结束，若能将其条件改变得以下问题让学生思考，有利于培养学生的发散性思维。
变式1已知光线所在直线的方程为x-y 5=0，且该光线从点P（-2，3）射出，与x轴相交于点Q，经x轴反射，求反射光线所在直线方程。
变式2光线从点M（-2，3）射出，与x轴相交于点P，经x轴反射，且反射光线所在直线与抛物线y=-x2相切，求反射光线所在直线的方程。
反思总结：原题条件给出射到x轴上一点P（1，0），而变式1将此条件换为入射光线所在直线方程，变式2又将变式1给出入射光线所在直线方程换为反射光线所在直线与抛物线y=-x2相切。这不仅是一种创新，在思维层面较变式1又有质的飞跃：由变式1的求入射光线所在直线与x轴的交点P的坐标而解决问题，变为应用导数和直线方程的知识求解。它们虽然题型有所不同，但有共同解决的方法：即抓住反射光线所在直线过已知点M关于x轴的对称点M′以及切点Q，所以，只要据导数的几何意义以及斜率的坐标公式求出切点Q的坐标则可解。 以上通过问题的变式与拓展，“通法、通解”的探究，帮助了学生形成思维的正向定势，提高了作业讲评的延伸性，也有效地促进了学生核心素养的养成。
四、 类题剖析，揭示本质特性
分析出错原因，并挖掘出题目本质，从中探求一般的解题规律是讲评错解课的主要任务。所以在作业讲评课上，尽量设置容易混淆的一些题目让学生来共同思考探究，是剖析错误、提升解题能力的一个有力手段。利用“形同似异”的题组进行作业讲评，有利于揭示数学问题的本质特性，提高学生的领悟能力。
例4已知函数f（x）=lg（x2 3x 1），g（x）=12x-m。
（1）若对x1∈[0，3]，x2∈[1，2]，都有f（x1）>g（x2），求实数m的取值范围。
（2）若对x2∈[1，2]，x1∈[0，3]，都有f（x1）>g（x2），求实数m的取值范围。
（3）若对x1∈[0，3]，x2∈[1，2]，都有f（x1）>g（x2），求实数m的取值范围。
（4） 若对x∈[1，2]，都有f（x）>g（x），求實数m的取值范围。
通过这三道类题的比较与剖析，引导学生探究分析致错原因，反思并总结如下。
反思1：上面四题的共性是什么？（都是已知x1、x2的取值范围，求实数m的取值，可化归为f（x1）、g（x2）最值问题）；区别是什么？（大前提条件是“任意”还是“存在”）
反思2：根据大前提条件是“任意”还是“存在”，正确确定f（x1）、g（x2）取最大值还是最小值问题，也可以采用分离变量法或数形结合求解。
如此的讲评作业课堂的做法，不仅可以让学生知道该如何解决问题，而且还知道思路来龙去脉，为什么要这样思考。这样让学生先通过自己分析并反思已解决过的数学题，从而去真正领悟解题数学的思想，并通过应用解题数学思想去驾驭并灵活运用知识与方法，从而达到增强分析解题的能力，提高思维领悟水平，使讲评作业课真正走向实效，只有这样解题正确率才会大大提高。
总之，教师在讲评作业题目之前，既要从学生做题的角度去揣摩习题，还要从教师自己做题的角度去思考习题，更要以命题者的角度去审视习题，只要这样，才能最大限度地挖掘习题的各种潜能，提高习题讲评的效率。
参考文献：
[1] 黄煌海.关注“错误”资源 成就“人本”课堂[N].陕西教育报刊社，2014-05-12.
[2] 钱伟英.作业讲评的有效性[J]. 中学数学月刊，2009，（7）：19.
[3] 王克亮.提升数学问题探究价值的策略初探[J].中学数学月刊，2009，（1）：19-21.
[4] 黄金声.讲题的四种境界[J].数学通报，2009，（10）：43-46.