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考虑如下边值问题
(1)
的解的存在性，其中a,b,c,d,x ,x.
我们假定a,b,c,d,x ,x,f(t,x)=g(t,x,x),g(t,x,y)关于x,y非混合单调；在不使用上下解，f(t,x)在t=0,t=1点都可以是奇异或者非奇异的条件下，得到了以上边值问题的唯一迭代解。
定理1.1设f(t,x)=g(t,x,x)关于t连续，g(t,x,y)满足以下两个条件：(i)存在常数M≥0,N≥0满足M+N -M(x - x )-N(y - y )≤e(t)g(t, x , y )-e(t)g(t ,x , y )
≤M(x - x )+ N(y - y )(2)
(ii)存在x ,yC [0,1]，使得 收敛到 R.
则（1）有唯一的C(I)解x .并且对任何I上的连续函数 ,函数列 (t)= z (t)+ , n=12…..
在I上一致收敛于x (t).其中，
z (t)=[(c-ct+d) x +(at+b) x ].
以上定理1.1适用于极其广泛的一类函数。
例：考虑二阶边值问题：
(3)
设k , m , k , m , x , xR,满足max﹛ ﹜+
max﹛ ﹜< .则(3)存在唯一解x 。并且对任何I上的连续函数 ，函数列
(t)=
n=12……
在I上一致收敛于x (t).
证明：令
g (t,x(t))= ,
g (t,y(t))=[k t+m -y(t)],
M=max﹛ ﹜，
N= max﹛ ﹜，
则对任意t J, x ，x ,y , yC(I), x ≥x ，y ≤y ,(2)式成立。
事实上，若x (t)= x (t),则e(t)g (t, x (t))-e(t) g(t ,x (t))=0≤M(x (t))+ N (x (t)),
若x (t)> x (t),则e(t) g(t, x (t))-e(t) g(t ,x (t)) ≤M(x (t))+ N (x (t)),
同理
e(t) g(t, x (t))-e(t) g(t ,x (t)) ≥-M(x (t)- x (t)),
e(t) g (t, y (t)) -e(t) g (t, y (t)) ≤N(y (t)+ y (t)),
e(t) g (t, y (t)) -e(t) g (t, y (t)) ≥- N(y (t)- y (t)).
令g(t,x,y)= g (t,x)+ g (t, y),由以上可知（2）成立。
再由
r(G)=.
可得M+N< ≤r(G).
所以（3）式存在唯一解x 。并且对任何I上的连续函数 ，函数列 (t)在I上一致收敛于x (t).
利用不动点理论，研究了二阶奇异微分方程边值问题，得到了解的唯一存在性及收敛于解的迭代列。本质改进和推广了已有的结果。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
(1)
的解的存在性，其中a,b,c,d,x ,x.
我们假定a,b,c,d,x ,x,f(t,x)=g(t,x,x),g(t,x,y)关于x,y非混合单调；在不使用上下解，f(t,x)在t=0,t=1点都可以是奇异或者非奇异的条件下，得到了以上边值问题的唯一迭代解。
定理1.1设f(t,x)=g(t,x,x)关于t连续，g(t,x,y)满足以下两个条件：(i)存在常数M≥0,N≥0满足M+N
≤M(x - x )+ N(y - y )(2)
(ii)存在x ,yC [0,1]，使得 收敛到 R.
则（1）有唯一的C(I)解x .并且对任何I上的连续函数 ,函数列 (t)= z (t)+ , n=12…..
在I上一致收敛于x (t).其中，
z (t)=[(c-ct+d) x +(at+b) x ].
以上定理1.1适用于极其广泛的一类函数。
例：考虑二阶边值问题：
(3)
设k , m , k , m , x , xR,满足max﹛ ﹜+
max﹛ ﹜< .则(3)存在唯一解x 。并且对任何I上的连续函数 ，函数列
(t)=
n=12……
在I上一致收敛于x (t).
证明：令
g (t,x(t))= ,
g (t,y(t))=[k t+m -y(t)],
M=max﹛ ﹜，
N= max﹛ ﹜，
则对任意t J, x ，x ,y , yC(I), x ≥x ，y ≤y ,(2)式成立。
事实上，若x (t)= x (t),则e(t)g (t, x (t))-e(t) g(t ,x (t))=0≤M(x (t))+ N (x (t)),
若x (t)> x (t),则e(t) g(t, x (t))-e(t) g(t ,x (t)) ≤M(x (t))+ N (x (t)),
同理
e(t) g(t, x (t))-e(t) g(t ,x (t)) ≥-M(x (t)- x (t)),
e(t) g (t, y (t)) -e(t) g (t, y (t)) ≤N(y (t)+ y (t)),
e(t) g (t, y (t)) -e(t) g (t, y (t)) ≥- N(y (t)- y (t)).
令g(t,x,y)= g (t,x)+ g (t, y),由以上可知（2）成立。
再由
r(G)=.
可得M+N< ≤r(G).
所以（3）式存在唯一解x 。并且对任何I上的连续函数 ，函数列 (t)在I上一致收敛于x (t).
利用不动点理论，研究了二阶奇异微分方程边值问题，得到了解的唯一存在性及收敛于解的迭代列。本质改进和推广了已有的结果。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文